基于單邊微腔量子點耦合系統的極化糾纏濃縮

董 莉，莫曉成，楊子龍，劉思彤，呂 柳，修曉明

(渤海大學 物理科學與技術學院，遼寧 錦州121013)

0 引言

量子信息是量子力學與信息科學交叉的新興學科，量子信息同經典信息相比具有潛在的巨大優勢.量子通信被證明在原理上是絕對安全的，量子計算機的并行計算能力遠遠大于經典計算機[1]．量子糾纏是量子系統中特有的現象，是完成量子信息處理任務的重要資源[2]．然而，在量子系統里，由于環境噪聲的存在，使得量子態很容易發生退相干，導致量子態由最大糾纏態演化為非最大糾纏態．這會嚴重影響完成量子信息處理任務的質量，甚至會對量子信息任務的安全造成威脅．

為了保證完成量子信息處理任務的可靠性和安全性，人們思考各種辦法來獲得高糾纏度的量子糾纏態，減少環境噪聲的影響，糾纏濃縮方案也就應運而生．

糾纏濃縮可以從糾纏度較低的糾纏態中提取出糾纏度較高的糾纏態，甚至是最大糾纏態．1996年，Bennett等基于Schmidt投影測量的方法提出了第一個糾纏濃縮方案[3]，此方案是針對Bell類非最大糾纏態|φ〉=α|00〉+β|11〉的糾纏濃縮，要求兩個參與者在執行濃縮方案之前已知糾纏態的疊加系數α與β，根據系數設計投影測量．Bose推廣了Bennett的糾纏濃縮思想，提出了基于糾纏交換的Bell類非最大糾纏態的糾纏濃縮方案[4]，由于糾纏交換的特點，非最大糾纏態的疊加系數對于兩個參與者可以是未知的．2000年，Bandyopadhyay提出基于輔助量子比特和一個已知系數Bell類非最大糾纏態的糾纏濃縮方案[5]．之后，針對不同糾纏態和不同物理系統的糾纏濃縮方案相繼被提出[6-16]．2001年，Zhao[6]和Yamamoto等[7]分別利用極化分束器(PBS)等線性光學元件代替Schmidt投影測量，提出了基于線性光學元件的糾纏濃縮方案．2008年，Sheng等利用Kerr非線性介質提出了一個更高效的糾纏濃縮方案[8]，方案基于Kerr非線性介質提供的光子之間的非線性相互作用，實現非破壞測量和循環糾纏濃縮過程，從而達到提高成功率的目的．2012年，Sheng等又將PBS線性光學元件和Kerr非線性介質分別引入到已知系數Bell類非最大糾纏態的糾纏濃縮方案，提出了兩個借助單輔助量子比特實現的光學系統中已知系數Bell類非最大糾纏態的糾纏濃縮方案[9]．

除Kerr非線性介質之外，光學微腔與量子點耦合系統也可以實現光子與光子、電子與電子或光子與電子之間的非線性相互作用[17-22]．2014年，Ren和Long利用單邊光學微腔量子點耦合系統實現了Bell類超糾纏態的糾纏濃縮[21]．2017年，Zhao等利用雙邊光學微腔量子點耦合系統實現了Bell類糾纏態的糾纏濃縮[22]．

本文基于單邊微腔與量子點耦合系統，提出兩個Bell類糾纏態的極化糾纏濃縮方案．一個是未知系數非最大糾纏Bell態極化糾纏濃縮方案，另一個是已知系數非最大糾纏Bell態極化糾纏濃縮方案．

1 單邊微腔與量子點耦合系統

量子點結構特殊，它的形狀和大小都是可以人為改變的，其能級結構也可以同時改變，為更好地實現量子比特提供了更多可供選擇的方法．

圖1 (a)單邊微腔與量子點耦合系統的裝置結構示意圖；(b)耦合系統的能級結構示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

當g=0，也就是量子點與單邊光學微腔不耦合的冷腔，其反射系數為

(5)

在ω=ωX-=ωc，κ>>κs，g>>κ，γ的條件下，熱腔和冷腔的反射系數分別為rh(ω)≈1，r0(ω)≈-1，由此可以得到單邊量子點光學微腔系統輸入和輸出關系：

|R，↑〉→-|R，↑〉，|R，↓〉→|R，↓〉，|L，↑〉→|L，↑〉，|L，↓〉→-|L，↓〉

(6)

2 Bell態極化糾纏濃縮方案

|φ〉=α|RR〉+β|LL〉

(7)

