地埋管地源熱泵水泥基回填材料導熱系數預測模型

董世豪，胡自遠，周超輝，周亮宇，林德榮，倪 龍

（1.哈爾濱工業大學 建筑學院 寒地城鄉人居環境科學與技術工業和信息化部重點實驗室，哈爾濱 150090；2.山東省地質礦產勘查開發局 第七地質大隊，山東臨沂 276006；3.中能建地熱有限公司，北京 100022）

0 引言

水泥基材料廣泛應用于建筑、固井材料、回填材料、巖層封堵、注漿工程等，與人民生活、社會發展息息相關。水泥基材料通常由水泥、骨料（一般為砂或石）及其他改善性能的材料組合而成，其導熱系數在很多研究和工程中都是重要參數：在建筑行業，混凝土圍護結構的導熱系數直接影響建筑能耗；對于地源熱泵，地埋管周圍的鉆孔間隙需用回填材料填實，其導熱系數直接影響換熱效果。

地埋管地源熱泵回填材料有水泥基和膨潤土基兩種，在基巖地區宜選用水泥基材料，同時水泥基材料也具有更高的導熱性能［1］。高導熱性能的回填材料對系統節能和減少投資至關重要，ALLAN等［2］研究發現，采用高導熱系數的材料可以使地埋管設計長度減少22%～37%；陳衛翠等［3］對通過工程實例計算得出高性能回填材料能夠減少地埋管長度29%～36%；BURKHARD等［4］也通過熱響應試驗發現，采用強化換熱材料的鉆井熱阻可降低27%。因此，針對此類材料的導熱性能進行理論研究與建模，可以為高性能材料的開發提供理論指導，對行業發展意義重大。

現有針對水泥基回填材料的研究多局限于試驗研究，國內外學者研究發現，水灰比降低［1］，砂灰比增大［5-6］，添加石墨［5，7］都會使導熱系數增加；鄒玲等［8］還測定了材料的孔隙率，發現材料孔隙率隨水灰比增加而變大。對于導熱系數理論研究，有學者針對緩沖材料［9］、巖土［10-12］、建材［13］、食物［14-15］、陶瓷等材料建立了導熱模型，但是，適合于水泥基材料的導熱模型較少，專門用于水泥基回填材料的導熱模型更少，且現有模型直接用于回填材料導熱系數預測的誤差較大。因此，為了給水泥基材料研究提供一種可應用的導熱系數計算模型或方法，本文根據材料的物理結構和組成，結合傅里葉導熱定律，建立了水泥基材料導熱系數預測模型，基于水泥基回填材料進行了參數識別，并與試驗值進行了對比驗證。

1 導熱系數預測模型的建立

一般水泥基材料由骨料、水泥和水按比例混合而成，成型的材料中存在孔隙，孔隙內含有水分或空氣。因此水泥基材料也是一種固-液-氣三相混合物，該模型首先針對由骨料和水泥膠結物組成的固相部分建模，然后針對固相（水泥+骨料）、液相（水）、氣相（空氣）三者的混合物建模。

1.1 固相（水泥+骨料）模型

1.1.1 模型結構

首先針對由骨料和水泥組成的固相建模，該模型可以反映骨料含量對導熱系數的影響。進行如下假設：（1）將骨料顆粒將簡化為等大的球體；（2）利用球體的重疊反映骨料之間的面接觸；（3）材料內部為純導熱。

圖1示出固相模型的中央截面。骨料為相互重疊的球體，骨料平均半徑為r，角度控制其重疊程度；骨料周圍包裹水泥基質，形成半徑為（ξ≥1）的圓柱體，通過骨料含量計算出參數。熱流方向為從上到下，如圖2所示。

