三維橢球形缺陷啟裂載荷隨傾角和壓縮度變化的規律1)

高經緯 肖 艷 范立峰

(北京工業大學城市建設學部, 北京 100124)

工程巖體內賦存著許多缺陷。巖體內的缺陷在外部載荷作用下會發生啟裂，隨后進一步擴展貫通形成宏觀裂紋，這會使巖體的強度降低，進而可能危害工程安全[1]。缺陷的尺寸和傾角都會影響其啟裂行為，研究缺陷尺寸和傾角對其啟裂行為的影響對認識巖體內缺陷的啟裂破壞機理以及防治工程災害具有重要意義。

早期學者通常采用平面二維缺陷模型來簡化研究三維缺陷啟裂行為。李冰峰等[2]研究了二維缺陷的啟裂及擴展行為，表明缺陷的存在會削弱礦物顆粒形態對巖石破壞行為的影響。Barquins等[3]將巖體內缺陷簡化成二維橢圓形缺陷，研究了缺陷傾角和扁平程度（扁橢圓形缺陷短軸與長軸之比）對其啟裂位置的影響。Liu等[4]研究了預制缺陷的傾角和長度對其啟裂位置以及壓縮強度的影響，研究表明缺陷傾角會影響其啟裂位置，并且傾角對壓縮強度影響程度與缺陷長度密切相關，隨著缺陷長度增加，傾角對強度影響越大。郭少華等[5]研究了壓應力作用下缺陷傾角對其啟裂載荷的影響，研究表明橢圓形缺陷啟裂載荷隨著其傾角的增加先減小后增加。橢圓形缺陷存在一個臨界傾角，當缺陷處于該傾角時，其啟裂載荷最小。缺陷傾角對其啟裂載荷的影響規律受缺陷形態影響。趙永等[6]研究發現條形缺陷啟裂載荷隨其傾角增加單調減小。Ma等[7-8]將巖體內缺陷簡化成直裂紋、Z型和S型非直裂紋，研究了直裂紋和非直裂紋在軸向壓縮載荷下的啟裂位置，揭示了缺陷形態對其啟裂行為影響的規律。辛宏舉等[9]研究了圓形缺陷尺寸對壓縮開裂及破壞模式的影響。Zhang等[10]將巖體內缺陷簡化成圓形，矩形和馬蹄形，研究了缺陷形態對試樣裂紋演化和破壞模式的影響。平面二維缺陷的啟裂行為受缺陷形態、尺寸以及傾角等因素的影響。前人對二維缺陷啟裂行為的研究對于認識缺陷啟裂破壞機理提供了很大幫助，開展三維缺陷啟裂行為的研究將有助于進一步揭示巖體內復雜形態缺陷的啟裂擴展破壞機理。

目前，前人對復雜的三維缺陷啟裂擴展行為開展了相關研究。Germanovich等[11]將巖體內缺陷簡化成三維幣形缺陷，研究了三維幣形缺陷在軸向載荷作用下的擴展行為。Fu等[12]將巖體內缺陷簡化成三維橢圓形缺陷，研究了三維橢圓形缺陷在軸向載荷作用下的啟裂擴展規律。他們側重于研究三維缺陷在軸向載荷作用下的擴展模式。Yang等[13]將巖體內缺陷簡化成三維橢圓形缺陷，研究了缺陷傾角對試樣壓縮破壞強度的影響，結果表明試樣壓縮破壞強度隨著缺陷傾角增加先減小后增加。巖體內缺陷的啟裂、擴展和破壞行為與缺陷形態、角度以及尺寸密切相關。前人關于三維缺陷啟裂行為的研究通常將三維缺陷簡化成三維幣形和三維橢圓形缺陷，側重討論缺陷的傾角和尺寸對其擴展過程和試樣力學強度的影響。實際工程巖體在宏觀尺度和細觀尺度上都含有類似橢球形的缺陷，如圖1所示。橢球形缺陷三個方向上的尺寸對其啟裂行為均會產生影響。另外，不僅需要關注巖體中缺陷的擴展過程以及巖體的強度，同樣也需要關注缺陷的啟裂行為，比如啟裂載荷，這對于工程災害預報具有重要意義。

圖1 巖體內的橢球形缺陷Fig. 1 Ellipsoidal flaws in rocks

本文將巖體內缺陷簡化成三維橢球形缺陷，基于擴展有限元法模擬三維橢球形缺陷的啟裂行為，討論三維橢球形缺陷傾角和尺寸對其臨界啟裂載荷的影響。

1 三維橢球形缺陷啟裂行為數值模擬

1.1 模型的幾何參數

圖2 (a)呈現了三維橢球形缺陷模型的幾何尺寸。模型為長、寬、高分別是20 mm，20 mm，40 mm的長方體，三維橢球形缺陷位于模型的正中心。o′x′y′z′坐標系是模型的整體坐標系，并且模型是關于x′o′z′平面對稱的。oxyz坐標系是模型的局部坐標系，以三維橢球形缺陷的三向軸為坐標軸。缺陷傾角β為加載方向與x軸正方向的夾角。

