模和環的JGP-內射性

魯 琦，鮑宏偉，趙玉梅

(蚌埠學院 數理學院，安徽 蚌埠 233030)

本文中的環R均是含單位元的結合環，R上的模是酉模.J(J(R))，Zl(Z(RR))和Zr(Z(RR))分別表示R的Jacobson 根、左和右奇異理想.對R中的元a，l(a)(r(a))表示a的左(右)零化子.內射性的研究是近年來環論的熱門研究課題之一[1-4]，同態也是群論及環論中的重要研究內容[5-7].Yousif 等在文獻[1]中引入JP-內射環和JGP-內射環的概念，證明了它們是GP-內射環的真推廣，將Chen 在文獻[2]中關于GP-內射環的若干重要結果推廣到JGP-內射環，證明了對右Kasch 右JGP-內射環，R/J是半單的當且僅當R是左有限維的.Zhu 在文獻[3]中定義了JGP-內射模，對其進行了等價刻畫，研究其和半本原環的關系，又在文獻[4]中借助JGP-內射環研究了某些特殊環的關系，并用JGP-內射環刻畫了QF-環，豐富了關于QF-環的某些結論.

本文利用左JP-內射環刻畫左自內射環，并借助模和環的JGP-內射性研究環的半本原性.文中研究了單奇異左R-模是JGP-內射的環的半本原性和非奇異性，并用文獻[8]中左GWZI 環替換文獻[9]中擬ZI-環，證明了若環R是左GWZI 環，且任意單奇異左R-模是GP-內射的，則R是左、右非奇異的.本文中的一些結果推廣了文獻[2]和[10]的相關結果.

設R是環，L是R的左(右) 理想，若對任意0 ≠a∈L，存在正整數n，滿足an≠0，且anR?L(Ran?L)，則稱L是R的W-理想[11].設L是R的左(右)理想，若對任意a∈L，存在正整數n，使得anR?L(Ran?L)，則稱L是R的GW-理想[12].由文獻[11]例1.2 可知GW-理想是W-理想的真推廣.稱環R是左GWZI 環[8]，若對任意a∈R，l(a)是R的GW-理想.本文中出現的其它概念和術語可參見文獻[13].

1 JGP(JP)-內射模(環)

稱環R是左JP-內射環[1]，如果對任意a∈J(R)，均有rRlR(a)=aR.環R稱為左JGP-內射環[1]，如果對任意0 ≠a∈J(R)，存在正整數n，滿足an≠0，且rRlR(an)=anR.類似可定義右的情形.特別地，若J(R)=0，則R是左、右JGP-內射環.稱左R-模M是JGP-內射的[3]，如果對任意0 ≠a∈J(R)，存在正整數n，使得an≠0，且Ran到M的任意左R-同態可延拓為R到M的左R-同態.

命題1設M是左R-模，則下列條件等價：

(1)M是JGP-內射的；

(2) 對任意0 ≠a∈J(R)，存在正整數n，滿足an≠0，且rMlR(an)=anM；

(3) 對任意0 ≠a∈J(R)，存在正整數n，使an≠0，且對Ran到M的任意左R-同態f，存在m∈M，滿足f(ran)=ranm,r∈R.

證明(1)和(2)的等價見文獻[3]定理8 .

(2) ?(3) 設M是JGP-內射的，f是Ran到M的任意左R-同態，則對任意x∈lR(an)，可得xan=0，且f(xan)=x f(an)=0.故

于是存在m∈M，使f(an)=anm.

(3) ?(2) 對任意y∈rMlR(an)，下證y∈anM.對任意r∈R，定義容易驗證f是左R-同態，故由條件可知，存在m′∈M，使得f(ran)=ranm′.所以y=f(an)=anm′∈anM，再由y的任意性可得rMlR(an)?anM.注意到anM?rMlR(an)是顯然的，因此rMlR(an)=anM，M是JGP-內射的.證畢.

推論1環R是左JGP-內射環當且僅當對任意0 ≠a∈J(R)，存在正整數n，使an≠0，且對Ran到R的任意左R-同態f，存在b∈R，滿足f(ran)=ranb,r∈R.

