數學腳本理論初探

林怡靜，趙繼源，尤茹松

(南寧師范大學 數學與統計學院，廣西 南寧 530100)

1 引言

教學本質問題一直是教學實踐改革的關鍵性問題，也是教師在教學過程中應反思的問題。教學必然要傳遞經驗或知識，但教學并不是簡單地將課本中的知識內容進行講述并傳遞給學生，它受師生雙方的互動、學生知識觀或態度等因素的影響。教學活動本質上是一種理解活動，它是師生在具體的情境中實現知識持續構造和價值辯護的介入性實踐活動。[1]受知識生成及建構的情境性和開放性的影響，學生在教學活動中并不是刻板地接受知識。他們不是“靜聽者”也不是“淺層對話者”，在教學活動中，他們帶著自己的思維和理解不斷地建構自己的知識構架。這也是為什么同樣的教學環境，同樣的授課方式，卻出現成績間差異的原因之一。

教師對教學本質的認識影響其教學質量和學生學習的結果。意識到學生對知識的理解是他們知識建構的重要環節，再加上受“以學生為中心”的教育理念的影響，許多教師都支持教學應以引導學生之間的學習活動為主?！读x務教育數學課程標準(2022年版)》也指出教師引導學生參與教學活動需要從學生已有的知識經驗出發[2]。學生是如何獲得學習經驗的？學生已有的經驗以怎樣的方式呈現？如何檢測學生已擁有哪些先驗知識？都是教師和研究者關注的問題。特別是在建構主義理論的指導下，學者們開始研究數學表征的解釋性理論，開始探索數學中表征形式的作用，開始關注學生在學習過程中的所思所想。許多學者試圖通過研究來解釋情境化的行動導向概念是如何轉變成更高抽象水平的概念，將數學研究的關注點上提至高級思維，這確實有助于教育者在引導學生建立數學概念的過程中更加關注學生思維的發展。[3]

學生經歷學習過程一定有思維的參與，包含自身對參與數學活動過程的感悟與歸納。數學思維反映人腦與數學對象的交互活動，從認識論的角度來看，思維方式可以看作人的認識定勢和認識運行模式的總和[4]。因此，依托思維挖掘學生的認知水平，有助于我們洞察思維和問題解決的本質，也有助于我們探索兩者的關系。

我們常說學生對某個概念是否理解會反映在其解題過程中，“數學理解”概念源自于認知心理學對“理解”的界定，是以信息的內部表征作為解釋的基礎。知識的表征與理解密切相關，而知識的理解推動數學問題的解決。從數學問題解決的過程中考查學生知識的表征，從表征中解釋學生的理解水平是認知心理學在教育研究中的應用。黃燕玲等人指出數學理解包括陳述性知識、程序性知識和過程性知識的理解，學生對三種知識的理解分別體現在獲得該對象的圖式、建立產生式系統、形成關系表征和觀念表征上。[5]因此，利用圖式、產生式等理論指導數學教學是很有價值的課題，國內已經有不少學者做了相關研究。本文結合已有的腳本理論提出“數學腳本”這一新概念，并進一步分析其特點，期待對數學學習理論的探討提供一種新的研究視角和路徑。

2 數學腳本

2.1 理論基礎

2.1.1 腳本

“腳本”一詞最早出現于心理學家對記憶的研究中，當時沒有“腳本”一說，而是稱作“圖式”。心理學家F.Bartlett最早提出圖式(schema)的概念：圖式是知識表征的集合，是個體將經驗和信息組織成的知識結構儲存在記憶中，在接受新信息時進行篩選、重新組織融合，融入到一個特定的框架中。而腳本理論最早由計算機科學家Schank和Abelson提出(1977)，他們將心理學的圖式理論應用于人工智能研究，并定義“腳本”：在特定情境中描寫相應事件序列的結構，它通過提供預先設定的、常規性的連貫動作，限定一個熟知的背景，使得更多活動能在這個背景中展開[6]。腳本來源于生活經驗，是生活經驗的提煉，腳本越多生活越便利。例如：去餐廳吃飯、到超市購物、去醫院看病等，都是一個個在特定場景中由動作序列組成的腳本。這些有情節、有程序的腳本儲存在個體的長期記憶中，在遇到類似情景時，這些記憶被調動以此作為當前行為的參照[7]。腳本仿佛是個體通過寫有字幕的動畫、插圖的方式來對事件的記憶進行存儲[8]。

“腳本”一詞在認知科學領域具有很長的歷史，其觀點也經歷了從大而穩定的認知結構(標準化的事件序列)向多種組件構成的動態認知結構的轉變過程。最新腳本理論觀點認為腳本是靈活的，個體會根據不同情境和個人目標的需求進行重新組合，因此腳本具有情境性。[9]由此可知，腳本是一種高層次的知識結構，可以在理解過程中提供背景信息。腳本由一系列事件組成，這些事件形成一個老套的情節，只要其中的一個或多個事件被激活，一整系列的事件也隨之被激活[10]。當然，腳本內部所包含的信息是有序的，類似于“成因鏈”，一系列的“成因鏈”串連組成時間序列，共同構成動態性、程序性的認知結構。