圖1 固相導熱模型Fig.1 Solid-phase thermal conductivity model

圖2 計算單元示意Fig.2 Schematic diagram of calculation unit

1.1.2 模型推導

由圖1所示的模型物理結構可計算得到骨料體積分數表達式：

式中 η ——骨料在固相中的體積分數；

α ——衡量骨料面接觸程度的參數；

ξ ——與骨料含量有關的參數，ξ≥1。

而骨料體積分數和骨料/水泥質量比的關系為：

式中φ——骨料與水泥質量比，0≤φ≤1；

ρag——骨料的密度，kg/m3；

ρc——無孔水泥密度，kg/m3。

如圖2，取一個骨料顆粒及其周圍水泥為計算單元，并建立柱坐標系。設該單元上、下面的溫差為ΔT，按幾何特征將該單元的熱流分為3部分，即圖中的Q1，Q2和Q3。第1部分Q1為純水泥的圓周，其中x∈（r，ξr），根據傅里葉導熱定律計算該部分的熱流量為：

式中 Q1——第1部分的熱流量，W；

λc——水泥基質導熱系數，W/（m·K）；

r ——骨料顆粒的半徑，m。

第2部分Q2包括水泥和骨料，其中x∈（rsinα，r），如圖2所示，取dx微元厚度的圓周，則在x處該微元的熱阻是：

式中λag——骨料的導熱系數，W/（m·K）；

R（x） ——x處該微元的熱阻，K/W。

則該部分的熱流量為：

式中 Q2——第2部分的熱流量，W。

式（5）可以進一步計算得到：

第3部分Q3為純骨料組成的圓柱，其中x∈（0，rsinα），該部分的熱流量為：

該模型總的熱流量為：

將式（3）（6）和（7）代入式（8）中，可以得到與r，ΔT無關的式（9），也即固相模型的有效導熱系數λs為：

1.2 固－液－氣三相模型

1.2.1 模型結構

針對固-液-氣三相進行建模，該模型可以反映孔隙率和飽和度對導熱系數的影響。一般情況下孔隙率越高導熱系數越低。嚴辰成等［16］通過X射線掃描水泥砂漿的孔隙結構得出，水泥漿體中的孔可以分為氣孔和毛細孔，氣孔尺寸較大，形狀接近球形，毛細孔尺寸較小且形態不規則，難以建立實際結構的模型?，F有的導熱系數理論計算研究［17-20］也多將孔隙簡化為規則形狀，從現有研究以及本文研究結果來看，采用這種簡化方法得到計算結果的精度能滿足工程需要，一定程度上說明了這種方法的可行性。

假設條件如下：（1）材料中的孔隙為橢球體；（2）水分均勻附著在橢球體孔隙周圍，且厚度一致；（3）材料內部只存在熱傳導。

模型如圖3和4所示，熱流方向為立面圖中的從上到下，中間為橢球體孔隙，水分均勻附著在橢球體內壁面。橢球體孔隙（包括液相和氣相）長軸為2a，短軸為2βa，通過β控制橢球體短軸從而改變孔隙形狀或大??；不包括水分的橢球體（氣相）長軸為2κa，短軸為2κβa，通過κ來反映飽和度（0≤κ≤1）；孔隙周圍是固相材料，模型整體為立方體，底面是邊長為2γa的正方形，高為2μa，其中μ≥1，γ≥β。

圖3 固-液-氣三相模型平面Fig.3 Plan of solid-liquid-gas three-phase model

該模型有3種參數取值方式：

（1）找到γ，μ和a最優值，由孔隙率計算出β；

（2）找到β，μ和a最優值，由孔隙率計算出γ；

（3）找到γ，β和a最優值，由孔隙率計算出μ。

1.2.2 模型推導

根據幾何關系得到孔隙率和各參數的關系：

式中 ε —— 孔隙率，定義為塊狀材料中孔隙體積與總體積的百分比。

β ——幾何參數，橢球形孔隙的短軸為βa；

γ —— 幾何參數，模型底面邊長2γa，且γ≥β；

μ —— 幾何參數，模型長方體的高為2μa，且μ≥1；

飽和度和參數κ的關系：

式中 ω —— 飽和度，定義為材料中水的體積與孔隙體積的百分比；

κ ——與飽和度有關的參數，0≤κ≤1。

將該模型作為計算單元，建立如圖4所示的柱坐標系，設上下面的溫差為ΔT，按幾何特征將熱流分為3部分，Q1'部分為純固相部分的圓周，其中x∈［βa，γa］；Q2'部分包括液相和固相，x∈［κβa，γa］；Q3'部分為包括液相、氣相和固相的圓柱，x∈［0，κβa］。按照與固相模型相似的方法得到式（12），即該模型的有效導熱系數為：

