交錯二項式系數連帶奇數倒數平方和級數

張來萍, 及萬會

(1.寧夏大學 新華學院,寧夏 銀川 750021；2．寧夏民族職業技術學院 教育系，寧夏 吳忠 751100)

0 引言

1 主要結果和證明

(1) 奇數倒數平方和級數的二項式系數分母包含1個因子:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(2)奇數倒數平方和級數的二項式系數分母包含2個因子:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(3)奇數倒數平方和級數的二項式系數分母包含3個因子:

(12)

(13)

(14)

(15)

(4)奇數倒數平方和級數的二項式系數分母包含4個因子:

(16)

(17)

(18)

(19)

(5) 奇數倒數平方和級數的二項式系數分母包含5個因子:

(20)

(1) 奇數倒數平方和級數的二項式系數分母包含1個因子：

(2)連續奇數倒數平方和級數交錯的二項式系數分母含有2個因子：

(3)連續奇數倒數平方和級數交錯的二項式系數分母含有3個因子：

(4)連續奇數倒數平方和級數交錯的二項式系數分母含有4個因子：

(5)交錯的二項式系數連帶連續奇數倒數平方和級數的分母含有5個因子：

(21)

(1)對(21)式左邊進行裂項:

設k-1=m，則有

化簡得

B1即為(1)式。

(2)對(21)式左邊繼續進行裂項：

設k-2=m，則有

(22)

(22)式左邊轉化成部分分式，則有

因為B，B1已知,故通過計算可有

B2即為(2)式。

(22)式中B,B1,B2都已知，便可得2個因子乘積的二項式系數連帶連續奇數倒數平方和級數公式(6)。

(3)對(21)式的左邊進行裂項運算：

令k-2=m，則有

(23)

將(23)式的每個分式化成部分分式，則有

其中B,B1,B2都已知，通過計算得

B3即為(3)式。

分別設

以B3證明連續奇數倒數平方和上標增加1項或幾項不改變其和式收斂性。

前和式為二項式系數連帶連續奇數倒數平方和表達式,后式極限趨于0。

則有

結論：連續奇數倒數平方和上標增加1項或幾項不改變其和式收斂性。

(23)式中留下2個因子的分式,其他轉化成部分分式,對這些2個因子的分式，每次保留1個，其余化成部分分式，則有

其中B,B1,B2,B3已知，通過計算可得(7)～(8)式。

(23)式中留下3個因子分式，其余的分式轉化成部分分式,則有

其中B,B1,B2,B3已知，通過計算可得(12)式。

(21)式左邊進行裂項運算:

令k-4=m,則有

(24)

將(24)式的分式化成部分分式，則有

此時B,B1,B2,B3已知，通過計算可得

B4即為(4)式。

在(24)式中留下有2個因子的分式，其余化成部分分式，則有

此時B,B1,B2,B3,B4已知，通過運算可得(9)～(11)式。

(24)式中留下3個因子的分式其余化成部分分式，可得

此時B,B1,B2,B3,B4,B5已知，通過運算可得(13)～(15)式。

(24)式中保留4個因子的分式，其余化成部分分式，可得

此時B,B1,B2,B3,B4已知，通過運算可得(16)式。

(21)式的左邊進行裂項運算:

設k-5=m，得

展開乘積表達式，得

(25)

在(25)式中含有1個因子分式、2個因子分式、3個因子分式、4個因子分式、5個因子分式。本文僅選1個因子分式、4個因子分式、5個因子分式，將分式化成分母為1個因子、4個因子、5個因子乘積的二項式系數連帶連續奇數倒數平方和級數。

(25)式中所有分式化成部分分式，可得

此時B,B1,B2,B3,B4已知，通過運算可得

B5即為(5)式。

在(25)式保留4個因子分式，然后對這些4個因子的分式，每次保留1個，其余化成部分分式，可得

此時B,B1,B2,B3,B4,B5已知，通過運算可得(17)～(19)式。

(25)式中留下5個因子分式，其余化成部分分式，可得

此時B,B1,B2,B3,B4,B5已知，通過運算可得(20)式。定理證畢。

2 數值級數恒等式

推論1分母為奇偶性不定因子乘積的二項式系數連帶連續奇數倒數平方和數值級數恒等式。

推論2分母為奇偶性不定因子乘積交錯的二項式系數連帶連續奇數倒數平方和數值級數。