小野下光子特征線混合筆束模型肺部劑量算法

崔鳳潔，王寧宇，顧少嫻，楊 鵬，尹楚歐，張盛元，胡金有,2，蔡蕓竹，吳章文，汪 俊，勾成俊

(1.四川大學原子核科學技術研究所 輻射物理及技術教育部重點實驗室，成都 610064;2.四川省醫學科學院·四川省人民醫院，成都 610072)

隨著現代影像診斷技術和儀器設備的發展，適形調強、圖像引導和立體定向等精準放療技術已廣泛應用于腫瘤臨床治療.這些新技術采用小射野光子束照射靶區并調整靶區的劑量分布，從而提高腫瘤控制率，降低正常組織并發癥的概率[1,2].射野半徑小于次級電子最大射程的照射野為小射野，通常認為小射野的尺寸小于3 cm×3 cm.小射野放療本就存在橫向電子不平衡，當射線入射到低密度肺組織中時，次級電子的輸運范圍增大，更易引起橫向電子不平衡，使劑量計算更復雜[3-5].精準的劑量算法是精準放療的關鍵，ICRU 24號報告[6]建議：劑量算法的誤差應控制在3%以內.

現代放療計劃系統采用的劑量算法主要有解析法和蒙特卡羅(MC)模擬兩類.解析法簡化了粒子與人體組織的相互作用過程，計算速度快，但在小射野、非均勻組織等復雜條件下，其計算精度會降低[7,8].例如，卷積疊加法(CS)、筆形束卷積法(PBC)、筒串卷積疊加法(CCC)、快速傅里葉卷積法(FFT)和各向異性解析法(AAA)等非均勻修正算法得到的肺組織劑量明顯高于MC模擬值[9,10].Hasani等[9]對CCC、FFT和CS算法的精度進行了評估.在10 cm×10 cm射野下，CCC、FFT、CS算法與MC模擬得到肺中的平均劑量誤差分別為4.81%、-1.55%和4.96%，最大誤差分別為7.3%、5.26%和7.4%.Cristiano等[10]將MC模擬的深度劑量數據與PBC、AAA的計算結果進行比較.當射野尺寸為1 cm×1 cm、肺密度為0.3 g/cm3時，PBC、AAA與MC計算的肺部平均劑量差異分別為21.9%和5.8%，最大差異分別為24.3%和11.5%.上述算法均不能精確模擬小射野下肺模體中散射光子和次級電子的輸運行為，不適用于小射野肺部放療.而MC方法將概率統計原理與計算機模擬實驗相結合，可準確計算出小射野下肺模體中的劑量分布，但計算時間太長，不能完全用于臨床劑量計算[11].因此，有必要開展小射野下非均勻修正算法的研究.

本文提出了光子特征線混合筆束模型(Photon characteristic line hybrid pencil beam model, PCL-HPBM).該算法首先利用特征線方法[12,13]計算無限寬光子束在肺模體中的深度劑量分布；然后對水模體筆束核進行非均勻修正，計算筆束光子在肺模體中的劑量分布；再利用有限筆束算法[14-16]計算任意照射野條件下肺模體中的三維劑量分布；最后與MC模擬結果進行比較，驗證該算法的精度.

2.1 蒙特卡羅模擬

本文使用程序為MC程序EGSnrc/Dosxyznrc.該程序具有完善的帶電粒子輸運機制和低能作用截面，能準確模擬在keV至GeV范圍內的光子和電子在模體中的輸運行為，從而得到不同射野條件下不同肺模體(肺組織深度、密度不同)中的劑量分布[17].模擬參數[18,19]如下：電子截止能量為0.521 MeV，光子截止能量為0.001 MeV，電子輸運步長算法為PRESTA-Ⅱ，邊界處理算法為EXACT，粒子源的類型選擇為0號(以平行的矩形光束垂直入射)，光子能譜數據文件為mohan6.spectrum.在MC模擬中，隨機抽樣的光子數越多，精確度越高.為確保整個模擬過程的統計誤差均小于1%，每次模擬的歷史粒子數應足夠大.

本文模擬了四個肺模體，大小為40 cm×40 cm×40 cm，體元大小為0.25 cm×0.25 cm×0.25 cm.水、肺組織元素的組成及比例來源于EGSnrc的材料庫文件521cru.pegs4dat.其中，肺模體A、B和C均由水(5 cm)、肺(15 cm)、水(20 cm)三層介質組成，肺密度分別為0.1、0.26 和0.4 g/cm3；肺模體D由水(15 cm)、肺(15 cm)和水(10 cm)三層介質組成，肺密度為0.26 g/cm3.筆束大小為0.25 cm×0.25 cm.射野尺寸為0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野(如圖1所示).