稱環R是約化的[14]，如果R不含非零冪零元.稱R是ZI-環[15]，如果a,b∈R，由ab=0可推出aRb=0.易知，約化環是ZI-環.

命題2若R是約化的左JGP-內射環，S=eRe,e2=e∈R，則S是約化的左JGP-內射環.

證明因為R約化，所以S約化.?0 ≠a∈J(S)，易知a∈J(R).由R是左JGP-內射環，可知存在正整數n，使an≠0，且rRlR(an)=anR.下證rS lS(an)?anS.?x∈rS lS(an)，則有lS(an)?lS(x).?y∈lR(an)，可得yan=0，進而推出eyean=0，故eye∈lS(an)?lS(x).由此可得eyex=0.注意到(yx)2=yxyx=yx(eyex)=0，再由R是約化的，可得yx=0，故y∈lR(x)，所以lR(an)?lR(x).因此rRlR(x)?rRlR(an)=anR.因為x∈rRlR(x)，所以存在c∈R，使x=anc.而x∈S，故x=xe=ance=anece∈anS，因此rS lS(an)?anS.易見anS?rS lS(an)，故可得rS lS(an)=anS，命題2 得證.證畢.

推論2JGP-內射模的直和項仍是JGP-內射模.

定理1設R是環，則下列條件等價：

(1)R是半本原的；

(2) 任意a∈R，Ra是 JGP-內射的；

(3)R的本質左理想均是JGP-內射的.

證明(1) ?(3) 顯然.

(3) ?(2) 對任意a∈R，存在左理想K，使Ra⊕K是R的本質左理想.由(3)及推論2 得Ra是JGP-內射的，故(2)得證.

(2) ?(1) 由文獻[3]定理12 可得.證畢.

定理2若環R的任意極大本質左理想是JGP-內射的，且R的左零化子是W-理想，則R是半本原環.

證明對任意0 ≠a∈J(R)，下證若a2=0，則r(a)是R的理想.對任意t∈r(a)，得at=0，所以a∈l(t).因為l(t)是W-理想，所以aR?l(t).故aRt=0，進而可得Rt?r(a)，因此r(a)是R的理想.于是存在R的左理想I，使r(a)⊕I是R的本質左理想.由于r(a)是理想，且a∈r(a)，可得aI?r(a)∩I=0，故I?r(a)，因此r(a)是R的本質左理想.從而存在極大本質左理想M，使得r(a)?M.由定理2 條件，M是左JGP-內射的，且注意到a2=0，故左R-同態r∈R可延拓為R到M的左R-同態.因此存在m∈M，使得a=am.所以1-m∈r(a)?M，進而推出1=(1-m)+m∈M，矛盾.因此J(R)是約化的.

對0 ≠a∈J(R)，存在R的左理想K，使Ra⊕K是R的本質左理想.若Ra⊕K=R，則存在e=e2∈R，使得Ra=Re，故e∈J(R)，矛盾.因此Ra⊕K≠R，于是存在極大本質左理想M，使得Ra⊕K?M.因為J(R)是約化的，所以a2≠0，再由定理2 條件，M是左JGP-內射的，可知存在正整數n，使a2n≠0.由J(R)是約化的，可知J(R)是ZI-的，故若ra2n=0，則(ra)2n=0，因此ra=0.容易驗證r∈R是左R-同態，于是存在m∈M，使得a=a2nm，進而推出a(1-a2n-1m)=0.注意到a∈J(R)，故1-a2n-1m可逆，從而得a=0，矛盾.因此J(R)=0.證畢.

下面定理3 和定理4 分別推廣了文獻[2]中定理2.8 和定理3.9.

定理3若R是左Kasch，左JGP-內射的半局部環，則R是有限上生成的右R-模.

