“位置優先”與“元素優先”的選擇策略

楊偉偉

排列組合是高中數學學習中的難點，常常以客觀題的形式出現在高考試題中。面對不同限制條件時，我們會有不同的選擇方法，比如相鄰元素用“捆綁法”，不相鄰元素用“插空法”，定序問題用“倍縮法”或者“空位法”，資源分配往往先分組后分配等。接下來我們要探討面對特殊元素或者特殊位置時可以選擇的解題策略。

一、排隊問題

例1 （2021屆馬鞍山高三第一次教學質量檢測）在“學憲法、講憲法”活動中，將甲、乙、丙、丁4位法律老師分配到A、B、C、D4個班級進行宣講，每個班級分配1位老師。若甲不分配到A班，丁不分配到D班，則分配方案的種數為（

）。

A.12

B.14

C.16

D.24

分析：先分清誰是特殊元素，誰是特殊位置?？梢灾兰?、丁是特殊元素，A班、D班為特殊位置。

解：特殊元素優先法：甲不到A班，只能去B、C、D中的1個，由于丁不分配到D班，所以需要對甲是否分到D班進行分類，第一類甲分到D，剩下的進行全排有A3 =6（種）方法;第二類甲分不到D，有2種選擇，接著看丁，丁有2種選擇，剩下的進行全排，有2×2×A2 =8（種）方法。故共有14種方法，選B。

特殊位置優先法：甲不分配到A班，說明A班有乙、丙、丁3位，又因為丁不分配到D班，所以需要對A班是否有丁進行分類，第一類A班有丁，有A3 =6（種）方法;第二類A班無丁，有乙、丙2種，再看D班，有2種，剩下的全排A2，有2×2×A2=8（種）方法?？偣灿?+8=14（種）方法。

當然我們也可以考慮正難則反用間接法，A4 -2A3+A2 =14。答案為B。

點評：甲、丁是特殊元素，A班D班為特殊位置均為兩個，所以選擇兩種方法均可。

例2 （2021屆重慶一中高考數學押題卷）現有甲、乙、丙、丁、戊5人參加社區志愿者服務活動，每人從事團購、體溫測量、進出人員信息登記、司機4項工作之一，每項工作至少有1人參加。若甲、乙不會開車但能從事其他3項工作，丙、丁、戊都能勝任4項工作，則不同安排方案的種數是（ ）。

A.234

B.152

C.126

D.108

分析：5人從事4項工作每項工作至少有1人，所以必然有2人一起;甲、乙為特殊元素，開車為特殊位置。

解：特殊元素優先法：按甲、乙是否在一起進行分類。若甲、乙在一起，則只能從事團購、體溫測量、進出人員信息登記3項中選一項，剩下3人沒有要求，即C3 A2=18;若甲、乙不在一起，則可能丙、丁、戊3人中有2人在一起，即C，然后再給甲、乙2人從事團購、體溫測量、進出人員信息登記3項工作中選2項，即A3，最后再把剩下的2個全排列，即A;，故C3A3A2=36;甲或乙與丙、丁、戊3人中的1人在一起，故C2C3 A3A2=72。

所以總共18+36+72=126（種）。

特殊位置優先法，按開車1人還是2人來分類。若開車1人，剩下4人3個位置，每個位置至少1人，可以先分組后分配，即

所以總共108+18=126（種），答案為C。

點評：甲、乙為特殊元素，開車為特殊位置，如果選擇特殊位置優先會簡單很多。

例3 （2022屆衡水金卷廣東省聯合質量測評）甲、乙、丙、丁4名交通志愿者申請在國慶期間到A，B，C3個路口協助交警值勤，他們申請值勤路口的意向如下表（表1）。

這4名志愿者的申請被批準，且值勤安排也符合他們的意向。若要求A，B，C3個路口都要有志愿者值勤，則不同的安排方法數為（ ）。

A.14

B.11

C.8

D.5

分析：先確定誰是特殊位置，誰為特殊元素，然后判斷是特殊位置少，還是特殊元素少，其次4人去3個路口，每個路口都要有人，所以必須有一個路口2人，其他路口均為1人。

解：位置優先：A，B，C三個位置，明顯C的元素較少，所以按C路口人數為1人或是2人來進行分類。若C路口1人（丙或?。?，當C路口是丁時，還剩A、B兩個位置以及甲、乙、丙3人，即C1A2=6，若C路口是丙，還剩A、B兩個位置以及甲、乙、丁3人，而A必須要有丁，接著對A分類，A（?。?，A（甲、?。?，A（乙、?。?種可能;當C路口2人（丙、丁均在）時，還剩A、B2個位置以及甲、乙2人，進行全排A2 =2。

