推導Navier–Stokes方程用的Stokes的三條假設1)

黃樹新

(上海交通大學工程力學系, 上海 200240)

(上海交通大學水動力學教育部重點實驗室, 上海 200240)

Navier-Stokes方程是流體力學中的基本方程，也是教學中要求學生理解掌握的方程[1]。這個方程在航空、環境、化工等眾多領域有著廣泛的應用。推導Navier-Stokes方程一般有2種方式，一個是Navier采用的從分子運動的角度分析并得到這個方程，一個是Stokes采用的基于連續介質力學的方式。筆者在流體力學課程的教學中，講的是Stokes的推導方式[1?3]。

Stokes用連續介質力學的方法得到Navier-Stokes方程時，用了3個假設[1?3]。這3個假設可以簡單地表述為，（1）應力和應變率存在線性關系；（2）流體各向同性；（3）靜止時的法向應力等于靜壓強。3個假設的表述在Acheson的著作中[4]也是類似的。Acheson[4]介紹，Stokes在1845年從這3個假設得到了流體中應力的表達式。

在近來的文獻查閱中，筆者讀了Cauchy的兩份工作[5?6]，注意到在Cauchy的工作中已經有這3個假設的使用。這里，介紹一下Cauchy的工作中和這3個假設有關的內容。

1 三條假設和Cauchy的工作

Stokes于1845年發表的文獻[7]中的式(8)包含的6個式子為

其中，u，v，w是速度分量；x，y，z是空間坐標；p是壓強；P1，P2，P3是法向應力；T1，T2，T3是剪切應力；μ是流體的黏度；δ是和?·v有關的量。式（1）和現在寫法的差別，主要在它的速度梯度是用d表示求導。這個式子就包含了Stokes用的3個假設。

1.1 應力和應變率存在線性關系的假設

Cauchy于1828年發表的文獻[6]中的式(25)包含的3個式子為

其中，A，B，C是法向應力；D，E，F是剪切應力；X，Y，Z分別是x，y，z三個方向上的重力分量；ρ是流體的密度；χ，δ，τ 是加速度分量。式(2)就是Cauchy用的動量方程，其中的應力在Cauchy的文獻[6]中的式(95)給出，即

其中，k是表征流體特性的參數，相當于流體黏度的2倍，R為

其中，K是和k有關的參數。式(4)包括Cauchy的文獻[6]中的式(29)和式(97)。很明顯，Cauchy的文獻[6]中的式(95)也表達了應力和應變率存在線性關系。所以，Stokes用的第1個假設在Cauchy的1828年的工作中已有。

1.2 流體各向同性的假設

在Cauchy的1828年的工作中[6]，有下面兩句話，‘1. en supposantket?variables avecx,y,z,’，和‘2. en supposantket?constantes’，其中，?是和流體的密度有關的物理量。第1句就是假設流體的物理特性k和?隨坐標變化，第2句就是假設流體的物理特性k和?是常數。用第1句假設的條件，就有Cauchy的文獻[6]中的式(90)，即

用第2句假設的條件，就有Cauchy的文獻[6]中的式(91)，即

這兩個式子都表明，Cauchy用的流體的物理特性k是各向同性的。

1.3 靜止時的法向應力等于靜壓強的假設

這條假設在Cauchy的1828年的工作[6]中沒有，但在Cauchy的1827年的工作[5,8]中有類似的表述。文獻[5]中的式(16)為

式(7)就是Cauchy的1828年的工作[6]中去掉慣性力的式(25)。同時，在文獻[5]中，Cauchy還給出了式(17)～式(19)三個式子，分別為

式(8)～式(10)就表明流體靜止時只有靜壓強的作用力。式(10)就是靜止流體的平衡微分方程。

考慮到Cauchy已經用過這3個假設，在近兩年的教學中，筆者在講課時就說，Stokes使用了3個假設，然后可以推導得到Navier–Stokes方程。以表達這3個假設不是Stokes原創的。

2 結語

本文介紹了Stokes在1845年推導Navier–Stokes方程時用的3個假設的歷史，這3個假設在Cauchy的兩份工作中也出現過。

致謝：感謝CALIS (China Academic Library &Information System，中國高等教育數字圖書館)上海市文獻信息服務中心和上海交通大學圖書館提供了Cauchy 和Stokes 的文獻。