基于ARIMA模型對江蘇省GDP的預測

查 華，石 舢

(1.南京審計大學 統計與數據科學學院，江蘇 南京 210031；2.喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844000)

0 引言

GDP數據的大小從一個角度反映了這個國家或地區的經濟狀況，因此預測和分析GDP數據未來的走勢，具有非常重要的理論意義和現實意義.GDP數據受多方面的因素影響.江蘇省地區生產總值自改革開放以來持續增長，江蘇省GDP總量一直位居全國前幾位.本文以通過江蘇省統計年鑒獲取了1975-2020年GDP數據為樣本，以1975-2017年江蘇省GDP數據為訓練集，以2018-2020年江蘇省GDP數據為測試集，通過相對性誤差分析，構建了可信度較高的ARIMA模型.對江蘇省未來2年的GDP做出了預測，預測的結果為江蘇省制定經濟決策提供了參考.

隨著近些年來對經濟的研究熱度持續上升，GDP是在經濟研究中的一個重要指標.目前對GDP數據的預測方法眾多，國內目前也有不少學者通過不同的預測方法對GDP數據進行了預測，也獲得了不同預測效果.朱佳俊[1]通過選用1978-2018年我國的GDP數據，運用統計分析R軟件先后構建了ARIAM模型、BP神經網絡模型、組合預測模型，最終通過構建預測效果較好的改進組合模型對我國未來3年的GDP進行了預測.嚴彥文[2]通過對1975-2015年GDP數據進行分析，構建了ARIMA(1，1，1)模型，對山東省未來五年的GDP進行了預測.沈秋彤[3]以1978-2013年遼寧省的GDP數據為樣本，構建了ARIMA(1，1，1)模型并對遼寧省2012-2014年GDP數據進行了預測，經過對比發現2012和2013年實際GDP和預測GDP相對誤差都控制在5%以內.同時對遼寧省統計局當年發布的2014年GDP數據和模型預測數據進行對比，發現預測誤差控制在5%以內，模型短期預測效果較好.宋平和邱燕玲[4]選取1993-2016年青海省GDP數據，通過構建ARIMA、最小二乘模型和逐步回歸3個模型分別對青海省2015年和2016年兩年GDP數據進行預測，得出了3個模型都有較好的預測效果，同時ARIMA模型短期預測效果較好，在預測10年以及時間更長的長期預測效果較差.本文選取江蘇省1975-2020年GDP數據，通過spss軟件和python軟件數據分析的功能構建ARIMA模型，對江蘇省未來2年的GDP數據做出了預測.

1 理論基礎

1.1 ARIMA模型理論基礎

ARIMA是差分自回歸移動平均模型的英文縮寫，其中AR表示的是自回歸模型，MA表示的是移動平均模型，I表示的是差分[5].它針對的是平穩的時間序列模型.然而在現實生活中絕大多數時間序列都是非平穩的.因此可以對數據進行差分，使其轉化為平穩的時間序列，再用ARIMA模型對其數據進行建模和預測.ARIMA模型是根據過去不同時期數據的相關性，可以進行有效和精準的短期預測，它彌補了AR和MA進行預測出現的參數過多問題，在短期預測領域具有廣泛的應用.它的基本形式如下：

Φ(B)(1-B)dyt=Θ(B)εt，

E(εk,εt)=0,k≠t,E(εt)=0,Var(εt)=σ2，

E(εt,yk)=0,?k

ARIMA模型是由AR(自回歸)模型和MA(移動平均)模型經過差分構成的組合模型，一般寫成ARIMA(p，d，q).p和q分別為自回歸階數和移動平均階數，d表示差分的次數，一般可以通過幾階差分將不平穩的序列轉化為平穩的序列，一般差分的階數不超過3階.上述公式中{yt}表示需要預測的時間序列;Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp,表示模型的自回歸多項式;以及Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq，表示為模型的移動平均多項式;{εt}則為白噪聲序列,d表示差分的次數[5].

1.2 ARIMA模型建模流程

在對ARIMA模型理論相關知識了解的基礎上，用ARIMA模型進行建模預測就變得非常容易了.具體建模流程如下所示:

(1)首先需要對需要擬合的樣本數據進行平穩性檢驗.

(2)若擬合的樣本數據不是平穩數據，則需要進行差分使其平穩化.否則進行下一步.

(3)對平穩的樣本數據進行白噪聲檢驗，若是白噪聲數據，則建模結束；否則進行下一步.

(4)對平穩非白噪聲的樣本數據建立ARIMA模型.

(5)模型的優化和應用.

具體的ARIMA建模流程圖如圖1所示.

