對比手法在MATLAB教學改革中的應用

王鳳，郝向英

（武漢工程大學 光電信息與能源工程學院，湖北 武漢）

Matlab是一款應用十分廣泛的數學分析軟件[1]。Matlab以矩陣作為數據操作的基本形式，并且還提供了很多數值計算函數，使得運算變得非常簡潔、方便。Matlab也提供了很多繪圖命令，不僅可以繪制各種圖形，還可以對圖形進行修飾處理[2]。此外，Matlab還具有強大的符號計算功能、程序語言設計功能和工具箱的擴展功能。在很多高等學校，Matlab成為線性代數、自動控制理論、數字信號處理、動態系統仿真、圖像處理等諸多課程的基本教學工具[3-5]。Matlab也是很多科學研究工作者進行理論數值模擬，實驗數據分析的首選工具。熟練掌握Matlab語言特點和命令操作是學好Matlab的關鍵。由于Matlab基礎語言較為簡單，以往，對該部分的講解側重于命令的使用方法，并且花費很少的課程時間去講解該部分。這種教學模式會使學生感到枯燥無味，并且無法理解每條命令的真正含義，從而導致學生學習興趣和專注力的降低[6-7]。

對比手法是文學創作中常用的一種表現手法，可以將兩種對應的事物對照比較，使形象更鮮明，感受更強烈。對比手法已經應用于一些文學類教學中[8-9]，并取得了較好的課堂效果。將對比手法應用于Matlab教學中，在對一些命令講解時，除了講解該命令的使用規則，還對比講解該命令在數學上的求解過程，不僅使學生理解每條命令的具體含義，還幫助學生回顧其他課程的相關內容。據觀察，學生往往對實用性強的課程表現出極大的興趣。融入對比手法的Matlab課程講授可突顯Matlab軟件在實際應用方面的便利和強大之處，從而調動學生的積極性和主觀能動性。

一 對比手法在Matlab教學中的應用案例

（一） 矩陣的乘法

矩陣的乘法是Matlab的基本算術運算之一。其在《MATLAB程序設計與應用》[10]第2章第5小節中講到。

首先，我們先講在線性代數中，矩陣的乘法如何求解。對于兩個矩陣A和B，若矩陣A為m行n列的矩陣，矩陣B為n行p列的矩陣，則矩陣C=A×B為m行p列的矩陣，矩陣C中各個元素為這里要注意的是矩陣A的列數要等于矩陣B的行數，矩陣A乘以矩陣B才得以運行。接著，舉一個具體的實例。若矩陣則按照上述公式得到矩陣以矩陣C中第一行一列的元素為例，C(1,1)=A(1,1)×B(1,1)+A(1,2)×B(2,1)=1×1+2×4=9。

接下來，對比在Matlab軟件中矩陣的乘法如何計算。在Matlab軟件中，矩陣乘法用*這個命令，要得到兩個矩陣A和B的乘積，需在命令行窗口輸入A*B，并按Enter鍵，即可得到結果。以上述實例（一）中的矩陣A和B為例，具體命令如下：

>> A=[1,2;3,4];

>> B=[1,2,3;4,5,6];

>> C=A*B

C =

9 12 15

19 26 33

（二） 矩陣的逆

逆矩陣是矩陣理論中很重要的內容，逆矩陣的求法自然也是線性代數研究的重點內容之一。在《MATLAB程序設計與應用》[10]第3章第2小節中，講到矩陣的逆：對于一個方陣A，若存在一個與其同階的方陣B，使得為單位矩陣，則稱B為A的逆矩陣，A也為B的逆矩陣。

首先，我們先講解線性代數中矩陣的逆如何求解。對于任一二階方陣其逆矩陣A*是方陣A的伴隨矩陣，A*為方陣A的余子式M的轉置。為方陣A的行列式的值。方陣A的余子式同樣地，給出一個實例，對于方陣先求出方陣A的余子式即得方陣A的伴隨矩陣接著求出方陣A的行列式的值可得到方陣A的逆矩陣

下面，我們對比在Matlab軟件中矩陣逆的求法。在Matlab中，矩陣逆可用一個命令inv求出。在命令行窗口，我們輸入inv(A)，并按Enter鍵，即可得到結果。以上述實例（二）中的方陣A為例，具體命令如下：

>> A=[1,2;3,4];

>> inv(A)

ans =

-2.0000 1.0000

1.5000 -0.5000

（三） 非齊次線性方程組的求解

在《MATLAB程序設計與應用》[10]第3章第2小節中講到了非齊次線性方程組的求解。線性方程組是指由n個方程構成的線性方程組：

當b1，b2…bn不全為零時，為非齊次線性方程組。其中為系數矩陣，非齊次線性方程組可表示為Ax=b，在其左右兩邊各左乘系數矩陣的逆矩陣A-1，得x=A-1b，即非齊次線性方程組的解可由系數矩陣A的逆矩陣乘以b得到。

接著我們對比在Matlab中非齊次線性方程組是如何求解的。由實例（一），我們知道在Matlab軟件中，矩陣的逆使用命令函數inv。由實例（二），我們知道Matlab軟件中，矩陣的乘法使用命令*。因此，我們在命令行窗口輸入x=inv(A)*b，即可得到非齊次線性方程組的解。以上述實例（三）中的非齊次線性方程組為例，具體命令如下：

>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];

>> b=[5;-2;6];