這里疊加項的系數滿足|α|2+|β|2=1．

2．1 未知系數非最大糾纏Bell態極化糾纏濃縮方案

假定Alice和Bob不知道噪聲對糾纏態的影響情況，即不知道疊加態的系數α與β．如果糾纏源產生的多個糾纏光子對在傳送過程中可以看成經歷相同的退相干作用，即集體噪聲的作用，則通信雙方可以獲得多個相同的非最大糾纏Bell態．應用圖2所示的糾纏濃縮線路即可實現未知系數的非最大糾纏Bell態的極化糾纏濃縮．

圖2 基于單邊腔量子點耦合系統非線性實現的未知系數非最大糾纏Bell態糾纏濃縮

|φ〉12?|φ〉34?|+〉e

(8)

圓偏振光分束器(CPBS)的作用是透射右圓偏振光子，反射左圓偏振光．如圖2，當光子2和光子4通過CPBS1和CPBS3進入單邊腔量子點耦合系統，按照公式(6)的規則被反射出來，圓偏振光分束器CPBS2和CPBS4將重新合并光子2和光子4的路徑，系統態可以表示為

(9)

(10)

光子3和光子4分別通過圓偏振光的Hadamard門，其作用可以表示為

(11)

則(10)式所表示的系統態將演化成為

(12)

與僅通過線性光學元件實現的糾纏濃縮方案不同，沒有得到最大糾纏態并不意味著方案一定失?。瓵lice和Bob可以將得到的糾纏態重新送入線路，執行下一次糾纏濃縮，即實現基于非線性光學的分級濃縮．

由上面的討論可知，經過一次糾纏濃縮的成功概率是P1=2|αβ|2，經過兩次糾纏濃縮的成功概率是P2=2|αβ|2+(|α|4+|β|4)2|αβ|4，經過三次糾纏濃縮的成功概率是P3=2|αβ|2+(|α|4+|β|4)2|αβ|4+(|α|4+|β|4)(|α|8+|β|8)2|αβ|8，…，即通過分級濃縮可以提高糾纏濃縮的成功概率．

2．2 已知系數非最大糾纏Bell態極化糾纏濃縮方案

如果非最大糾纏Bell態|φ〉12=α|RR〉12+β|LL〉12的系數α與β是已知的，則可以通過輔助光子 |φ〉3=α|R〉3+β|L〉3實現非最大糾纏Bell態的極化糾纏濃縮．僅借助線性光學元件實現的糾纏濃縮的最大成功概率是2|αβ|2，借助單邊腔量子點耦合系統的非線性和分級濃縮思想可以提高糾纏濃縮的成功概率，方案如圖3所示．

圖3 基于單邊腔量子點系統非線性實現的已知系數非最大糾纏Bell態糾纏濃縮

系統的初態可表示為

|φ〉12?|φ〉3?|+〉e

(14)

光子2、光子3與量子點相互作用后，系統態可以表示為

(15)

如果Bob對量子點內電子自旋測量結果是|+〉e，即系統態塌縮為非最大糾纏態α2|RRR〉123+β2|LLL〉123．通過對光子3執行與上一結果類似的操作，Alice和Bob可以獲得非最大糾纏態α2|RR〉12+β2|LL〉12．Alice和Bob可以令兩個光子再次進入極化糾纏濃縮線路，執行分級濃縮從而提高糾纏濃縮的成功概率．

3 總結

借助單邊光學微腔量子點耦合系統，我們提出了一個未知系數非最大糾纏Bell態的糾纏濃縮方案和一個已知系數非最大糾纏Bell態的糾纏濃縮方案．與僅應用線性光學元件實現的糾纏濃縮方案相比，本文提出的方案因為應用了光學非線性相互作用，可以通過增加分級糾纏濃縮環節提高方案的成功概率．

以上兩個方案也可以推廣為多方共享GHZ糾纏網絡的糾纏濃縮方案．多光子GHZ非最大糾纏態 |φ〉12…n=α|RR…R〉12…n+β|LL…L〉12…n和Bell類非最大糾纏態|φ〉12=α|RR〉12+β|LL〉12都有兩個不相等的復系數α和β，因此可以應用同樣的糾纏濃縮方法．此外，Bell類非最大糾纏態和多光子GHZ非最大糾纏態中所有量子比特都是對稱的，對糾纏態中任何一個量子比特執行操作都是等價的，因此執行糾纏濃縮的操作者可以由Bob換成參與糾纏共享的其他任意一人．