圖1 ARIMA建模流程圖

2 實證分析

2.1 數據來源

本文以江蘇省1975-2017年的GDP數據作為訓練集，以2018-2020年的GDP數據作為測試集構建了ARIMA模型，并預測了江蘇省未來2年的GDP數據.1975-2020年的GDP數據均來自于江蘇省統計局網站所發布的江蘇省統計年鑒，所有GDP數據如表1所列.

表1 1975-2020年江蘇省GDP數據 單位:億元

2.2 平穩性檢驗及處理

一般在生活中得到的原始時間序列數據是非平穩的，所以要對數據進行差分或者取對數運算，使原始時間序列數據變成平穩時間序列數據.江蘇省1975-2020年GDP數據，選取了1975-2017年數據為訓練集，2018-2020年數據為測試集，通過時序圖以及平穩性檢驗發現是非平穩的，時間序列圖如圖2所示.

圖2 江蘇省1975-2017年GDP時序圖

經過對GDP數據取對數和一次差分后，通過觀察時序圖可以看出數據變成了平穩時間序列數據，通過取對數和一階差分后的GDP數據趨勢基本消除，但是這并不能夠精準地判斷該數據為平穩時間序列.對GDP數據取對數和一次差分的時間序列圖如圖3所示.

圖3 江蘇省GDP數據取對數一階差分后時序圖

接下來將通過更為嚴格的單位根檢驗來進行判斷.

通過單位根檢驗發現p值為0.000 752，分別大于顯著性水平為1%和5%以及10%所對應的臨界值，可以判斷不存在單位根，可以判斷出該數據為平穩時間序列.ADF檢驗結果如表1所列.

表1 取對數后且一階差分后的GDP序列ADF檢驗

同時使用python軟件對該組數據使用Q檢驗進行了白噪聲檢驗，結果返回統計量和p值，發現p值全部都小于0.05，表明該平穩序列不是白噪聲.

2.3 ARIMA模型的建立及估計

在通過平穩性處理的過程中，模型中的d可以確定為1，模型中的另外兩個參數p和q通過觀察ACF和PACF圖來確定.使用python軟件繪制的ACF和PACF圖如圖4和圖5所示.

圖4 江蘇省GDP取對數一階差分后序列自相關圖

圖5 江蘇省GDP取對數一階差分后序列偏自相關圖

從圖中可以看出,自相關圖經過1階延遲之后，ACF均落在于兩倍的標準差范圍之內.同時取值圍繞0上下波動，呈現出截尾性質.而PACF衰減到0的速度比較慢,呈現出拖尾的性質.初步可以判定擬合MA模型.

但是通過ACF和PACF圖對模型進行定階主觀性較強，最后通過AIC和BIC準則來確定.最終通過使用python軟件進行數據分析，得出當p=0，q=1時，AIC值和BIC值均取得最小值.最終模型確定為ARIMA(0，1，1)，模型統計和參數估計結果如表2、表3所列.

表2 模型統計

表3 ARIMA 模型參數

表2中可以看出相關系數為0.998 714，說明模型的擬合效果較好.同時p值為0.995 302，大于顯著性水平0.05，說明殘差序列為白噪聲.同時還沒有離群值的出現，反映出模型整體擬合的效果不錯.從表3的參數估計結果來看，p值遠遠小于顯著性水平0.05，說明模型的參數都是顯著的，通過了參數的顯著性檢驗.最終的預測模型確定為ARIMA(0.1,1)模型.

2.4 ARIMA模型預測

通過選取江蘇省1975-2020年GDP數據為訓練集，建立了ARIMA(0，1，1)模型，同時預測了2018-2022年江蘇省GDP數據，預測值見表4所列.

從表4可以看出模型預測的相對誤差均在10%以下，平均相對誤差為3.75%，整體預測效果較好.同時也給出了江蘇省未來2年的GDP數據分別為109 505.67億元，123 192.63億元.但是隨著預測年份的增加，預測的GDP數據誤差也漸漸變大.也反映出ARIMA模型適合做短期預測，不適合進行長期預測.

表4 2018-2022年江蘇省GDP預測值與實際值對比 單位：億元

3 結語

本文通過選取江蘇省1975-2017年GDP數據為測試集，2018-2020年GDP數據為驗證集.構建了ARIMA(0，1，1)模型，預測了江蘇省2018-2022年的GDP.可以看出模型在驗證集上表現出較好的預測效果，平均相對誤差在5%以下.最后從結果可以看出,未來2年江蘇省GDP呈現出穩步增長的趨勢，為當地經濟決策者作出經濟決策提供了一定的參考.同時隨著預測年份逐漸增加，預測精度也發生了下降，也反映出ARIMA模型適合短期預測.尤其是2020年江蘇省GDP預測值出現了超過5%的誤差，也有可能和2020年出現的新冠疫情有關.