交換環上的絕對w-E-純模

李 慶

(西南民族大學 數學學院，四川 成都 610041)

1 預備知識

本文恒設R為具有單位元的交換環.R-模正合列是純正合列[1]，是指對任意R-模N，0 →A?RN→B?RN→C?RN→0仍保持正合.這種情況下，稱f(A)是B的純子模.如果R-模M是任意包含它的R-模的純子模，就稱R-模M為絕對純R-模.注意絕對純模也就是文獻[2]中所謂的FP-內射模.由此，關于模上的純性的研究得到了廣泛關注[3-6].文獻[7]將絕對純模進行了推廣，提出了E-純正合列和絕對E-純模等概念.所謂R-模正合列是E-純正合列[7]，是指對任意內射R-模N，0 →A?RN→B?RN→C?RN→0仍保持正合.這種情況下，稱f(A)是B的E-純子模.如果R-模M是任意包含它的R-模的 E-純子模，就稱R-模M為絕對E-純模.隨著Glaz 等[8]引入半v模(semi-divisorial modules)，也就是王芳貴等[9]在整環上定義的w-模.隨后，文獻[2]將w-模推廣到任意的交換環上研究，產生了交換環上的w-算子和w-模.w-算子和w-模的引入將乘法理想理論與同調理論逐步結合起來，產生了許多漂亮的結果[10-17].邢世奇和王芳貴等在文獻[10-11]中將w-算子引入到純性理論的研究中，提出了w-純正合列和w-純子模以及絕對w-純模的概念.R-模w-正合列0 →A→B→C→0稱為w-純正合列[10]，是指對任意R-模N，誘導的同態序列0 →A?RN→B?RN→C?RN→0是w-正合列.特別，若A為B的R-子模，R-模同態序列0 →A→B→B/A→0是w-純正合列，稱A為B的w-純子模.如果A是所有包含它的R-模的w-純子模，則稱A為絕對w-純子模[11].易知R-模A是絕對w-純子模當且僅當對任意正合列0 →A→B→C→0都是w-純正合列.本文主要在上述文獻的啟發下結合w-算子進一步推廣純性的相關研究，提出了w-E-純正合列和w-E-純子模以及絕對w-E-純模.

下面回顧一些常用定義和結果.假設J是交換環R的理想，由文獻[18]，J稱為GV-理想，是指J是R的有限生成理想，且自然同態φ:R→HomR(J,R)是同構的.GV(R)代表R中所有GV-理想.設R-模M，記torGV(M)={x∈M|Jx=0對某J∈GV(R)}.若torGV(M)=M，稱M為GV-撓模；若torGV(M)=0，稱M為GV-無撓模.GV-無撓R-模M稱為w-模，是指對任意J∈GV(R)有設f:M→N是R-模同態，若對R-的任意極大w-理想m，fm:Mm→Nm是單同態(滿同態或同構)，則f稱為w-單同態(w-滿同態或w-同構).R-模同態序列A→B→C稱為w-正合列，是指對R的任意極大w-理想m誘導的Rm-模同態序列Am→Bm→Cm是正合列.由文獻[19]命題1.1 知，R-模同態序列是w-正合列當且僅當f:A→B是w-單同態當且僅當ker(f)是GV-撓模；R-模同態序列是w-正合列當且僅當g:B→C是w-滿同態當且僅當cok(g)=C/Im(g)是GV-撓模.由文獻[20]定理2.7 知，R-模M是GV-撓模當且僅當對R的任意極大w-理想m，Mm=0.本文用A≤B表示A是B的子模，E(A)表示A的內射包.若沒特別聲明，設R-模M,N，我們將M?RN簡記為M?N.本文涉及的其他概念等，參見文獻[21].

