一類變系數歐拉函數方程φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)的可解性

朱萍萍，孫 釗，王學花

(1．安徽大學江淮學院 公共基礎教學部，安徽 合肥230039；2．安徽建筑大學 數理學院，安徽 合肥230030；3．安徽大學江淮學院 理工部，安徽 合肥230039)

0 引言

?n≥1，歐拉函數φ(n)表示[1，n-1]中與n互質的個數，歐拉函數是數論函數中的基本函數．近年來，對歐拉函數的性質以及歐拉方程的求解方法的研究一直為眾多學者所關注[1-8]．如文獻[2]、[3]、[6]、[8]研究了如何求解三元常系數歐拉方程的正整數解；文獻[4]研究了方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的可解性．本文基于上述文獻的啟發下，研究變系數混合方程φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)可解性問題，并給出了當m=3，n=4時該方程的全部173組正整數解．

1 相關引理

引理3[3]?n≥2時，φ(n)

2 定理及其證明

定理 歐拉方程φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)(m=3，n=4)的173組正整數解為：

(a，b，c，d)=(3，16，5，1)，(3，16，1，5)，(16，3，1，5)，(16，3，5，1)，(1，17，5，1)，(1，17，5，2)，(1，17，8，1)，(1，17，10，1)，(1，17，12，1)，(1，32，5，1)，(1，34，5，1)，(1，48，5，1)，(1，17，3，1)，(1，17，4，1)，(1，17，3，2)，(2，17，3，1)，(1，32，3，1)，(1，34，3，1)，(1，40，3，1)，(17，1，5，1)，(17，1，5，12)，(17，1，8，1)，(17，1，10，1)，(17，1，12，1)，(32，1，5，1)，(34，1，5，1)，(48，1，5，1)，(17，1，1，5)，(17，1，12，5)，(17，1，1，8)，(17，1，1，10)，(17，1，1，12)，(32，1，1，5)，(34，1，1，5)，(48，1，1，5)，(3，5，1，7)，(3，5，2，7)，(3，5，1，14)，(3，8，1，7)，(3，10，1，7)，(4，5，1，9)，(6，5，1，7)，(3，5，7，1)，(3，5，7，2)，(3，5，14，1)，(3，8，7，1)，(3，10，7，1)，(4，5，9，1)，(6，5，7，1)，(5，3，1，7)，(5，3，2，7)，(5，3，1，14)，(8，3，1，7)，(10，3，1，7)，(5，4，1，9)，(5，6，1，7)，(5，3，7，1)，(5，3，7，2)，(5，3，14，1)，(8，3，7，1)，(10，3，7，1)，(5，4，9，1)，(5，6，7，1)，(1，15，7，1)，(1，15，7，2)，(1，16，7，1)，(1，16，9，1)，(2，15，7，1)，(1，15，14，1)，(1，20，9，1)，(1，20，7，1)，(1，30，7，1)，(1，24，7，1)，(15，1，1，7)，(15，1，2，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，9)，(15，2，1，7)，(15，1，1，14)，(20，1，1，9)，(20，1，1，7)，(30，1，1，7)，(24，1，1，7)，(15，1，7，1)，(15，1，7，2)，(16，1，7，1)，(16，1，7，1)，(16，1，9，1)，(15，2，7，1)，(15，1，14，1)，(20，1，9，1)，(20，1，7，1)，(30，1，7，1)，(24，1，7，1)，(1，15，1，7)，(1，15，2，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，9)，(2，15，1，7)，(1，15，1，14)，(1，20，1，9)，(1，20，1，7)，(1，30，1，7)，(1，24，1，7)，(3，5，2，4)，(4，5，2，3)，(4，8，1，3)，(4，10，1，3)，(6，5，1，4)，(6，8，1，3)，(5，3，2，4)，(5，4，2，3)，(8，4，1，3)，(10，4，1，3)，(5，6，1，4)，(8，6，1，3)，(3，5，4，2)，(4，5，3，2)，(4，8，3，1)，(4，10，3，1)，(6，5，4，1)，(6，8，1，3)，(6，8，3，1)，(5，3，4，2)，(5，4，3，2)，(8，4，3，1)，(10，4，3，1)，(5，6，4，1)，(8，6，3，1)，(1，15，2，4)，(1，15，2，6)，(1，20，2，3)，(1，20，1，4)，(1，16，1，4)，(1，24，1，4)，(2，15，1，4)，(1，16，1，6)，(2，20，1，3)，(2，16，1，3)，(1，30，1，4)，(1，15，4，2)，(1，15，6，2)，(1，20，3，2)，(1，20，4，1)，(1，16，4，1)，(1，24，4，1)，(2，15，4，1)，(1，16，6，1)，(2，20，3，1)，(2，16，3，1)，(1，30，4，1)，(15，1，2，4)，(15，1，2，6)，(20，1，2，3)，(20，1，1，4)，(16，1，1，4)，(24，1，1，4)，(15，2，1，4)，(16，1，1，6)，(20，2，1，3)，(16，2，1，3)，(30，1，1，4)，(15，1，4，2)，(15，1，6，2)，(20，1，3，2)，(20，1，4，1)，(16，1，4，1)，(24，1，4，1)，(15，2，4，1)，(16，1，6，1)，(20，2，3，1)，(16，2，3，1)，(30，1，4，1)，(3，4，2，2)，(4，4，1，2)，(4，4，2，1)，(8，1，2，2)，(8，2，1，2)，(8，2，2，1)，(12，2，1，2)，(12，1，2，2)，(12，2，2，1)