圖4 固-液-氣三相模型立面Fig.4 Elevation of solid-liquid-gas three-phase model

式中λe—— 模型有效導熱系數，即回填材料導熱系數預測值，W/（m·K）；

λw——液相導熱系數，W/（m·K）；

λs—— 固相導熱系數，由式（9）得到，W/（m·K）。

λa——氣相導熱系數，W/（m·K）；

式（12）繼續推導可得到與a無關的式（13）：

2 模型參數識別

該模型中的參數γ，μ和β與材料的幾何性質有關，直接測量非常困難，對具體材料，可通過參數識別確定。對于水泥基回填材料，骨料為石英砂，孔隙內為空氣（氣相）和水分（液相）。本文選取兩組獨立的實驗數據，一組用于參數識別，一組用于模型驗證。

2.1 參數識別試驗數據與參數取值選擇標準

KIM等［21］測量了水灰比為0.7、非飽和狀態、不同砂灰比（骨料/水泥質量比）下水泥基回填材料的孔隙率和導熱系數，試驗值見表1［21］，數據均為在室溫下測得，而模型中單相材料導熱系數也取25 ℃對應的值，因此模型參數取值條件與實驗條件基本匹配，可用于參數識別。

表1 參數識別試驗數據Tab.1 Experimental data for parameter identification

不同參數取值影響預測值的大小，進而與預測精度有關。首先，使用模型計算表1數據對應的孔隙率、飽和度和砂灰比下的預測值；然后，將預測值與實驗值對比得到其相對誤差，取這5個預測值的平均誤差作為判斷標準。參數取值不同可以得到的平均誤差也不同，改變參數取值找到平均誤差較小或滿足精度要求的取值，則模型參數γ，μ和β即可確定。

2.2 單相材料參數取值

回填材料各種單相成分的物性參數見表2。其中，無孔水泥為不包含孔隙的固結水泥。水和空氣的導熱系數隨溫度變化，回填材料的工作溫度也隨工況變化，根據文獻［22］給出的地埋管鉆孔在取熱和排熱工況下地層溫度分布可知，大部分回填材料的實際運行溫度在10～40 ℃范圍內。將水在10 ℃和40 ℃時的導熱系數代入模型（砂灰比=2，孔隙率=0.22，飽和狀態），得到導熱系數預測值分別為2.50和2.59 W/（m·K），相差3.47%；同樣，將空氣在10 ℃和40 ℃時的導熱系數代入模型（砂灰比=2，孔隙率=0.22，飽和度=0.3），得到空氣的導熱系數變化對預測值的影響為0.42%，因此雖然水和空氣的導熱系數都會受溫度的影響，但是其對最終結果影響很小，因此取平均溫度25 ℃下的固定值即可。

表2 單相材料物性參數Tab.2 Physical parameters of single phase material

2.3 最佳孔隙率控制方式確定

第1.2.2節提到，模型有3種取值方法，因此需要確定適合于回填材料的最優方法。將不同參數取值方式下的預測值與表1試驗值對比，用平均誤差作為評價標準。

圖5示出了方式（1）不同γ，μ下的平均誤差，γ一定時，μ越大，誤差越小，當μ增加至1.4時，誤差約17%，但是可預測的最大孔隙率僅37.40%，可預測孔隙率范圍過小。圖6示出了方式（2）不同μ，β下的平均誤差，平均誤差幾乎不隨β變化；而β一定時，平均誤差隨μ增大而減小，當達到1.4時，其平均預測誤差減小至15.65%，但其可預測的孔隙率范圍仍然過小。因此，方式（1）、（2）誤差均較大。