2 絕對w-E-純模

定義1R-模短正合列稱為w-E-純正合列，是指對任意作為R-內射w-模 E，其誘導的序列0 →E?A→E?B→E?C→0是w-正合列.這里的單同態f:A→B稱為w-E-純單同態，f(A)稱為B的w-E-純子模.如果R-模A作為任意一個R-模的子模都是w-E-純子模，我們就稱A為絕對w-E-純模.R-模正合列稱為w-E-純正合列，是指是w-E-純正合列，也就是f:A→B是w-E-純單同態.

由定義1 知，R-模A是絕對w-E-純模當且僅當任意正合列0 →A→B→C→0都是w-E-純正合的.

命題1設R為任意交換環，A,B,C,D是R-模.

(1)若f:A→B和g:B→C都是w-E-純單同態，則g f:A→C也是w-E-純單同態.

(2)設單同態f:A→B和態射g:B→C使得g f:A→C是w-E-純單同態，則f:A→B是w-E-純單同態.特別，當A≤B≤C，A是C的w-E-純子模，則A也是B的w-E-純子模.

(3)設A≤B≤C，A是C的w-E-純子模，B/A是C/A的w-E-純子模，則B是C的w-E-純子模.

(4)設A≤B≤C，B是C的w-E-純子模，則B/A是C/A的w-E-純子模.

(5)設交換圖為

(a)如果該交換圖是推出圖，f是w-E-純單同態，g是滿同態，則 α是w-E-純單同態；

(b)如果該交換圖是拉回圖，α是w-E-純單同態，β是滿同態，且ker(β)是B的w-E-純子模，則f是w-E-純單同態.

(3)由(2)可知，A是B的w-E-純子模.下面考慮以下行列都是正合的列的交換圖：

任取內射w-模E，由A是B的w-E-純子模，A是C的w-E-純子模，且B/A也是C/A的w-E-純子模，于是我們有以下行列都是w-正合的交換圖：

由文獻[21]引理6.3.6 得E?B→E?C是w-單同態.因此，B是C的w-E-純子模.

(4) 考慮以下行列都是正合列的交換圖：

任取內射w-模E，由B是C的w-E-純子模，于是有以下行為w-正合且列為正合列的交換圖：

由文獻[21]引理6.3.6 得E?B/A→E?C/A是單同態，于是B/A是C/A的w-E-純子模.

(5) (a)假設已知條件中的交換圖是推出圖，于是有下列行列都是正合列的交換圖：

任取內射w-模E.因f是w-E-純單同態，故有下列行為w-正合列且列為正合列的交換圖：

由文獻[21]引理6.3.6 得E?C→E?D是w-單同態，故 α是w-E-純單同態.

(b)假設已知條件中的交換圖是拉回圖，于是有下列行列都是正合列的交換圖：

因α是w-E-純單同態且ker(β)是B的w-E-純子模，從而對任意內射w-模E有以下行列為w-正合列的交換圖：

于是對R的任意極大w-理想m，有下列行列都正合的交換圖：

由蛇形引理，ker((1?f)m)?ker((1?α)m).因α:C→D是w-E-純單同態，故1?α:E?C→E?D是w-單同態，從而(1?α)m:(E?C)m→(E?D)m是單同態.因此ker((1?α)m)=0，故ker((1?f)m)=0，從而(1?f)m:(E?A)m→(E?B)m是單同態，故1?f:E?A→E?B是w-單同態.因此，f:A→B是w-E-純單同態.證畢.

定理1設M是絕對w-E-純模，且K≤M，則K是絕對w-E-純R-模當且僅當K是M的w-E-純子模.

證明“?” 由絕對w-E-純R-模的定義直接可得.

“?”設K′是包含K的任意R-模，考慮K→M與K→K′的推出圖，我們有以下行正合的交換圖：

由M是絕對w-E-純R-模，且K是M的w-E-純子模，于是對任意內射w-模E，有以下行列均為w-正合的交換圖：

于是E?K→E?K′是w-單同態，從而K→K′是w-E-純單同態.因此，K是絕對w-E-純R-模.證畢.