證明：對于歐拉方程

φ(abcd)=mφ(a)φ(b)+nφ(c)φ(d)

(1)

根據引理2可以得到

則g(abcd)=1，2，3，…，(m+n)，若m=3，n=4，則m+n=7，所以，以方程

φ(abcd)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)φ(d)

(2)

為例，我們來尋求一般變系數歐拉方程的求解方法，其求解過程如下：

根據引理3可知不存在這樣的a，b，c，d滿足φ(a)φ(b)=5，φ(c)φ(d)=15，接下來就a，b，c，d的取值分別進行討論．

1．當φ(a)φ(b)=16，φ(c)φ(d)=4時，a，b，c，d的取值須滿足如下條件(a，bcd)=1，(b，cd)=1，(c，d)=1，討論如下：

要使(2)式有解則(a，b，c，d)=(3，16，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，16，1，5)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，16，1，5)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(16，3，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(16，3，1，5)

驗證可知方程無解．

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，17，5，1)，(1，17，5，2)，(1，17，8，1)，(1，17，10，1)，(1，17，12，1)，(1，32，5，1)，(1，34，5，1)，(1，48，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，17，1，5)，(1，17，2，5)，(1，17，1，8)，(1，17，1，10)，(1，17，1，12)，(1，32，1，5)，(1，34，1，5)，(1，48，1，5)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，17，3，1)，(1，17，4，1)，(1，17，3，2)，(2，17，3，1)，(1，32，3，1)，(1，34，3，1)，(1，40，3，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(17，1，5，1)，(17，1，5，12)，(17，1，8，1)，(17，1，10，1)，(17，1，12，1)，(32，1，5，1)，(34，1，5，1)，(48，1，5，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(17，1，1，5)，(17，1，12，5)，(17，1，1，8)，(17，1，1，10)，(17，1，1，12)，(32，1，1，5)，(34，1，1，5)，(48，1，1，5)