通過設置缺陷體積不變，改變橢球形缺陷三個方向上的尺寸，得到不同尺寸的三維橢球形缺陷。缺陷最大擴展長度大約是初始缺陷半徑的1.50倍[14]。為了保證模型邊界不影響缺陷擴展，設置缺陷最大半徑不超過模型邊界長度的五分之一。本研究設置缺陷z方向上的最小半徑為0.2 mm，x或y方向上的最大半徑為3.5 mm。表1呈現了本研究設置的三維橢球形缺陷尺寸。每一種尺寸的三維橢球形缺陷包括6種傾角，分別是0°，15°，30°，45°，60°和75°。

表1 三維橢球形缺陷尺寸Table 1 Geometric dimensions of the threedimensional ellipsoid flaw model

1.2 模型的力學參數

參考文獻[15-17]中關于采用Vero Clear材料開展脆性巖石材料內缺陷啟裂和擴展行為的數值模擬和試驗研究，本研究在數值模擬材料屬性賦值時，同樣采用了Vero Clear材料的基本力學參數。Vero Clear材料的基本力學參數，包括單軸抗壓強度、彈性模量和泊松比[18-19]。凍結溫度下，Vero Clear材料表現出明顯的彈脆性特征。本研究是基于線彈性斷裂力學理論進行的，在缺陷啟裂階段材料仍然處于彈性階段。凍結溫度下Vero Clear材料的斷裂韌度KIC= 60.4 kPa·m1/2，彈性模量E= 59.60 MPa，泊松比μ= 0.30，臨界抗拉強度σt= 1.00 MPa。

1.3 有限元模型

模型關于x′o′z′面對稱。為了提高計算效率，可以簡化建立對稱模型。在模型的對稱面x′o′z′面上設置對稱約束，約束y′方向的位移。模型的下端面設置固定約束，在模型上端面施加均布面載荷，如圖2 (b)所示。采用單軸壓縮方式進行加載。網格采用十結點二次四面體單元(C3D10)，模型網格劃分結果如圖2 (c)所示。

圖2 三維橢球形缺陷模型Fig. 2 3D ellipsoid flaw model

本研究采用了最大主應力準則作為判別啟裂依據。前人研究表明，采用最大主應力準則作為判斷缺陷啟裂的依據時，模擬的缺陷啟裂情況與實際缺陷啟裂情況相符，模型計算過程的穩定性較高且容易收斂[20]。最大主應力準則表達形式為

式 中，σm0ax為 最 大 容 許 主 應 力，σmax為 最 大 主應力。當斷裂準則f在容差允許范圍內達到1.0時，缺陷啟裂。如果f> 1.0 +ftol，則滿足缺陷啟裂標準。為了使模型計算效率高且容易收斂，使計算更加精確，將容差修改為f= 0.01。

1.4 模型的啟裂載荷

采用三維橢球形缺陷有限元模型，基于擴展有限元法進行計算，根據計算結果的最大主應力云圖，觀察缺陷啟裂情況，記錄模型在啟裂時的外部載荷，即模型的啟裂載荷。以尺寸x= 3.00 mm，y= 2.00 mm，z= 0.20 mm，傾角β= 30°的橢球形缺陷模型為例介紹啟裂載荷的確定方法。

圖3呈現了尺寸x= 3.00 mm，y= 2.00 mm，z= 0.20 mm，傾角β= 30°的橢球形缺陷模型在不同載荷下的最大主應力云圖。從圖中可以看到缺陷頂點附近在載荷作用下出現了應力集中現象。隨著載荷增加至584.8 kPa時，缺陷頂點附近發生啟裂[4]。隨著載荷進一步增加，缺陷發生擴展。該模型的啟裂載荷為584.8 kPa。

圖3 x = 3.00 mm， y = 2.00 mm， z = 0.20 mm， β = 30°模型在不同載荷下的最大主應力云圖Fig. 3 Maximum principal stress nephogram of model with dimensions x = 3.00 mm, y = 2.00 mm, z = 0.20 mm, and flaw inclination angle β = 30° under different loads

為了更直觀地比較不同尺寸及傾角的三維橢球形缺陷模型的啟裂載荷，將所有模型的啟裂載荷歸一化。尺寸為x= 3.50 mm，y= 1.75 mm，z= 0.20 mm，傾角β= 0°模型的啟裂載荷P0cr最大，為 3.44 MPa。各模型歸一化后的啟裂載荷計算公式為

式中，Pk為歸一化啟裂載荷，Pcr為模型的啟裂載荷。

2 結果與討論

2.1 傾角對不同尺寸橢球形缺陷啟裂載荷的影響

圖4 (a)呈現了z= 0.20 mm橢球形缺陷啟裂載荷隨傾角β的變化規律。尺寸x= 3.50 mm，y= 1.75 mm的橢球形缺陷啟裂載荷隨缺陷傾角β增加先快速減小后緩慢增加。當缺陷傾角β=30°時，模型啟裂載荷最小。其他尺寸的橢球形缺陷模型啟裂載荷隨傾角的變化趨勢與之類似。

