楊文金
獨立性檢驗問題具有很強的現實背景和較強的實踐性。與它有關的試題情景新穎,富有時代氣息,貼近生活,能充分調動同學們學習數學、應用數學的積極性,從而激發他們對數學的熱愛。正因為如此,它成為了近年高考的一個熱點。
熱點一、完善列聯表
例1 (2021年棗莊模擬卷)如表1所示,2×2列聯表中a,b的值分別為( )。
熱點二、獨立性檢驗的基本思想
例2在獨立性檢驗中,統計量X2有兩個臨界值:3. 841和6.635。當X2>3. 841時,有95%的把握說明兩個事件有關;當X2>6. 635時,有99%的把握說明兩個事件相關;當X2<3. 841時,認為兩個事件無關。在一項調查某種藥是否對心臟病有治療作用時,共調查了3 000人,經計算得X2=9. 56,根據這一數據分析,認為此藥物與心臟病之間( )。
A.有95%的把握認為兩者相關
B.約有95%的心臟病患者使用藥物有作用
C.有99%的把握認為兩者相關
D.約有99%的心臟病患者使用藥物有作用
分析:根據統計Xz的值與6. 635的關系,判斷兩個事件間的關系即可。
解:由題知,X2=9. 56>6. 635,說明有99%的把握認為此藥物與心臟病之間有關,故選C。
熱點三、K2的計算與應用
例3 通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好體育,得到表2,參照附表,得到的正確結論是( )。
A.有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別有關”
B.有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別無關”
C.在犯錯誤的概率不超過0. 1%的前提下,認為“愛好體育運動與性別有關”
D.在犯錯誤的概率不超過0. 1%的前提下,認為“愛好體育運動與性別無關”
分析:先根據公式計算K2,再對照參考數據作判斷。
所以有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別有關”,或在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為“愛好體育運動與性別有關”,故選A。
點評:本題考查Kz計算及其應用,同時考查同學們的基本分析、判斷能力,屬基礎題。
熱點四、獨立性檢驗解決實際問題
例4 (2021年高考全國甲卷理)甲、乙兩臺機床生產同種產品,產品按質量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產品的質量,分別用兩臺機床各生產了200件產品,產品的質量情況統計如表4。
(l)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?
(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?
分析:本題考查頻率統計和獨立性檢驗,屬基礎題,根據給出公式計算即可求解。
故有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異。
點評:雖然作為解答題,但是本題比較容易,只相當于課本基礎題的難度,且這種題型平時訓練較多,是送分題。
因為E(x1)>E(x2),所以投資物聯網項目比投資人工智能項目平均年回報率要高,但二者相差不大。
因為D(X1)>D(X2),所以投資人工智能項目比投資物聯網項目年回報率穩定性更高,風險要小。
建議投資人工智能項目。
點評:(1)概率統計問題的套路是:①確定任務;②收集數據;③處理數據;④分析數據;⑤應用數據。
(2)對于復雜的概率統計可以遵循套路,將文字和要求進行分解,以有效理解題意。
對于依據數據特征的決策,在問題解決中要思考以下問題:
①常用數字特征有哪些?
②各種數字特征產生的背景(產生在統計活動中的哪個環節);
③利用哪一個(哪幾個)數字特征作決策;
④如何根據數字大小來合理決策。
(責任編輯徐利杰)