證明因為R是半局部環，所以有，Mi是極大左理想.對任意1≤k≤n，不妨令因此由文獻[2]引理2.7 可得由文獻[1]定理3.8（1）可知r(Mi)是極小右理想，故r(J)是有限生成右理想.再由文獻[1]定理3.8(3)，(4)可知Soc(RR)=r(J)，且Soc(RR)=Soc(RR)是R的本質右理想.故由文獻[13]命題10.7 得R是有限上生成的右R-模.證畢.

定理4若R是左JGP-內射環，且R/Soc(RR)（或R/Soc(RR)）滿足左零化子ACC 條件，則J是冪零的.

證明記S=Soc(RR)，=R/Soc(RR).對J中的任意元a1,a2,a3,···，由滿足ACC 條件，可知存在正整數m，使得

對任意正整數n，由文獻[1]定理3.6 可知a1a2···anan+1∈J?Zl，故l(a1a2···anan+1)是R的本質左理想，從而S?l(a1a2···anan+1).注意到S?l(an+1)，由文獻[2，定理3.9]的證明，可得

故可得l(a1a2···am+1)=l(a1a2···am+1am+2)，從而R(a1a2···am+1)∩l(am+2)=0.因為am+2∈J?Zl，所以l(am+2)是本質左理想.故a1a2···am+1=0，由此證得J是左T-冪零的，所以(J+S)/S是Rˉ的左T-冪零理想.由文獻[13]命題29.1，可知(J+S)/S是冪零的.于是存在正整數t，滿足Jt?S.故Jt+1?JS=0，因此J是冪零的.

若R/Soc(RR)滿足左零化子ACC 條件，對任意a∈J，由于Soc(RR)?l(J)?l(a)，故類似前面的證明，可得J是冪零的.證畢.

引理1[16]若M/N是半單的，N是M的真子模，則對任意M的子模L，存在M的子模K，使得L+K=M，且L∩K?N.

定理5設R是半局部環，則R是左自內射環當且僅當R是左JP-內射環.

證明左自內射環顯然是左JP-內射環.設f是R的左理想K到R的左R-同態.由R是半局部的以及引理1 可得存在左理想L，使得K+L=R，且K∩L?J.對任意x∈K∩L，由于R是左JP-內射環，故Rx到R的任意左R-同態可延拓為R的自同態.因此存在R的自同態g，使得g(x)=f(x).對任意r∈R，存在k∈K,l∈L，使得r=k+l.在R上定義映射F，F(r)=f(k)+g(l).如果k1+l1=k2+l2，ki∈K,li∈L,i=1,2，則k1-k2=l2-l1∈K∩L，故f(k1-k2)=g(l2-l1).因此F(k1+l1)=F(k2+l2).容易驗證F是左R-同態且F|K=f，所以R是左自內射環.證畢.

推論3若R是半局部的左JP-內射環，且滿足左零化子ACC 條件，則：

(1)R是半完全環；

(2)R是QF-環.

證明(1) 由定理5 可得R是左自內射環，所以J=Zl.因為左零化子ACC 條件，所以Zl=J是詣零的，從而由文獻[13]命題27.1 可得R/J的冪等元可提升.因此R是半完全環.

(2) 由文獻[17]引理5.3.1 中的(1)，(4)的等價可得.證畢.

2 單奇異左R-模是JGP(GP)-內射的

易見半本原環是左(右)JGP-內射環，但反之不真(見文獻[1]例3.1).若R是半本原環，則任意單奇異左R-模是JGP-內射的.由文獻[18]例1.1 可知，存在環R，使任意單奇異左R-模是JGP-內射的，但R不是半本原的.

命題4若任意單奇異左R-模是JGP-內射的，則J是約化的當且僅當R是半本原的.

證明若R是半本原的，則顯然J是約化的.假設J是約化的.對任意0 ≠a∈J，先證Ra∩l(a)=0.對任意x∈Ra∩l(a)，可知存在r∈R，使得x=ra，且xa=ra2=0.由J是約化的，可得l(a)=l(a2)，故x=0，由此證得Ra∩l(a)=0.