>> x=inv(A)*b

x =

23.0000

-14.5000

3.6667

（四） 齊次線性方程組的求解

當線性方程組（1）中的b1，b2…bn全為零時，為齊次線性方程組。當系數矩陣A經過初等行變換所化到的行階梯形矩陣的非零行行數小于A的列數時，齊次線性方程組有非零解。與非齊次線性方程組不同，齊次線性方程組的解不能運用系數矩陣A的逆矩陣來求解。給出一個實例，講解齊次線性方程組的求解方法。若一個齊次線性方程組為其系數矩陣求該齊次線性方程組的解，先對系數矩陣A進行初等行變換，分別進行將矩陣A中的第三行減去四倍的第一行，第二行減去二倍的第一行，得接著將第三行減去第二行得此矩陣是最簡化的系數矩陣，其對應的方程組為令z=k，k為任意實數，原齊次線性方程組的解為

接著我們對比在Matlab中，齊次線性方程的解如何求得。在命令行窗口輸入x=null(A)，即可得到齊次線性方程組的非零解。值得注意的是，齊次線性方程組存在多組非零解，用Matlab求解，只可得到其中一組非零解。以上述實例（四）中的齊次線性方程組為例，具體命令如下：

>> A=[1,2,-1;2,3,1;4,7,-1];

>> x=null(A)

x =

-0.8452

0.5071

0.1690

（五） 矩陣的特征值與特征向量

在《MATLAB程序設計與應用》[10]第3章第4小節中講到了矩陣的特征值與特征向量。對于n階方陣A，若Aξ=λξ成立，則λ和ξ是方陣A的特征值和特征向量。等式Aξ=λξ等價于(A-λI)ξ=0，I是單位矩陣。若使方程(A-λI)ξ=0有非零解，則其系數行列式|A-λI|必須等于0。

接著我們對比在Matlab中，方陣的特征值與特征向量如何求得。在Matlab中，我們用eig函數求方陣的特征值和特征向量，其調用格式為[X,D]=eig(A)，D是一個對角陣，其對角線上的元素為方陣A的全部特征值，X是與D同階的方陣，其各列是對角陣D中各特征值相應的特征向量。值得注意的是，方陣A在某一特征值下對應多組特征向量，用Matlab求解，只可得到其中一組特征向量。以上述實例（五）中的方陣A為例，具體命令如下：

>> A=[2,1;3,0];

>> [X,D]=eig(A)

X =

0.7071 -0.3162

0.7071 0.9487

D =

3.0000 0

0 -1.0000

（六） 多項式求根

在《MATLAB程序設計與應用》[10]第6章第2小節中講到了多項式求根。多項式是指由若干個單項式相加組成的代數式，其形如以2次多項式為例，2次多項式形如在數學上，我們一般用配方法來求其根，其兩個根分別是舉一個實例，對于2次多項式用配方法可得其兩個根分別是x1=1.099和x2=-9.099。

下面，我們對比在Matlab軟件中如何計算多項式的根。在Matlab軟件中，我們可以用三種方法來計算多項式的根，其中最簡單的一種是運用命令函數roots。值得注意的是，在Matlab中，多項式可由一個行向量表示，其各個元素分別為各個單項式的系數，并且按照從高次冪依次往低次冪排布。以上述實例（六）中的2次多項式為例，具體命令如下：

>> P=[1,8,-10];

>> x=roots(P)

x =

-9.0990

1.0990

第二種計算多項式的根的方法是利用多項式的伴隨矩陣求得。多項式的伴隨矩陣對應的特征值，即為多項式的根。在Matlab中，我們運用函數compan求多項式的伴隨矩陣。在實例（五）中已講到用eig函數求某方陣的特征值。該方法的具體命令如下：

>> P=[1,8,-10];

>> A=compan(P);

>> x=eig(A)

x =

-9.0990

1.0990

第三種計算多項式的根的方法是利用到《MATLAB程序設計與應用》[10]第5章第1小節中講到的二維圖形繪圖法。我們可以提供一組x坐標，并將其帶入多項式中。令多項式的值為y坐標，繪制分別以x和y為橫、縱坐標的二維曲線。這條二維曲線與y=0曲線的交點即為多項式的根。該方法的具體命令如下：

>> x=[-15:0.1:15];

>> p=x.^2+8*x-10;

>> figure

>> plot(x,p)

>> grid on

圖1 實例（六）中的2次多項式y=x2+8x-10

從以上六個實例看出，運用Matlab軟件后，很多在數學中較為復雜的解法變得簡潔，方便。通過將數學解法與Matlab的命令操作進行對比，使得學生深入地理解了Matlab每條命令的意義，便于學生記憶Matlab的基礎語言和命令。

二 效果評價

Matlab課程包括理論講授和上機實驗操作兩部分。在Matlab理論講授過程中引入對比手法，經過近幾年的課程實踐，從學生的反饋來看，課程得到了認可，學生的學習熱情得到了激發。很多學生反饋，對比某一運算的數學解法和其在Matlab中的命令操作，幫助他們理解每條命令的具體含義，并加速他們對Matlab基礎命令的記憶。并且，在上機實驗操作時，他們不再是機械化地敲命令，而是會思考和分析命令運行后得到的結果。此外，Matlab課程安排在高等數學，線性代數，矩陣論等課程之后，該教學方法還幫助他們復習了相關課程中的知識要點。

三 結語

本文針對Matlab基礎語言和命令講解中存在的問題進行分析，提出應用對比手法，通過對比Matlab的命令操作及其數學解法，加深學生對Matlab命令的理解。經過近幾年的不斷摸索與實踐，課程得到了學生的認可，學習熱情得以提高。在接下來的教學過程中，將進一步優化教學內容，更加深入地探索有利于培養學生自主性，創新性以及解決問題的能力。