計及橫向剪切效應的環形諧振子理論研究

裴永樂，高立民，徐 亮，李 華，李曉輝，李錄賢

(1.中國科學院西安光學精密機械研究所，西安 710119；2.西安交通大學航天航空學院，機械結構強度與振動國家重點實驗室,飛行器環境與控制陜西省重點實驗室，西安 710049)

0 引言

環形諧振子是諧振陀螺的一種典型諧振子結構類型，由于環形諧振子與旋轉薄殼型諧振子(如半球諧振子)具有相似的動力學特性，因此可用環形諧振子的模型來簡化研究半球諧振子唇緣的動態特性。經典的環形諧振子理論是在不考慮橫向剪切變形的條件下，基于彈性力學基本原理以及幾何中心線(或稱幾何中性軸)不可拉伸假設建立的，因此，該經典理論只適用于高徑比(即結構高度與幾何中心線曲率半徑之比)較小的薄環結構。

在實踐過程中，特別是在高過載條件下，如導彈的發射過程、彈體的侵徹過程等工況下，過小的高徑比容易造成諧振子局部剛度不足，進而引起諧振子結構失效，因此，需要使用高徑比較大的諧振子。在這種情況下，若仍使用忽略橫向剪切效應的經典環形諧振子理論來設計諧振子，可能會造成很多問題，例如計算的彎曲撓度偏小、臨界屈曲載荷偏大等。因此，目前亟需建立考慮橫向剪切效應的環形諧振子理論及動態響應問題的求解方法，這對于高精度諧振陀螺的研究具有重要的工程意義和學術價值。

本文主要根據梁板理論的研究方法，從能量原理角度分析環結構的動態問題?；跈M向剪切效應的梁板理論主要包括基于線性位移模式的低階理論(如Timoshenko理論)和基于高次位移模式的高階理論等?？紤]到基于高次位移模式的高階理論邊界條件復雜、物理意義不明確，很難獲得理論解。因此，為了便于工程計算，本文擬從經典Timoshenko理論的位移模式出發，根據經典環形諧振子理論的基本假設和能量原理，建立考慮橫向剪切效應的環形諧振子新理論，并研究環形諧振子在緩慢、勻速轉動過程中的動態響應問題。

1 環形諧振子結構的數學描述

(1)

圖1 圓環結構及坐標系示意圖Fig.1 The ring-shaped structure and its coordinate system

并且

(2)

環形結構的幾何關系可以表示為

(3)

其中，和分別為截面上的正應變和剪應變。

對于均質材料的環結構，其本構關系可以表示為

(4)

其中，和分別為截面上的正應力和剪應力；=[2(1+)]表示材料的剪切模量。

對于環結構問題，其廣義應力的定義如下

(5)

其中，、和分別為周向拉力、彎矩和剪力。

因此，根據幾何關系式(3)和本構關系式(4)，可得環結構的廣義本構關系為

(6)

(7)

并且,“′”表示物理量對周向坐標的一階偏導數。

2 環形諧振子結構的數學描述

對于一個緩慢、勻速轉動的環形諧振子，其動態響應問題的求解一直是諧振陀螺領域的重要研究內容，特別是進動系數、二階彎曲角頻率等參數。因此，本節利用上述位移模式式(1)、廣義應力式(5)、應變式(7)以及本構關系式(6)，根據哈密頓原理，對環形諧振子動態響應問題進行系統地研究和求解。

根據環結構的哈密頓原理，可得

(8)

并且

(9)

(10)

其中

(11)

將本構關系式(6)代入平衡方程式(10)中，從而有

(12)

至此，建立了考慮橫向剪切效應的環結構理論，此外，環形結構的連續性(周期性)條件可表述為

(13)

3 動態問題的求解方法

進動系數及二階彎曲角頻率是諧振陀螺設計領域的重要參數，為了獲得環形結構動態響應問題的理論解，同樣引入幾何中心線不可拉伸假設，從而有

(14)

即

(15)

(16)

其中，()和()為位移分布函數。

根據式(6)、式(7)和式(16)，對于動態問題，剪力(,)可表示為

(17)

為了評估橫向剪切變形對結構動態響應的影響，考慮到式(16)，假設

()sin(2)]

(18)

其中，為待定系數，表征截面剪力大小，其值與、等物理量有關(見第4節)。

將式(14)和式(16)代入平衡方程式(12)，利用布勃諾夫-伽遼金法整理可得

(19)

其中

(20)

進而，進動系數和二階角頻率為

(21)

根據式(21)，基于本文理論獲得環形諧振子的進動系數不再恒為2/5，其值會隨著高徑比等物理量的變化而改變；另一方面，由于待定常數的存在，利用經典的幾何中心線不可拉伸假設及布勃諾夫-伽遼金法求解諧振子動態響應問題時，存在一個待定常數難以直接確定的問題。

4 待定常數的求解

為了確定待定常數，考慮到進動系數和二階角頻率的解析表達式中有相同的待求參數，并且很難通過其他方法獲得進動系數的準確值。因此，本文擬利用二階彎曲角頻率值推導值，最終獲得進動系數的精確值。對于環結構，在考慮橫向剪切效應的條件下，獲得環結構二階彎曲角頻率的最有效方法是有限元分析法。