令L=Ra⊕l(a)，若L=R，則存在b∈Ra,c∈l(a)，使得1=ba+c.于是可得a=ba2+ca=ba2，進而推出(1-ba)a=0.由a∈J可得a=0，矛盾.所以L≠R.于是存在左理想K，使得L⊕K是R的本質左理想.若L⊕K≠R，則存在極大左理想M，使得L⊕K?M，從而R/M是單奇異左R-模.故存在正整數n，使得an≠0，且由J是約化的，可得l(a)=l(an).對任意r∈R，容易驗證f:Ran→R/M;ranr+M是左R-同態，于是存在c∈R，使得1+M=f(an)=anc+M，故可得1-anc∈M.注意到a∈J?M，所以1∈M，矛盾，因此L⊕K=R.于是存在e2=e∈R，使得Ra=Re.而0 ≠a∈J，故矛盾.因此R是半本原的.證畢.

定理6若任意單奇異左R-模是JGP-內射的，且Zl?J，則R是左非奇異環.

證明若Zl≠0，則存在0 ≠a∈Zl，a2=0，且l(a)是R的本質左理想.由于l(a)≠R，故存在極大本質左理想M，使得l(a)?M，且R/M是單奇異左R-模.對任意r∈R，容易驗證f:Ra→R/M;rar+M是左R-同態.于是存在b∈R，使1-ab∈M，再由a∈J可得1∈M，矛盾.故Zl=0，R是左非奇異環.證畢.

推論4設R是左AGP-內射環，若任意單奇異左R-模是JGP-內射的，則：

(1)R是左非奇異環；

(2)R是半本原環.

證明由R是左AGP-內射環及文獻[19]推論2.3 可知J=Zl.若Zl≠0，則存在0 ≠a∈Zl，a2=0.由定理6 的證明可得Zl=0，R是左非奇異環.再由J=Zl可得R是半本原環.證畢.

定理7設任意單奇異左R-模是JGP-內射的，若R的任意補左理想是GW-理想，則R是半本原環.

證明由命題4，只需證J約化.設存在0 ≠a∈J，a2=0.若Ra+l(a)≠R，則存在極大左理想M，使得Ra+l(a)?M.可以證明M是R的本質左理想.若不然，則M是R的直和項，于是存在0 ≠e2=e∈R，使得M=l(e)，進而可得a∈l(e).由定理7 條件，Re作為補左理想是GW-理想，可知存在正整數n，使en≠0，且enR(=eR)?Re，于是可得eR(1-e)?Re(1-e)=0，從而ea=eae.由于R(1-e)是R的補左理想，類似前面的證明，可得ae=eae，因此ae=ea.因為a∈l(e)，所以ea=0，從而可得e∈l(a)?l(e).因此，e2=0，矛盾.故M是R的極大本質左理想，從而R/M是單奇異左R-模.對任意r∈R，容易驗證f:Ra→R/M;rar+M是左R-同態.故存在b∈R，使得1-ab∈M.因為a∈J?M，所以1∈M，矛盾，故可得Ra+l(a)=R.于是存在c∈Ra，使得a=ca，故(1-c)a=0.因為c∈Ra?J，所以a=0，矛盾.因此J是約化的.證畢.

定理8設任意單奇異左R-模是JGP-內射的，若R的任意補右理想是GW-理想，則R是半本原環.

證明只需證J約化.設存在0 ≠a∈J，a2=0.若Ra+l(a)≠R，則存在極大左理想M，使得Ra+l(a)?M.由定理8 條件，eR作為補右理想是GW-理想，故存在正整數n，使en≠0，且Ren(=Re)?eR.于是可得(1-e)Re?(1-e)eR=0，從而ae=eae.由于(1-e)R是R的補右理想，同理可得ea=eae，因此ae=ea.再由定理7 的證明可得，J是約化的，故定理8 得證.證畢.

稱R是左GWZI 環[8]，若對任意a∈R，l(a)是GW-理想.稱R是π-半交換環[20]，若對R的任意元a和b，如果ab=0，則存在正整數n，使得anRbn=0.左GWZI 環必為π-半交換環，但反之不真[20].稱R是擬ZI-環[9]，若對R的任意非零元a，b，如果ab=0，則存在正整數n，使得an≠0，且anRbn=0.易見，擬ZI-環是π-半交換環，下例說明π-半交換環未必是擬ZI-環.