圖1 不規則射野的尺寸和形狀

2.2 光子特征線混合筆束模型

放療能區內的光子與人體組織的相互作用主要有光電效應、康普頓效應和電子對效應三種形式.光電效應和電子對效應引起光子的吸收，而康普頓效應使光子偏離初始的入射方向.其相互作用機理與光子能量有關，對于臨床上廣泛使用的6 MV光子束，康普頓效應占優勢[20].這三種相互作用的總微觀截面表示為

σtot=σpe+σcomp+σpair

(1)

其中σpe、σcomp和σpair分別為光電效應、康普頓效應和電子對效應的微觀截面.當能量為E0的無限寬光子束垂直入射到介質表面時，光子在均勻介質中輸運的Boltzmann方程表示為[21]

Ω′→Ω)+S(z,E,μ)，S(z,E,μ)=

δ(z)δ(E-E0)δ(1-μ)/2π

(2)

其中?(z,E,μ)表示光子的微分注量分布；?(z,E,μ)dEdμ表示在深度z處，能量為[E,E+dE]、方向余弦為[μ,μ+dμ]的光子的注量；K(z,E′→E,Ω′→Ω)表示深度z處，能量為E′、方向為Ω′的光子經過康普頓散射后，散射光子能量為[E,E+dE]、方向為[Ω,Ω+dΩ]的幾率；S(z,E,μ)表示源項；∑(z,E)表示深度z處，能量為E的光子的線衰減系數，其表達式為

∑(z,E)=n(z)·σtot(z,E)

(3)

其中n(z)為介質的原子數密度，表達式為

(4)

其中NA為阿伏伽德羅常數；A(z)為深度z處的物質的原子質量；ρ(z)為深度z處的介質密度.

在光子的特征線算法中，光子注量?表示為

?(z,E,μ)=?0(z,E,μ)+?1(z,E,μ)+

?m(z,E,μ)

(5)

其中?0(z,E,μ)、?1(z,E,μ)、?m(z,E,μ)分別為初級光子注量、一次散射光子注量和多次散射光子注量.初級光子的輸運方程表示為[12,13]

(6)

一次散射光子的輸運方程表示為[12,13]

S1(z,E,μ)

(7)

多次散射光子的輸運方程表示為[12，13]

(8)

(7)式、(8)式中λ表達式為

(9)

?0(z,E,μ)、?1(z,E,μ)有明確的解析解，?m(z,E,μ)只能由數值方法得到數值解.在計算?m(z,E,μ)的數值解時，可以將方向余弦μ按照特征線方向進行離散化.則(7)式解的表達式為[12,13]

(10)

(8)式解的表達式為[12,13]

?1(z,E,μ)=

(11)

(9)式解的表達式為[12,13]

?m(z,E,μ)=

(12)

其中d為介質的厚度.在得到光子的注量分布后，可以得到次級電子源和次級正電子源的注量分布，表達式為

(13)

其中dz為計算單元在深度方向的長度.設電子的微分注量為N(z,E,μ)，則電子的輸運方程可表示為

σe(z,E′,E′-E,Ω′·Ω)

(14)

其中∑e(z)為深度z處的電子在單位路徑上的作用次數；σe為電子總的作用截面，包括軔致輻射、彈性相互作用、非彈性相互作用.利用特征線方法和電子輸運雙親模型，可以獲得電子的微分注量分布.根據微分注量分布就可以獲得能量為E0的無限寬光子束的深度劑量分布，表達式為

E,T)TdT

(15)

D(E0,z)=De(E0,z)+Dp(E0,z)

(16)

模體中的劑量分布可由入射光子束的能量注量分布和筆束核卷積得到.筆束核是指無限窄的射束垂直入射到半無限大平面介質中沉積能量分布.該算法的關鍵是精準表述筆束核.對于體積較大的肺組織，只要照射條件(如射線能量、源皮距等)和體元大小不變，就可以認為筆束核具有空間不變性，可重復使用[20].為了利用有限筆束模型計算任意照射野條件下肺部的劑量分布，需要得到筆束光子在肺部的三維劑量分布.小射野下的肺組織可近似為層狀非均勻介質，入射能量為E的筆束光子在肺部的三維劑量分布為

Dp(E,x,y,z)=Dp(E,0,0,z)·f(E,x,y,z)

(17)

其中Dp(E,x,y,z)表示筆束核，是筆束光子沿z軸正方向入射到原點時(x,y,z)點的劑量，為方便計算，將其進行最大值歸一化處理；Dp(E,0,0,z)表示中心軸深度劑量分布；f(E,x,y,z)表示散射因子.本文采用Dosxyznrc程序模擬筆束光子在均勻水模體中的三維劑量分布，則f(E,x,y,z)的表達式為

f(E,x,y,z)=Dp(E,x,y,z)/Dp(E,0,0,z)

(18)

