線性離散時不變系統的分數階相位校正迭代學習控制

余志同， 傅文淵

(1. 華僑大學 信息科學與工程學院， 福建 廈門 361021； 2. 華僑大學 廈門市專用集成電路系統重點實驗室， 福建 廈門 361008； 3. 華僑大學 福建省電機控制與系統優化調度工程技術研究中心， 福建 廈門 361021)

迭代學習控制(ILC)是針對有限時間內具有重復運行特性被控系統的一種有效控制方法[1].經過三十余年的發展，ILC已成功應用于單輪式移動機器人[2]、機器人操縱器[3]、工業打印機[4]、原子力顯微鏡[5]和柔性微型飛行器[6]等研究領域.目前，ILC的研究成果多集中于整數階控制系統或整數階的ILC學習算法[7-14].然而， 在實際工業生產中，分數階控制系統更符合實際要求[15]，故研究分數階的迭代學習控制(FO-ILC)具有理論意義和現實意義.Li等[16]針對線性時變系統，提出帶有初始狀態更新的FO-ILC算法，通過Dα型分數階學習律更新每次迭代的初始狀態，實現變初始狀態迭代學習控制.Zhao等[17]針對線性時變系統，提出帶有初始狀態更新和系統輸入更新的FO-ILC算法，該方法有效提高了ILC誤差收斂速度.Lü等[18]針對分數階多智能體系統的協同一致性跟蹤問題，提出分布式FO-ILC算法.Li[19]針對分數階線性時不變系統，提出一階和二階的分數階PID型ILC策略.Liu等[20]對分數階微分系統提出脈沖補償ILC.FO-ILC與其他控制策略結合的混合控制方法取得了較大的研究進展[21-24].

在ILC設計中，被控系統容易出現高頻段的相位滯后[25].為了解決該問題，文獻[26-27]提出基于連續系統和離散系統的相位超前迭代學習控制(LPL-ILC)方案，通過引入簡單的線性相位超前補償環節，解決被控系統出現高頻段相位滯后的問題，擴大了系統可學習的帶寬.Moore等[28]針對離散系統引入可變增益.潘雪等[29]提出一種分數線性相位超前補償迭代學習控制方法，將線性相位超前補償環節由整數冪改為分數冪，并在算法實現過程中利用拉格朗日插值法近似逼近分數冪.這類基于分數階ILC的設計方法是間接的[30-31]，ILC離散化算法的引入會增大ILC設計的復雜度.為了進一步提高控制效果，本文提出一種基于線性離散時不變系統的分數階相位校正迭代學習控制(FOPC-ILC)算法.

1 基礎知識

Grünwald-Letnikov分數階積分定義為

(1)

Grünwald-Letnikov分數階微分定義為

(2)

式(1)，(2)中：t0為初始時刻；t為隨機時刻；h為時間步長；j=1，2，…；Dα(·)為α階微分，α∈(0，1)；[·]表示取整.

由式(2)可推導出分數階微分數值表達式為

(3)

式(3)的Z域表達式為

.

(4)

式(3)中:F(z)為f(t)的Z域表達式；z-jh為j次頻域分量.

2 分數階相位校正迭代學習控制

迭代學習控制的主要目的是通過ILC學習律修正系統輸入，使系統輸出能跟蹤到期望輸出.文中討論的單輸入單輸出(SISO)線性離散時不變系統方程為

(5)

式(5)中：n為系統運行時間，n∈[0，N]；k為迭代次數；xk(n)，uk(n)，yk(n)分別為系統第k次迭代的狀態、輸入和輸出；wk(n)為系統第k次迭代的隨機干擾；A～D均為系數矩陣.

對式(5)兩邊同時進行Z變換，可得系統在Z域上表達式，即

(6)

式(6)中：z為頻域分量；Xk(z)，Uk(z)，Yk(z)分別為系統第k次迭代的狀態、輸入和輸出的Z域表達式；Wk(z)為 第k次迭代的隨機干擾Z域表達式.

線性離散時不變系統滿足以下3個假設.

1) 假設1.每一次迭代的初始狀態都相同，且xk(0)=0.

2) 假設2.|ΔWk(z)|=|Wk+1(z)-Wk(z)|≤δ，δ為一常數.

3) 假設3.對于系統(5)，(6)，存在唯一的期望系統狀態，分別為xd(n)，Xd(z)，存在唯一的期望系統輸入，分別為ud(n)，Ud(z)，有

(7)

(8)

式(7)，(8)中：yd(n)為期望系統輸出；Yd(z)為期望系統輸出的Z域表達式.

定義ILC跟蹤誤差表達式為

ek(n)=yd(n)-yk(n).

(9)

式(9)的Z域表達式為

Ek(z)=Yd(z)-Yk(z).

(10)

2.1 開環控制

根據分數階微分數值算法給出分數階相位校正開環ILC的收斂條件及其證明過程.根據式(3)，(4)，提出時域開環學習律，即

(11)

式(11)中：L為ILC學習增益；λ為超前拍次.

