奇異攝動Volterra積分微分方程的分段Legendre譜配置方法*①

王子程，楊煥楓，隆廣慶

(南寧師范大學 數學與統計學院,廣西 南寧 530100)

1 引言

考慮如下的奇異攝動Volterra積分微分方程(簡稱SPVIDE)：

(1.1)

其中0<ε≤1是攝動參數,a(t),K(t,s)和g(t)都是光滑函數，并且存在常數α和α*使得α*≥a(x)≥α>0.在這些條件下,上述SPVIDE問題有唯一解.

SPVIDE是應用數學和工程問題中受到密切關注的研究對象,廣泛出現于生態學、 醫學、 物理學、 生物系統等研究領域[1-4].SPVIDE的高階導數項包含有小參數ε，這導致SPVIDE的解在邊界層快速變化,因此在均勻網格上的一般的數值方法很難求得其精確解,所以研究這類方程的數值方法十分重要.

近二十多年來,關于奇異攝動微分方程的數值方法的研究引起了人們的興趣.一些學者研究了求解奇異攝動微分方程的有限元方法,其主要研究進展為:文[5,6]提出并分析了具有弱奇異核的第二類Volterra積分方程組的譜配置近似方法.文[7]采用局部細化網格和增加分段多項式次數的方法,設計求解奇異攝動Volterra積分微分方程hp型間斷Galerkin方法的數值格式,數值結果計算表明,節點處hp型間斷Galerkin解具有與奇異攝動參數無關的一致指數收斂.

在奇異攝動微分方程的有限元方法受到關注的同時,求解奇異攝動微分方程的有限差分方法也受到了一些學者的青睞.文[8]討論在任意非均勻網格下的一類帶參數的非線性奇異攝動問題的自適應移動網格方法,證明半離散格式自適應移動網格算法是一階收斂的.文[9]研究了一種具有邊界層的奇異攝動Volterra積分微分方程的自適應網格方法,所提出的自適應網格方法對攝動參數是一階均勻收斂.文[10,11]提出在細網格應用中心差分和在粗網格應用中點差分算子的數值計算方法,所提出的方法對SPVIDE具有二階一致收斂性.文[12]研究了非線性奇異攝動Volterra積分微分方程在任意非均勻網格上使用隱式有限差分離散格式.

目前關于奇異攝動Volterra積分微分方程數值方法的研究相對較少,特別是關于精度較高的譜配置方法.因此本文考慮如下奇異攝動Volterra積分微分方程的譜配置法.

(1.2)

方程(1.1)為

(1.3)

其中

(1.4)

2 Shishkin網格的構造和分段Legendre譜配置法

2.1 S-網格的構造

首先,將求解區間[0,T]分為邊界層部分[0,σ]和光滑部分[σ,T],其中σ=min{1/2,(2/α)εlnM},M為偶數.然后將區間[0,σ]和[σ,T]都M/2等分,可得如下的Shishkin網格:

其中網格節點xi定義為

2.2 分段Legendre譜配置法

第一步:求配置點

首先,為了能夠得到配置點,將區間[0,T]映射到[-1,1],網格節點為

ημ=2xi-1,μ=0,1,…,M.

其中子區間δμ=[ημ,ημ+1]?[-1,1],η0=-1,ηM+1=1,則子區間的步長為hμ=ημ+1-ημ,μ=0,1,…,M.設配置點為

其中xi是Legendre Gauss-Lobatto 配置點.

第二步:插值逼近

在區間[ημ,ημ+1]上構造如下的插值函數來逼近u(x)：

第三步:求解積分項

(2.1)

(2.2)

方程(2.2)可以寫成

(2.3)

為使用Gauss求積公式求解積分項,作以下變換:

設

zr(v)=z(ηr,ηr+1,v),v∈[-1,1],r≥0.

由Gauss求積公式得

(2.4)

其中vk是區間[-1,1]上的Legendre Gauss-Lobatto點,ωk是對應的權函數,k=0,1,…,N.將方程(2.4)簡化成

(2.5)

其中

Fj(v)是在[-1,1]上的Legendre Gauss-Lobatto點的第j個Lagrange插值基函數.

第四步:求解方程組

(2.6)

故(2.6)可由以下方程逼近：

(2.7)

其中

從而在S-網格下,聯立(2.5)、(2.7)，得

(2.8)

其中

將(2.8)的第二個方程代入第一個方程,得

3 數值實驗

例3.1考慮問題

其中f(t)=εcost+(2+t)sint+(t-2tε+ε2)exp(-t/ε)+t-2tcost+εt-ε2.問題的精確解為v(t)=sin(t)+exp(-t/ε).

例3.2考慮問題

其中f(t)=-ε/(1+t)2+1/(1+t)+tε(1-exp(-t/ε))+tlog(1+t).問題的精確解為v(x)=exp(-t/ε)+1/(1+t).

為驗證分段Legendre譜配置方法的有效性,我們對這兩個例子進行數值實驗.以N=2為例,表1和表2分別列出了ε和M的不同值對例子進行計算得到的最大誤差.由表2可見,當參數ε和N固定時,隨著剖分段數M的增大,誤差逐漸減小.為了更直觀地比較數值解與精確解,我們取ε=10-10,N=2,M=128進行了數值模擬,例3.1和例3.2的數值解和精確解的曲線分別如圖1和圖2所示.數值模擬結果表明,該方法能達到較高的精度.

由圖3和圖4可知，本文所提出的數值方法在Shishkin網格上是一致收斂的.這些結果還清楚地表明該數值方法幾乎達到二階收斂.

表1 例3.1的數值結果(N=2)

表2 例3.2的數值結果(N=2)

圖1 例3.1的數值解的曲線圖

圖2 例3.2的數值解的曲線圖

圖3 例3.1的誤差圖

圖4 例3.2的誤差圖

4 結論

本文運用分段Legendre譜配置方法求解奇異攝動積分微分方程：首先將區間[0,T]映射為標準區間[-1,1],然后使用插值逼近所求函數u(x)及其導數u′(x),接著利用Gauss求積公式求解積分部分,得到在Shishkin網格上的離散格式.數值實驗結果表明，該方法具有較高的精度.