定理1 說明絕對w-E-純模類在w-E-純子模下是封閉的.

定理2設R-模正合列0 →A→B→C→0，其中A,C都是絕對w-E-純模，則B也是絕對w-E-純模.

證明任取包含B的R-模D，考慮B→D與B→C的推出圖，我們有以下行列正合的交換圖：

因A,C都是絕對w-E-純模，故對任意內射w-模E 有以下行列是w-正合的交換圖：

由文獻[21]引理6.3.6，E?B→E?D是w-單同態.故B→D是w-E-純單同態.因此，B是絕對w-E-純模.證畢.

定理2 說明絕對w-E-純模類在其擴張之下是封閉的.

推論1設A≤B，且均為R-模，若B和E(B)/A都是絕對w-E-純模，則B/A也是絕對w-E-純模.

證明由A≤B≤E(B)，因B是絕對w-E-純模，于是B就是E(B)的w-E-純子模.由命題1(4)，B/A是E(B)/A的w-E-純子模.又因E(B)/A是絕對w-E-純模，故由定理1，B/A是絕對w-E-純模.證畢.

定理3設R為交換環，以下各條等價：

(1)A是絕對w-E-純R-模；

(2)A是任意包含它的內射模的w-E-純子模；

(3)A是其內射包E(A)的w-E-純子模.

證明(1)?(2)?(3)由絕對w-E-純模的定義，顯然成立.

(3)?(1)任取包含A的R-模B，因E(A)內射，故有交換圖

故g f=h是單同態.因A是E(A)的w-E-純子模，也就是說h:A→E(A)是w-E-純單同態.故g f是w-E-純單同態.由命題1(4)，f:A→B是w-E-純單同態.因此，A是絕對w-E-純R-模.證畢.

下面我們討論環R上的任意R-模都是絕對w-E-純模的情況.回顧文獻[13]，R稱為w-IF環，是指R上每個內射w-模都是w-平坦模.R-模M稱為w-平坦模[15]，是指對任意R模w-單同態f:A→B，其誘導的序列1?f:M?RA→M?RB也 是w-單同態.R-模M稱為w-余純平坦模[12]，是指對R-上任意內射w-模，tor(E,M)是GV-撓模.

定理4設C是R-模，則任意R-模正合列0 →A→B→C→0是w-E-純正合列當且僅當C是w-余純平坦模.

證明“?” 不妨取正合列0 →K→P→C→0，其中P為投射R-模.任取內射w-模E，于是有正合列

由已知條件可知0 →K→P→C→0是w-E-純正合列，故序列

是w-正合的.因此，是GV-撓的.故C是w-余純平坦模.

“?”假設C是w-余純平坦模，于是對任意內射w-模E，是GV-撓的.對R的任意w-理想m，任取正合列R-模0 →A→B→C→0，于是有正合列從而有正合列

故對R的任意w-理想m，0 →(E?A)m→(E?B)m→(E?C)m→0是正合列.故0 →E?A→E?B→E?C→0是w-正合列.因此，0 →A→B→C→0是w-E-純正合列.證畢.

從定理4 可以看出，在某種程度上絕對w-E-純?？煽闯墒莣-余純平坦模的對偶.回顧文獻[14]，設R是交換環，n是非負整數，設R-模M，若對任意R-模N，是GV-撓模，則稱M的w-平坦維數小于等于n，記為w-fdR(M)≤n.我們知道M是w-平坦模當且僅當w-fdR(M)=0當且僅當對任意R-模N，是GV-撓模.類似文獻[7]定理2.18，我們得出以下結論.

定理5設R為任意交換環，下列各條等價：

(1)每個R-模都是絕對w-E-純模；

(2)R是w-IF環；

(3)每個R-模都是w-余純平坦模；

(4)對任意R-模M，E(M)/M是w-余純平坦模.

證明(2)?(3)參見文獻[13]定理6.5.