圖5 不同γ，μ 取值下的平均誤差Fig.5 Average error under different values of γ and μ

圖6 不同μ，β 取值下的平均誤差Fig.6 Average error under different μ and β

圖7 示出了方式（2）在不同β，γ值下的平均誤差，當β略小于γ時，平均誤差低于10%，當β=0.95，γ=1.00時，平均誤差低至4.36%，可預測的最大孔隙率為0.472 5。綜上，參數取值方式（2）更適合于水泥基回填材料。

圖7 不同γ，β 值下的平均誤差Fig.7 Average error under different values of γ and β

2.4 參數γ，β的識別

以表1試驗數據為基準，進行試算。圖8示出了γ，β不同取值對預測誤差的影響，誤差隨參數β（γ≥β）的增加，先降低后增加，且在γ取值不同時變化趨勢一致，但是取得最小值的位置不同，γ越小，曲線整體向左移；當γ=1.00，β=0.96時，平均誤差為3.67%，在各取值組合中最小。

圖8 不同β，γ值下，預測誤差隨孔隙率的變化Fig.8 The variation of prediction error with porosity under different β and γ

2.5 參數識別結果

適用于水泥基回填材料的最佳參數取值方式為：找到γ和β最優值（β=0.96，γ=1.00），通過試驗得到的孔隙率計算出μ值。模型識別誤差如圖9所示，預測值與試驗值非常接近，且變化趨勢一致，誤差在1.49%～6.80%之間，說明參數識別結果較為精準。

圖9 參數識別誤差Fig.9 Parameter identification error

3 模型驗證及比較

3.1 模型驗證試驗數據

鄒玲等［8］測試了水泥基回填材料在砂灰比為2、飽和狀態時，水灰比和孔隙率對導熱系數的影響；KIM等［21］還測量了在水灰比為0.7、飽和狀態時，不同砂灰比下回填材料的孔隙率和導熱系數。

鄒玲等［8］還指出，砂灰比大于2.2會使材料的流動度過低，影響實際應用；文獻［6］提出，水灰比太小會導致流動度太差，過大會導致導熱性能變差，水灰比0.45～0.70為宜；對于地源熱泵，回填材料與巖土導熱系數之比在1～1.2左右較優［28］，過高則會導致地埋管之間的熱短路，因此回填材料導熱系數一般不超過3 W/（m·K）；同時，由于地下水存在，回填材料的工作狀態多為飽和狀態。因此表3數據可以涵蓋回填材料研究和工程應用的常見配比范圍。

表3 模型驗證試驗數據Tab.3 Experimental data for model verification

3.2 模型驗證

將最優參數取值代入模型，計算飽和狀態不同孔隙率下的導熱系數，并與鄒玲等［8］的試驗數據對比，對比結果如圖10所示。預測值與試驗值變化趨勢一致；預測值整體略高于試驗值，在孔隙率為0.163時誤差低至1.49%，最大誤差也僅為5.94%，總體上預測較精準。

圖10 飽和狀態不同孔隙率下的預測結果Fig.10 Prediction results at different porosity in saturated state

對于飽和狀態，圖11示出了預測值與表3中KIM等［21］試驗值的對比結果，預測值與試驗值變化趨勢一致，均隨砂灰比增加而增加，但是預測值普遍低于試驗值，預測誤差在3.98%～15.26%之間。但只有砂灰比在2.5及以上時誤差超過12%，而此時過高的砂灰比已經使流動性降低而影響實際應用了。因此，總體上預測較精準，滿足實際工程與研究需要。

圖11 飽和狀態不同砂灰比下的預測結果Fig.11 Prediction results under different sand-cement ratios in saturated state

3.3 誤差分析

誤差來源于實驗誤差和模型誤差。對于實驗誤差，不同文獻采用的材料品質、制作工藝不同可能造成同樣配比材料的導熱系數差異，另外，孔隙率、導熱系數等參數測量過程本身也存在誤差。對于模型誤差，實際的骨料（石英砂）顆粒并不會像模型中那樣形狀規則，而且孔隙之間存在聯通；同時，本模型未考慮對流換熱，但實際的孔隙內的空氣或水會存在熱對流；含水量較高時也會存在熱濕遷移現象，所以飽和狀態的試驗值通常會偏大，也就導致了圖11中飽和狀態預測值普遍偏小。