本研究考慮了散射因子在深度方向和離軸方向上的非均勻修正.首先，對散射因子在深度方向上進行等效深度修正，即肺模體中的散射因子近似用水中等效深度處的散射因子表示，公式如下.

f′(E,x,y,z)=f(E,x,y,zeff)，

(19)

其中ρ(h)、ρw分別表示h深度處的密度和水的密度；zeff為肺模體z深度處的等效深度.其次，在等效深度修正的基礎上，對散射因子在離軸方向上進行加權密度修正，公式如下.

f″(E,x,y,z)=f′(E,xeff,y,z)，

xeff=β·ρ(z)·x，

β=α+(1-α)·ρ(z)

(20)

其中α為散射權重系數；β為密度修正系數.當ρ(z)=1 g/cm3時，β=1；當ρ(z)=0 g/cm3時，β=α.中間的密度修正系數可由線性插值得到.xeff為肺模體中離軸距離x處的等效距離.經上述修正后，根據(1)式，得到肺模體中的筆束核Dp′(E,x,y,z).其表達式為

Dp′(E,x,y,z)=Dp(E,0,0,z)·f″(E,x,y,z)

(21)

無限寬束的中心軸劑量分布可疊加每個筆束光子的劑量貢獻得到.函數表達式為[14]

(22)

實際上是對x、y在有限的范圍內積分，積分區間與光子和次級電子在非均勻介質中的散射程度有關.本文采用20 cm×20 cm的寬束光子作為參考射野，通過光子特征線方法得到參考射野下肺模體的中心軸深度劑量分布，表示為Dref(E,0,0,z).同時根據(22)式，得到參考射野下的中心軸深度劑量分布.其表達式為

(23)

其中a、b為10 cm.再利用Dref(E,0,0,z)、Dref′(E,0,0,z)重新定義筆束光子在肺模體中的中心軸深度劑量，表達式為

Dp″(E,0,0,z)=Dref(E,0,0,z)·

Dp(E,0,0,z)/Dref′(E,0,0,z)

(24)

根據(17)式，得到非均勻修正后肺組織中精確的筆束核.其表達式為

Dp″(E,x,y,z)=Dp″(E,0,0,z)·

f″(E,x,y,z)

(25)

因本研究采用平行光子束垂直照射肺模體，故不考慮錐形束校正.則根據有限筆束算法[14-16]可以計算出任意射野下人體組織中的劑量分布.其表達式為

Dp″(E,x-x′,y-y′,z)dx′dy′

(26)

其中I(x′,y′)是在入射點(x,y,0)處入射光子束的能量注量，表示射野形狀;Dp″(E,x-x′,y-y′,z)是入射到點(x′,y′,0)的光子束對計算點(x,y,z)的劑量貢獻.(26)式可離散化表示為

D(E,i,j,k)=∑i′∑j′I(i′,j′)·

Dp″(E,i-i′,j-j′,k)

(27)

其中I(i′,j′)是射野形狀的離散化強度矩陣；Dp″(E,i-i′,j-j′,k)是入射到點(i′,j′,0)的光子束對計算點(i,j,k)的劑量貢獻.臨床中使用的X射線通常具有連續的能譜分布，故本研究采用6 MV光子能譜，利用Dosxyznrc程序獲得了具有能譜信息的筆束核.最后，我們將該算法得到的小射野下肺模體的中心軸深度劑量分布與MC模擬結果進行了比較，計算點劑量相對誤差以驗證算法的精度.劑量相對誤差(Relative error)的表達式為

(28)

其中DMC表示MC模擬計算點的劑量；DPCL-HPBM表示由PCL-HPBM算法得到同一計算點的劑量；DMC,max表示肺模體中心軸上的最大劑量.

3 結果與分析

圖2為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，PCL-HPBM算法和MC方法得到6 MV光子束穿過肺密度為0.1 g/cm3的肺模體A時的中心軸深度劑量的對比.橫坐標為肺模體深度(Depth).縱坐標分別為以劑量最大值為單位進行歸一化的百分深度劑量(Percentage Depth Dose，PDD)和兩組劑量數據的相對誤差.在不同射野下，兩種方法得到的PDD基本符合，但在介質交界處存在明顯的劑量差異.在重點關注的肺部，PCL-HPBM算法得到的深度劑量在水-肺交界處(圖2中深度為5 cm處)以及肺組織前部低于MC模擬結果, 而在肺-水交界處(圖2中深度為20 cm處)高于MC模擬結果.但在肺組織中部及后部，兩種方法得到的劑量符合得很好.在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，最大誤差出現在水-肺交界處，最大相對誤差分別為36.9%、35.5%、32.2%和33.2%；在肺組織前部，相對誤差大于3%劑量點的最大深度分別為6.0、6.75、7.5 和7.25 cm.