所以總共6+3+2=11（種）方法，選B。

元素優先：由于選項數據不是很大，可以考慮一一列舉，總要有2人去一個路口，根據哪兩個人一起進行分類。甲、乙一起總共3種{甲乙（A）丙（B）?。–），甲乙（B）丙（A）?。–），甲乙（B）丙（C）?。ˋ）};甲、丙一起總共2種{甲丙（A）乙（B）?。–）.甲丙（B）?。–）乙（A）};甲、丁一起總共1種{甲?。ˋ）丙（C）乙（B）};乙、丙一起總共2種{乙丙（A）甲（B）?。–），乙丙（B）?。–）甲（A）};乙、丁一起總共1種{乙?。ˋ）丙（C）甲（B）};丙、丁總共2種{丙?。–）甲（A）乙（B），丙?。–）甲（B）乙（A））。所以總共有3+2+1+2+1+2=11（種），答案為B。

點評：按元素優先分類情況多而復雜，如果選擇位置優先分類會清晰又簡單。

二、數位問題

例4（2022屆濟南上學期二輪模擬）由1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50 000的偶數共有（ ）。

A. 60個 B.48個

C.36個 D.24個

分析：小于50 000的偶數，有兩個限制條件一個是小于50 000，另一個是偶數，所以個位為特殊位置且只能從2，4中選，萬位只能是4，3，2，1。

解：先選個位有2種，其次選萬位，萬位有3種選擇，最后剩下的數字全排列，即A;-6，根據分步計數原理知，共有2×3×A3=36（個）。答案為C。

點評：個位和萬位為特殊位置，選擇特殊位置優先會簡單很多。

例5（2022屆上海高三一模）把1，2，3，4，5這5個數隨機地排成一個數列，要求該數列恰好先遞增后遞減，則這樣的數列共有。

分析：因為要求該數列恰好先遞增后遞減，所以5為特殊元素，可按5所在位置進行分類，且5只能在第二、第三或第四的位置，根據特殊元素所在位置不同進行分類。

解：當5在第二個位置時，第一位置可以有4種可能，只要第一位置確定，這個數列也就唯一確定;當5在第三位置時，前兩個位置有C4=6（種）可能，而剩下的位置和數字也唯一確定;當5在第四位置時情況和5在第二位置時是對稱關系，可知也有4種可能。所以總共應該有4+6+4=14（種）情況。

點評：既要考慮特殊元素，又要考慮特殊位置。

例6（2021屆海南三模）（多選題）從1，2，3，4，5，6中任取3個不同的數組成一個三位數，則在所有組成的數中（ ）。

A.奇數有60個

B.包含數字6的數有30個

C個位和百位數字之和為6的數有24個

D.能被3整除的數有48個

分析：是數字的排列問題，要注意特殊元素與特殊位置。

解：對于選項A：個位從1，3，5中任取1個數即可，剩下的數字選2個進行全排列，即3×A2= 60（個），所以A正確。

對于選項B：先從1，2，3，4，5選2個數字出來，此時加上6共有3個數字，進行全排列，即C2 A3一60，所以B錯誤。

對于選項C：和為6有兩類，一類1，5組合，另一類2，4組合。當為1，5組合時個位和百位有A2種可能剩下的數字選1個即可，即A2C1=8（種）;同理，當為2，4組合也有8種?？偣?6種，所以C錯誤。

對于選項D：能被3整除，個位十位百位3個位置數字之和要為3的倍數，所以取出的數有{1，2，3），{1，2，6）{1，3，5）{1，5，6）{2，3，4}{2，4，6）{3，4，5）{4，5，6}等8種可能，每一種可能又有A;=6（種）情況，所以總共48個，D正確。

答案為A、D。

點評：奇數就要考慮個位是奇數，特殊位置優先會簡單;被3整除就需要考慮所有數位的數字之和能被3整除，先選出特殊元素，選用特殊元素優先會簡單。

從以上分析可以看出，面對特殊元素或者特殊位置，我們首先應判斷誰是特殊元素誰是特殊位置，是特殊元素少還是特殊位置比較少，然后選擇分類的標準。如果我們能快速判斷哪一種分類比較明確具體，計算起來比較方便，不妨先選擇這種方式?？偟膩碚f，無論選擇誰優先都是可以的，甚至有時候特殊位置與特殊元素必須綜合起來去看，兩者相得益彰。所以只要同學們覺得哪種方式更適合自己的思路，更符合自己的認知，能更快更好地解答問題就好了。