3.4 模型比較

本文還應用現有經典模型進行了導熱系數計算，并將其預測精度與本文模型進行了比較。

3.4.1 經典模型

（1）Bruggeman模型。

Bruggeman模型［29］基于平均場理論，假設分散相在連續相介質中隨機分布，通過微分再積分方法建立了二元復合材料等效導熱系數計算模型：

式中 f ——分散相的體積分數；

kd——分散相的導熱系數，W/（m·K）；

ke—— 復合材料的有效導熱系數，W/（m·K）；

kc——連續介質導熱系數，W/（m·K）。

該模型可直接應用于二元復合材料，而水泥基回填材料屬于多相材料，因此可通過重復應用該模型來得到其導熱系數。

（2）Maxwell模型。

假設分散相為球型顆粒且隨機分布，且分散相顆粒溫度不影響鄰近分散相顆粒的溫度分布，通過求解分散相顆粒隨機均勻地分布在連續相中的導熱問題獲得了Maxwell模型［30］：

式中 ke—— 復合材料的有效導熱系數，W/（m·K）；

kc——連續介質導熱系數，W/（m·K）；

δ ——分散相與連續相導熱系數之比；

f ——分散相的體積分數。

3.4.2 本文模型的優勢

圖12示出了采用本文模型、Bruggeman模型［29］和Maxwell模型［30］計算得到的誤差。經過比較，本文模型相對于現有模型的優勢如下。

圖12 采用不同模型計算的誤差Fig.12 Errors calculated by different models

（1）精度更高：本文模型的預測誤差均在1.49%～15.26%之間，預測精度較高；而應用經典模型得到的預測誤差較大，Maxwell模型的預測誤差多個點超過20%誤差線，Bruggeman模型誤差甚至超過了80%。

（2）可預測的物質組成更復雜：本文模型可以直接預測由骨料、水泥、水和空氣4類物質，3種相態組成的復合物的導熱系數，現階段可以做到準確預測這類復合物質導熱系數的模型較少；而經典模型大多針對二或三元復合材料進行建模。

（3）可預測影響參數更多：本文模型可以同時預測單相材料導熱系數、孔隙率、骨料含量、飽和度等多種參數對導熱系數的影響，而現有模型多針對簡單物質建模，能夠做到同時預測多種參數對導熱系數影響的模型較少。

（4）模型物理結構更嚴謹：經典模型一般未考慮顆粒接觸與孔隙的幾何形態，因而對水泥基材料的適用性較差，這都導致了預測誤差較大；本模型充分考慮了骨料含量較大時可能出現的面接觸現象，使物理結構更貼近實際。

（5）靈活性更高：不同用途水泥基材料具有類似的物理結構，但是其導熱系數規律可能有差別。而經典模型參數固定，無法通過參數識別，確定不同用途水泥基材料的最優參數，靈活性不及本文模型。

4 結論

本文建立水泥基材料的導熱系統預測模型，并進行了參數識別和模型驗證，得到了適用于地埋管地源熱泵回填材料的參數取值。主要結論如下：

（1）找到參數β，γ最優值，通過孔隙率計算得到μ，可以得到較好的預測精度，β=0.96和γ=1.00為適用于地埋管地源熱泵回填材料的最優參數取值；

（2）該模型可以精準預測不同孔隙率下的導熱系數，預測誤差在1.49%～5.94%之間，也能較精準預測不同砂灰比（骨料含量）、不同飽和度下的導熱系數，預測誤差在1.49%～15.26%之間；

（3）本文模型預測精度優于傳統的導熱系數預測模型，本文模型誤差最大為15.26%，Maxwell模型的預測誤差多個點超過20%，Bruggeman模型誤差更大，甚至超過了80%；且具有可預測參數多、可預測物質組成復雜、物理結構嚴謹、靈活性高等優勢。