圖2 不同射野下肺模體A中的PDD曲線和相對誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規則射野

圖3為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，PCL-HPBM算法和MC方法得到肺密度為0.26 g/cm3的肺模體B中的PDD及相對誤差.兩種方法得到的PDD基本一致.在肺組織中部和后部，PCL-HPBM算法計算值和MC模擬值的平均相對誤差小于1%，但在肺前部及介質交界處的相對誤差大于3%.在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，出現在水-肺交界處的最大相對誤差分別為22.7%、21.1%、14.7%和16.7%；在肺組織前部，相對誤差大于3%的劑量點的最大深度分別為5.75、6.0、6.75和6.25 cm.

圖3 不同射野下肺模體B中的PDD曲線和相對誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規則射野

圖4為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，由PCL-HPBM算法和MC方法得到肺密度為0.4 g/cm3的肺模體C中的PDD及相對誤差.兩種方法得到的PDD基本一致，在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，最大誤差出現在第一水肺交界處，最大相對誤差分別為15.4%、12.9%、7.8%和8.7%，肺前部相對誤差大于3%劑量點的最大深度分別為5.5、5.75、6.0和5.75 cm.

圖4 不同射野下肺模體C中的PDD曲線和相對誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規則射野

圖5為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，PCL-HPBM算法和MC方法得到肺密度為0.26 g/cm3的肺模體D中的PDD及相對誤差.PCL-HPBM算法得到的深度劑量在水-肺交界處(圖5中深度為15 cm處)及肺組織前部小于MC模擬結果，而在肺-水交界處(圖5中深度為30 cm處)大于MC模擬結果.在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規則射野下，出現在水-肺交界處的最大相對誤差分別為14.1%、13.3%、8.6%和10.8%；在肺組織前部，相對誤差大于3%劑量點的最大深度分別為15.5、15.75、15.75和15.75 cm.而在其他深度處，劑量點的相對誤差小于3%.

圖5 不同射野下肺模體D中的PDD曲線和相對誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規則射野

從圖2～圖5可以看出，在不同條件下，PCL-HPBM算法得到的PDD與MC模擬結果在介質交界處和肺前部存在較大差異，最大相對誤差在7.8%～36.9%之間.在水-肺交界處，最大相對誤差隨著射野尺寸和肺密度的增加而減小.同時，PCL-HPBM算法得到的深度劑量迅速跌落，而MC模擬結果變化得相對緩慢.這是因為介質密度的減小增大了次級電子的不平衡性，重建電子平衡需要一定的劑量沉積深度，使介質交界處的深度劑量變化緩慢，而采用PCL-HPBM算法進行非均勻修正時忽略了這一過程.并且隨著射野尺寸和肺密度的增大，由橫向電子不平衡導致的劑量跌落幅度減小.在肺組織前部，相對誤差大于3%的劑量點的深度范圍隨著射野尺寸增大和肺密度的減小而增大，在距水-肺交界面2.5 cm處的劑量點的相對誤差均能滿足小于3%的要求.而在肺組織中部與后部，兩種方法得到的深度劑量符合得較好，平均相對誤差均小于1%，并且隨著深度的增大，深度劑量逐漸減小.

表1列出了在不同射野下不同肺模體中，PCL-HPBM算法的散射權重系數和密度校正系數.從表1可以看出，這些系數隨著射野尺寸及肺密度的增加而減小.

表1 在不同射野不同肺模體條件下，PCL-HPBM算法的散射權重系數和密度校正系數

本文通過構建光子特征線混合筆束模型來進行小射野光子束劑量計算.在對散射因子進行非均勻修正時，我們考慮了電子不平衡性對能量沉積的影響，并重新生成了筆束卷積核.在分析不同小射野照射不同肺模體(肺組織密度、深度不同)時，該算法得到的中心軸深度劑量分布與MC模擬結果基本相符，大部分劑量點的相對誤差小于3%；在重點關注的肺組織中部和后部，平均劑量相對誤差小于1%，從而驗證了該算法的準確性.該算法同樣適用于不規則射野的劑量計算.當忽略在介質交界處和肺組織前部相對誤差較大的幾個深度時，射野尺寸越小，該算法的計算精度越高.

為了提高腫瘤與正常組織的劑量比值，現代放療技術越來越多地使用具有高度可調性的小射野.這推動了小射野精準劑量算法的發展.然而，前面提到的PBC、AAA和CCC等現有的非均勻修正算法均高估肺組織中的劑量，平均誤差范圍約為6%～22%，算法精度低.通過上述分析，在計算小射野下非均勻模體的深度劑量分布時，PCL-HPBM算法的精度均高于這些修正算法.該算法在小射野肺部劑量計算中有潛在的研究價值，但在介質交界處和肺組織前部，誤差較大.因此我們需要進一步提高該算法的性能，來獲得更精確的劑量分布，以便應用于更復雜的條件.