在實踐過程中，為了提高諧振子的品質因數，環形諧振子一般選取熔融石英材料，力學性能如下：密度=2201kg/m，彈性模量=727GPa及泊松比=016。此外，為了便于求解，這里取無量綱參數=，式(21)可轉化為

(22)

(a)有限元模型

(b) 二階彎曲振型

圖3 環結構二階無量綱彎曲角頻率ω2隨h/r變化的規律Fig.3 The variation of the second-order dimensionless bending angular frequency for the ring structure with h/r increasing

同時，根據圖3以及式(22)之二式，可獲得曲率半徑=20mm，50mm及100mm條件下值隨的變化規律，如圖4所示。根據圖4可知，在不同的曲率半徑條件下，參數隨著的增加而單調增大：在較小時(如=002時)，趨近于零；在較大時(如=02時)，可達0.082左右。并且當曲率半徑取不同值時，隨著的增加，隨著變化曲線的一致性很好，最大相對誤差小于0.02%。

圖4 參數s1隨h/r變化的規律Fig.4 The distribution of parameter s1 with h/r increasing

為了準確獲得()函數的具體形式，取的幾何平均值進行分析(在相同條件下)。根據最小二乘法，最終擬合的()函數具體形式為

(23)

其中

(24)

并且，擬合函數的相關系數為0.9997，如圖4中曲線()所示。因此，最終獲得了函數的具體形式如下

=()

(25)

5 結果分析與討論

(26)

其中

(27)

圖5 無量綱彎曲角頻率ω2隨h/r的變化規律Fig.5 The variation of the second-order dimensionless bending angular frequency ω2 with h/r increasing

圖6 進動系數K隨h/r的變化規律Fig.6 The distribution of the precession coefficient K with h/r increasing

此外，考慮到擬合()的復雜性，為了便于工程應用，本文還研究了=0的特殊情況(即=0時)，獲得了二階彎曲角頻率及進動系數的簡化理論解，如圖5及圖6所示。此時，根據式(16)、式(17)和式(18)，從而有截面剪力(,)=0，截面轉角(,)≠0，即環結構剪力為零時，仍存在截面轉角的變化。根據圖5和圖6可知，對于二階彎曲角頻率，簡化理論解較本文標準理論解大，較經典環理論解小，如當=0.2時，簡化理論解較本文標準理論解大1.39%，較經典理論解小0.30%；對于進動系數，簡化理論解略小于本文對應的標準理論解，明顯小于經典理論解，如=0.2時，簡化理論解較本文理論解小0.02%，較經典理論解小0.42%。需要強調的是,雖然基于本文理論的進動系數與經典理論結果的相對誤差在0.4%左右，但是這對于高精度諧振陀螺的設計及模型誤差分析仍具有重要的指導意義。

通過分析本文理論解中各項所對應的物理內涵，特別是與廣義應變的對應關系，發現造成上述差異的根本原因在于，本文的環形諧振子理論不僅可以準確描述結構彎曲變形的能量(特別是廣義彎曲應變)，而且可以準確描述結構橫向剪切變形的能量(特別是廣義剪切應變)：橫向剪切變形的大小對于二階彎曲角頻率的理論解有重要影響，彎曲變形的大小對于進動系數的理論解有重要影響。此外，盡管本文簡化理論解不能精確表征環結構的橫向剪切變形，但可以描述結構的彎曲變形。令人遺憾的是，經典環形諧振子理論由于無法精確表征環形結構的橫向剪切變形及彎曲變形，因此對應的二階彎曲角頻率和進動系數理論解都不夠準確。

6 結論

本文從環形諧振子結構的線性位移模式出發，基于Timoshenko理論，獲得了環形結構的廣義應力、應變及本構關系，根據哈密頓原理，建立了考慮橫向剪切效應的環形諧振子理論，包括廣義本構關系、平衡方程和周期性邊界條件等。然后根據布勃諾夫-伽遼金法，推導出包含待求參數的環形諧振子二階彎曲角頻率和進動系數的理論解。接著根據有限元法及最小二乘法，利用獲得的二階彎曲角頻率來擬合待求參數()的函數形式。在此基礎上，忽略項，獲得了簡化理論解。最后，對比和分析了本文標準理論解與簡化理論解各自的優缺點(即=()與=0時)，并揭示了經典環形諧振子理論的不足。

本文的工作表明：1)本文的環形諧振子理論不僅可以描述環結構的彎曲變形，而且可以描述結構的橫向剪切變形；2)環結構橫向剪切變形和彎曲變形的大小對于二階彎曲角頻率和進動系數的理論解取值具有重要的影響；3)環形諧振子的進動系數不是恒定的，它會隨著的增大而緩慢地減??；4)本文的簡化理論解不僅求解方法簡單，而且可以準確描述進動系數的大小。此外，本文建立的諧振子新理論不僅可以為高精度諧振陀螺的設計提供理論支撐，而且可以為諧振子誤差分析模型提供新的視角，特別是在密度和品質因數的不均性、加工誤差及高過載等因素引起的誤差分析方面。因此，本文的研究工作具有重要的工程意義和學術價值。