驗證可知方程無解．

驗證可知方程無解．

驗證可知方程無解．

驗證可知方程無解．

2．當φ(a)φ(b)=8，φ(c)φ(d)=6時，結合引理3，就a，b，c，d的取值分如下情形討論：

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，1，7)，(3，5，2，7)，(3，5，1，14)，(3，8，1，7)，(3，10，1，7)，(4，5，1，9)，(6，5，1，7)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，7，1)，(3，5，7，2)，(3，5，14，1)，(3，8，7，1)，(3，10，7，1)，(4，5，9，1)，(6，5，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，1，7)，(5，3，2，7)，(5，3，1，14)，(8，3，1，7)，(10，3，1，7)，(5，4，1，9)，(5，6，1，7)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，7，1)，(5，3，7，2)，(5，3，14，1)，(8，3，7，1)，(10，3，7，1)，(5，4，9，1)，(5，6，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，7，1)，(1，15，7，2)，(1，16，7，1)，(1，16，9，1)，(2，15，7，1)，(1，15，14，1)，(1，20，9，1)，(1，20，7，1)，(1，30，7，1)，(1，24，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，1，7)，(15，1，2，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，7)，(16，1，1，9)，(15，2，1，7)，(15，1，1，14)，(20，1，1，9)，(20，1，1，7)，(30，1，1，7)，(24，1，1，7)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，7，1)，(15，1，7，2)，(16，1，7，1)，(16，1，7，1)，(16，1，9，1)，(15，2，7，1)，(15，1，14，1)，(20，1，9，1)，(20，1，7，1)，(30，1，7，1)，(24，1，7，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，1，7)，(1，15，2，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，7)，(1，16，1，9)，(2，15，1，7)，(1，15，1，14)，(1，20，1，9)，(1，20，1，7)，(1，30，1，7)，(1，24，1，7)

所以a，b，c，d的取值滿足如下六者之一即可：

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，2，4)(4，5，2，3)，(4，8，1，3)，(4，10，1，3)，(6，5，1，4)，(6，8，1，3)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，2，4)，(5，4，2，3)，(8，4，1，3)，(10，4，1，3)，(5，6，1，4)，(8，6，1，3)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(3，5，4，2)，(4，5，3，2)，(4，8，3，1)，(4，10，3，1)，(6，5，4，1)，(6，8，3，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(5，3，4，2)，(5，4，3，2)，(8，4，3，1)，(10，4，3，1)，(5，6，4，1)，(8，6，3，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，2，4)，(1，15，2，6)，(1，20，2，3)，(1，20，1，4)，(1，16，1，4)，(1，24，1，4)，(2，15，1，4)，(1，16，1，6)，(2，20，1，3)，(2，16，1，3)，(1，30，1，4)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(1，15，4，2)，(1，15，6，2)，(1，20，3，2)，(1，20，4，1)，(1，16，4，1)，(1，24，4，1)，(2，15，4，1)，(1，16，6，1)，(2，20，3，1)，(2，16，3，1)，(1，30，4，1)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，2，4)，(15，1，2，6)，(20，1，2，3)，(20，1，1，4)，(16，1，1，4)，(24，1，1，4)，(15，2，1，4)，(16，1，1，6)，(20，2，1，3)，(16，2，1，3)，(30，1，1，4)

要使(2)式有解，則(a，b，c，d)=(15，1，4，2)，(15，1，6，2)，(20，1，3，2)，(20，1，4，1)，(16，1，4，1)，(24，1，4，1)，(15，2，4，1)，(16，1，6，1)，(20，2，3，1)，(16，2，3，1)，(30，1，4，1)

驗證可得(2)式的解為(a，b，c，d)=(3，4，2，2)，(4，4，1，2)，(4，4，2，1)，(8，1，2，2)，(8，2，1，2)，(8，2，2，1)，(12，2，1，2)，(12，1，2，2)，(12，2，2，1)

且(a，bcd)=1，(b，cd)=1，(c，d)=1中至少有一個為7，而φ(7)無解．

所以(2)式無解．

3 研究貢獻及研究展望

本文突破了眾多學者對常系數歐拉方程的研究局限性，對任意n元變系數混合型歐拉方程展開研究．文中利用不等式的簡單性質對方程進行轉化的求解方法，為同類型的方程提供了更簡單，更便捷，更容易理解的思路，形如φ(abcd)=mφ(a)+nφ(bcd)，φ(abcd)=mφ(a)+nφ(b)+lφ(cd)…等變形形式的n元歐拉方程都可運用本文所提供的解法進行求解，學者也可以在后續的研究中繼續探討其他的求解方法．