(1)?(2)若R不是w-IF環，則存在有一個內射w-模E不是w-平坦模，于是w-fdR(E)≥1.從而存在R-模A使得不是GV-撓模.取正合列0 →A′→P→A→0，其中P為投射R-模.我們得到如下正合列

因每個R-模都是絕對w-E-純模，故A′是絕對w-E-純模，從而0 →E?A′→E?P′→E?A→0是w-正合列.故是GV-撓模，矛盾.因此，R是w-IF環 .

(3)?(4)顯然成立.

(4)?(1)設任意R-模M，E(M)/M是w-余純平坦模.由定理4，0 →M→E(M)→E(M)/M→0是w-E-純正合列.故M是E(M)的w-E-純子模.由定理3，M是絕對w-E-純模.即每個R-模都是絕對w-E-純模.證畢.

最后，我們類似于模的純內射性和純平坦性的討論，思考相對于w-E-純正合列下模的內射性和平坦性間題.

定義2(1)R-模M稱為w-E-純內射模，是指M相對于任意的R-模的w-E-純正合列保持其內射性.即對任意的w-E-純正合列0→A→B→C→0，誘導的同態序列0 →HomR(C,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0是正合列.

(2)R-模M稱為w-E-純平坦模，是指M相對于任意的R-模的w-E-純正合列保持其平坦性.即對任意的w-E-純正合列0 →A→B→C→0，誘導的同態序列0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.

引理1R-模M是w-E-純平坦模當且僅當M的特征模M+(=HomZ(M,Q/Z))是w-E-純內射模.

證明設任意的w-E-純正合列0 →A→B→C→0.R-模M是w-E-純平坦模當且僅當0 →M?RA→M?RB→M?RC→0正合當且僅當0→(M?RC)+→(M?RB)+→(M?RA)+→0正合當且僅當0 →HomR(C,M+)→HomR(B,M+)→HomR(A,M+)→0正合當且僅當M+是w-E-純內射模.其中倒數第2 個充分必要條件的成立是因為(N?RM)+?HomR(M,N+).證畢.

由定義，我們知道純正合列是E-純正合列，E-純正合列是w-E-純正合列，反過來會有什么結果呢?我們給出下面結論.

命題2設R為任意交換環，以下各條件等價：

(1)任意w-E-純正合列都是純正合列；

(2)任意R-模M都是w-E-純平坦模；

(3)對任意R-模M，M+是w-E-純內射模.

證明(1)?(2)設任意R-模M，任取w-E-純正合列0 →A→B→C→0.由已知條件可知0 →A→B→C→0是純正合列，故其誘導R-模序列0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，M是w-E-純平坦模.

(2)?(3)由引理1 直接可得.

(2)?(1)任取w-E-純正合列0 →A→B→C→0，任取R-模M，因M是w-E-純平坦模，故0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，0 →A→B→C→0是純正合列.證畢.

命題3設R為任意交換環，則以下各條件等價：

(1)任意w-E-純正合列都是E-純正合列；

(2)任意內射R-模M都是w-E-純平坦模；

(3)對任意內射R-模M，M+是w-E-純內射模.

證明(1)?(2)設任意內射R-模M，任取w-E-純正合列0 →A→B→C→0.由已知可知0 →A→B→C→0是E-純正合列，故其誘導R-模序列0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，M是w-E-純平坦模.

(2)?(3)由引理1 直接可得.

(2)?(1)任取w-E-純正合列0→A→B→C→0，任取內射R-模M，因M是w-E-純平坦模，故0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，0 →A→B→C→0是E-純正合列.證畢.

3 總結

本文我們提出并研究了交換環上的絕對w-E-純模的相關同調性，使得模的純性得到了進一步發展，豐富了模理論，同時對傳統的線性空間以及矩陣理論的研究提供了新的借鑒方向.模理論的研究如何在矩陣理論及其應用,比如在文獻[22,23]中發揮更大的作用，這是我們在未來研究中值得繼續深入思考的問題.