例1設R′=Q〈α,β,γ〉是系數取自有理數域的以α,β,γ為非交換未定元的多項式的集合.I是由〈α2,β2,γ2,αγ,βα,γβ,γα〉生成的理想.記R=R′/I，則容易驗證R是π-半交換環.注意到所以R不是擬ZI-環.容易驗證R也是左GWZI 環.

引理2[8]若R是左GWZI 環，則R的冪等元是中心的.

下面命題5 部分推廣了文獻[10]引理1.1.

命題5若R是左GWZI 環，且任意單奇異左R-模是GP-內射的，則R是約化的.

證 明設存在0 ≠a∈R，a2=0，則l(a)≠R.于是存在左理想L，使l(a)⊕K是R的本質左理想.若l(a)⊕K=R，則存在e2=e∈R，使l(a)=Re，且由引理2 可知a=ae=ea.因為a∈rl(a)=(1-e)R，所以a=ea=0，矛盾.故l(a)⊕K≠R.于是存在極大本質左理想M，使得l(a)⊕K?M，從而R/M是單奇異左R-模.由命題5條件，容易定義左R-同態f:Ra→R/M;rar+M，r∈R.于是存在b∈R，使1-ab∈M.進而可得b-bab∈M，且由ba2=0可得ba∈l(a)?M.由于R是左GWZI 環，故可知l(a)是R的GW-理想，于是存在正整數n，使得(ba)nb∈l(a)?M.從而可得

于是(ba)n-1b=(ba)nb+(ba)n-1(b-bab)∈M.繼續下去，可得bab∈M.于是b=（b-bab）+bab∈M，所以ab∈M.故可得1∈M，矛盾.因此對任意0 ≠a∈R，均有a2≠0，從而可得R是約化的.證畢.

推論5若R是左GWZI 環，且任意單奇異左R-模是JGP-內射的，則R是半本原環.

證明設存在0 ≠a∈J，a2=0，則l(a)≠R.由命題5 的證明可知，存在極大本質左理想M及b∈R，使1-ab∈M.由a∈J可得ab∈J，故1∈M，矛盾.因此J是約化的.再由命題4 可得R是半本原環.證畢.

由命題5 和文獻[9]引理3.3 可得下面的定理9.

定理9設R是左GWZI 環，且任意單奇異左R-模是GP-內射的，則R是左、右非奇異的.

推論6[10]設R是半交換的左YJ-內射環，且R是左GP-V′-環，則R是右非奇異的.

定理10若環R是π-半交換環，且任意單奇異左R-模是JGP-內射的，則R是半本原的.

證明由命題4，只需證J是約化的.設存在0 ≠a∈J，a2=0，則l(a)≠R.于是存在左理想K，使l(a)⊕K是R的本質左理想.若l(a)⊕K≠R，則存在極大本質左理想M，滿足l(a)⊕K?M，從而單奇異左R-模R/M是JGP-內射的.容易定義左R-同態f:Ra→R/M;rar+M，r∈R.于是存在b∈R，使1-ab∈M.注意到a∈J，故可得1∈M，矛盾.故l(a)⊕K=R.于是存在e2=e∈R，使l(a)=Re，再由a∈l(a)可得a∈Re.由文獻 [20，命題2.7]可知a=ae=ea，注意到a∈rl(a)=(1-e)R，所以a=ea=0，矛盾.故可得J是約化的.因此R是半本原的.證畢.

推論7若環R是π-半交換的右AGP-內射環，且任意單奇異左R-模是JGP-內射的，則R是右非奇異環.

證明由定理10 及文獻[19]推論2.3 可得證.證畢.

定理11設R是π-半交換的左GP-內射環，且任意單奇異左R-模是GP-內射的，則R是左、右非奇異環.

證明由文獻[21，定理2]可得J=Zl，再由定理10 可得R是左非奇異的.類似文獻[10]定理2.1 的證明，可得R是右非奇異的，故定理得證.證畢.