圖4 (b)呈現了z= 0.30 mm橢球形缺陷啟裂載荷隨傾角β的變化規律。尺寸x= 2.00 mm，y= 2.00 mm的橢球形缺陷啟裂載荷隨缺陷傾角β增加先減小后緩慢增加。同樣，缺陷傾角β=30°時，模型啟裂載荷最小。其他尺寸的橢球形缺陷模型啟裂載荷隨傾角的變化趨勢與之類似。

圖4 不同尺寸橢球形缺陷模型啟裂載荷隨傾角 β 變化圖Fig. 4 Variation of the crack initiation load with inclination angle β for different models

圖4(c)和圖4(d)分別呈現了z= 0.40 mm和z= 0.50 mm橢球形缺陷啟裂載荷隨傾角β的變化規律。同樣地，橢球形缺陷模型的啟裂載荷隨傾角β增加先減小后增加。

圖5呈現了近球形缺陷模型啟裂載荷隨傾角β的變化規律。近球形缺陷模型啟裂載荷隨缺陷傾角β增加變化輕微。尺寸x=y=z= 1.06 mm的球形缺陷模型啟裂載荷隨傾角增加無變化。

圖5 近球形缺陷模型啟裂載荷隨傾角 β 變化圖Fig. 5 Variation of the crack initiation load of sub-spherical flaw models with inclination angle β

2.2 傾角對不同壓縮度缺陷啟裂載荷的影響

缺陷的形態從扁平的橢球形變化到近球形，其啟裂行為會發生顯著變化[21]。選取表1中編號為3，6，10，13，15和17的模型進一步分析橢球形缺陷的扁平程度對模型啟裂載荷的影響。在這些模型中，x方向上的尺寸等于y方向上的尺寸。引入壓縮度參數來描述缺陷的扁平程度。三維橢球形缺陷的扁平程度隨著壓縮度增大而增大。壓縮度的計算公式為

式中B為缺陷壓縮度，x為橢球形缺陷x方向上的半徑，z為橢球形缺陷z方向上的半徑。

圖6呈現了不同壓縮度的缺陷模型啟裂載荷隨缺陷傾角β的變化規律。當缺陷壓縮度B=12.25時，模型啟裂載荷隨著缺陷傾角增加先快速減小后緩慢增加，在缺陷傾角β= 30°時，模型啟裂載荷最小，缺陷最容易啟裂。缺陷壓縮度B=6.67，4.33和3.10的模型啟裂載荷隨缺陷傾角增加先緩慢減小后緩慢增加，同樣缺陷傾角β=30°時，模型啟裂載荷最小。當缺陷壓縮度B=1.53和1.00時，模型啟裂載荷隨缺陷傾角增加變化較小。另外從圖6中看到，曲線的凹陷程度隨著缺陷壓縮度增加而增加，這表明隨著缺陷壓縮度增加，缺陷傾角β對啟裂載荷的影響逐漸增大。

圖6 不同壓縮度的缺陷模型啟裂載荷隨缺陷傾角 β 變化圖Fig. 6 Variation of the crack initiation load with inclination angle β for the models with different compressibility

2.3 缺陷壓縮度對不同傾角缺陷啟裂載荷的影響

圖7呈現了缺陷壓縮度B對不同傾角缺陷啟裂載荷影響的規律。當缺陷傾角β= 0°時，模型啟裂載荷隨缺陷壓縮度B增加先減小后逐漸增加。當缺陷傾角β= 15°，30°，45°，60°和75°時，模型啟裂載荷隨壓縮度B增大而減小，并且減小速率逐漸降低。

圖7 不同傾角的缺陷模型啟裂載荷隨壓縮度B變化圖Fig. 7 Variation of the crack initiation load with compression degree B for the models with different inclination angles

3 結論

本文研究了體積相同的三維橢球形缺陷的啟裂載荷隨其傾角和壓縮度的變化規律，得到以下結論。

（1）三維橢球形缺陷的傾角對其啟裂載荷影響程度與缺陷壓縮度有關。對于壓縮度較小的近球形缺陷，其啟裂載荷隨傾角增加變化輕微。對于壓縮度較大的三維橢球形缺陷，其啟裂載荷隨傾角增加先減小后增加，在傾角大約為30°時，啟裂載荷最小。隨著三維橢球形缺陷壓縮度增加，其啟裂載荷受傾角影響程度越大。

（2）三維橢球形缺陷的壓縮度對其啟裂載荷影響規律與缺陷傾角有關。對于平行加載方向的三維橢球形缺陷，即傾角為0°時，其啟裂載荷隨壓縮度增加先減小后增加。然而當傾角為15°，30°，45°，60°和75°時，啟裂載荷隨壓縮度增加單調遞減，并且減小速率逐漸降低。