對式(11)進行Z變換，可得其Z域學習律，即

(12)

定理1針對線性離散時不變系統(式(5)，(6))，在假設1～3的條件下，采用FOPC-ILC開環學習律(式(11)，(12))，如果ILC學習增益L滿足

(13)

證明:由式(8)可得

Yk(z)=(C(z-A)-1B+D)Uk(z)+C(zI-A)-1Wk(z)=Hp(z)Uk(z)+C(zI-A)-1Wk(z).

(14)

式(14)中：

Hp(z)=C(z-A)-1B+D.

(15)

聯合式(8)，(10)，可得

(16)

將式(12)代入式(16)，可得

(17)

對式(17)兩邊同時取模，并由復數模的性質可得

(18)

對式(18)進行k次迭代，可得

(19)

則ILC誤差收斂于隨機擾動界，定理1得證.

2.2 閉環控制

閉環學習律為

(20)

式(20)的Z域表達式為

(21)

定理2針對線性離散時不變系統(式(6)，(7))，在假設1～3的條件下，采用FOPC-ILC閉環學習律(式(20)，(21))，如果滿足

(22)

那么，

證明:與定理1的證明過程相同，將式(21)代入式(16)，可得

(23)

對式(23)兩邊同時取模，可得

(24)

對式(24)進行k次迭代，可得

(25)

則ILC跟蹤誤差收斂于隨機擾動，定理2得證.

3 仿真結果

通過實例，仿真驗證文中算法的有效性.被控系統的傳遞函數為

(26)

期望系統輸出為

yd(n)=1-exp(-n).

(27)

相關參數設置如下:初始輸入u0(n)=0；wk(t)采用隨機數模擬隨機擾動；相位校正階數γ=2.5；根據定理1，2，確定ILC學習增益L=0.6.采用誤差均方根(RMS)量化跟蹤誤差，有文中算法和文獻[29]的開、閉環學習律的跟蹤軌跡和跟蹤誤差的仿真結果，如圖1～8所示.圖1～8中：y(n)為系統輸出；y5(n)為系統迭代5次的輸出，其他表示類似.

圖1 文中算法開環學習律的跟蹤軌跡 圖2 文中算法開環學習律的跟蹤誤差 Fig.1 Tracking trajectory of open loop learning law of proposed algorithm Fig.2 Tracking error of open looplearning law of proposed algorithm

圖3 文中算法閉環學習律的跟蹤軌跡 圖4 文中算法閉環學習律的跟蹤誤差 Fig.3 Tracking trajectory of closed loop learning law of proposed algorithm Fig.4 Tracking error of closed loop learning law of proposed algorithm

圖5 文獻[29]開環學習律的跟蹤軌跡 圖6 文獻[29]開環學習律的跟蹤誤差Fig.5 Tracking trajectory of open loop learning law of reference [29] Fig.6 Tracking error of open loop learning law of reference [29]

圖7 文獻[29]閉環學習律的跟蹤軌跡 圖8 文獻[29]閉環學習律的跟蹤誤差Fig.7 Tracking trajectory of closed loop learning law of reference [29] Fig.8 Tracking error of closed loop learning law of reference [29]

(28)

由圖1～8可知：無論采用文中算法開、閉環學習律，還是采用文獻[29]開、閉環學習律(LPL-ILC)，在一定的迭代次數后，都能使系統輸出跟蹤到期望軌跡(期望輸出)，從而保證跟蹤誤差的單調收斂.由圖2可知：文中算法開環學習律跟蹤誤差約穩定收斂于0.009 0，誤差波動范圍為0.007 5～0.009 8.由圖4可知：文中算法閉環學習律跟蹤誤差約穩定收斂于0.005 8，誤差波動范圍為0.005 0～0.006 4.由圖6，8可知：文獻[29]開、閉環學習律跟蹤誤差約穩定收斂于0.010 0，誤差波動范圍分別為0.008 0～0.011 9，0.008 4～0.012 0.由圖2，4，6，8可知：文中算法的跟蹤誤差收斂精度更高，且誤差波動范圍更小.由圖1，3，5，7可知：采用文中算法開環學習率、文中算法閉環學習率、文獻[29]開環學習律、文獻[29]閉環學習律，分別在迭代次數為第50，5，50，40次時，跟蹤誤差達到穩定狀態，系統輸出達到期望軌跡；采用閉環學習律的收斂速度快于開環學習律的；采用文中算法閉環學習律的收斂速度最快.

綜上可知，文中算法不僅解決了系統跟蹤過程無法單調收斂的問題，而且提高了跟蹤誤差的收斂速度和收斂精度，其中，文中算法閉環學習律對跟蹤誤差的收斂速度和收斂精度的提高效果更為顯著.

4 結束語

基于線性離散時間系統，提出一種分數階相位校正迭代學習控制算法.相較于FO-ILC算法，文中算法避免了ILC算法的離散化過程，可保證算法理論分析和實現過程的一致性.由仿真結果可知，文中算法具有先進性和有效性，可提高跟蹤誤差的收斂速度和收斂精度，特別地，FOPC-ILC閉環學習律對跟蹤誤差的收斂速度和收斂精度的提高效果更為顯著.