2.1.2 腳本相關研究

腳本描述了特定情境下按時間順序組織的活動。人們根據頭腦中存儲的腳本知識來理解和記憶不同的場景。機器同樣可以學習相應的腳本知識從而做出與事件相關的推斷。人工智能研究中的“腳本”是指以某種格式書寫的指令列表，通常包含某些自動化任務的方向。因此，在人工智能領域，研究人員引入腳本學習為機器編譯腳本知識，幫助機器理解自然語言和得出類似人類的結論的結果。例如在自然語言處理(NLP)任務中，機器通過腳本學習能夠預測、提取事件，能夠解析話語和識別意圖并做出問題回答等等[11]。又例如在計算機支持的協作學習中(CSCL)，研究人員可以為協作學習設置特定的指令，以激活個體內部協作腳本為目的來設計外部協作腳本作為學習過程的指導。外部協作腳本包括在CSCL環境中呈現的提示和交互規則，是協作學習的指南[12]。

腳本理論除了應用在人工智能領域，也被其他社會認知領域所應用。在不同的學科領域中“腳本”起不同作用。在心理學中，它是一種記憶結構，能夠在特定情境下指導學習者的理解和行為；在計算機科學中，它是一種可執行文件，供程序員創建和調試系統；在戲劇影視文學中，它是拍攝、表演所依據的底本，呈現故事的大體發展脈絡；在教育學中，它是學生群體知識構建過程中的學習支架[9]。

而不同的領域應用腳本進行研究有不同的目的傾向。腳本的概念被廣泛應用于心理學領域幫助解釋兒童的行為和成人語言理解的過程。從中國知網進行數據檢索，可以發現我國大陸對腳本理論的應用研究幾乎分布在語言教學、語義理解及語言互譯的領域中，僅有極少部分應用于內科護理、銷售等行業。凌儀玲等人應用腳本理論研究顧客在接受服務時內心的期望，發現若該服務接觸情境符合顧客內心的腳本則會產生積極的影響，若兩者不相符則產生消極影響，服務行業者及時采取補救措施可以達到顧客的二次滿意[11]。

臺灣學者將腳本理論應用于教育教學領域的成果比較豐富。江世豪和郭重吉認為學生對于科學學習活動事件的先前經驗可以透過腳本來呈現，通過腳本取向的分析方法，可以了解學生學習活動時的心智表征，探究教師教學活動和腳本順序以此改進教學[8]。周春美和沈健華利用行動研究法對10位中職商業類科專任教師的教學互動和腳本活動進行分析，從中總結出各專家教師的核心腳本、期望腳本和正向腳本，以此來了解師生互動過程的教學認知技能，并建構學科的教學腳本，作為師范生的教育教學技能參考[12]。在各位臺灣學者的研究中均涉及一個詞“認知腳本”，它是腳本理論與認知心理學、教育學的結合。教學活動中包含的教學場景、教學行為動作及學生學習行為等因素，恰好對應認知腳本的“情境性”、“場景動作”等特點，說明將腳本理論應用于教育教學領域具有可行性。

近年來，國外開始使用腳本作為數學教育的研究工具。Zazkis等人對此做了相關研究，他認為該研究方法雖較為新穎，但卻是以蘇格拉底式的對話和數學思想發展的對話交流為基礎。例如，他將數學證明的過程以想象課堂對話的方式讓學生進行腳本編寫并給予學生相應的腳本提示，通過分析學生腳本中的內容，了解學生對證明中涉及的數學概念的理解方式和了解學生學習數學概念的困難之處。將數學問題的識別與解決過程以開放式提示的方式考察學生，能夠彌補簡單地通過書面作業或口頭問答來了解學情的不足[15]。

腳本的相關研究不僅擴充了其在認知領域的理論基礎，也證實了其理論應用的可行性。因此，本文嘗試將其與數學學科教學結合，提出“數學腳本”新概念。

2.2 數學腳本的特點及分類

學生的數學學習腳本(本文均簡稱數學腳本)就是學生個體在數學活動中，按照自身的認知水平所構建的行為序列結構，它包括情境、經驗等，作為日后和外界互動的依據。數學腳本是個體/群體的一種認知結構或心智表征，數學腳本被應用的具體表現為：在某個數學活動情境中，學生為了完成某種數學任務，以頭腦中存有的數學活動行為序列，即數學腳本作為樣本指導自己的行動，并對此時面臨的情境做出回應。例如，學生上一堂數學課的數學學習腳本應該采取諸如“提前預習——準備好用具——做好筆記——認真聽課”等一系列的行為，以此保證聽課活動的完整性和高效性。再如，面對一道解方程的題目，學生懂得采取“審題——分析——設未知數——找等量關系——列方程——解方程——檢驗結果”等一系列行為來處理題目，并根據不同的問題情境靈活應變。

2.2.1 數學腳本的特點

數學腳本具有可預測性、個體差異性、可描述性、情境性等特點。

可預測性：也可稱為行為序列可見性，即個體在特定情境下對行為序列的感知。當面臨熟悉的情境，個體頭腦就會提取出相應的腳本，并對接下來的行為做出預判。

個體差異性：從建構主義者的觀點來看，知覺是內發、主動的。在教學活動中，學生帶著自己的思維和理解不斷地建構自己的知識構架，形成自己獨特的數學腳本。因此，不同個體的數學腳本是有差異的，往往帶著個體的情緒認知。后期我們也將通過實證研究來探討學生數學腳本的個體差異性。

可描述性：雖然數學腳本具有個體差異性，但是對于某一個具體的數學活動，其大體的行為序列是可以描述且呈現的。學生可以通過觀看數學學習活動腳本的范例，對從未連接的內部學習腳本進行行為序列構建，并在后續的學習過程中不斷實踐應用，從而以應付靈活多變的情境。

情境性：數學腳本是在特定情境中生成的，并且腳本的使用過程中也會受情境的影響。任何知識的構造與辯護都有其情境依賴性[1]，數學腳本也如此。學生在數學學習活動過程中，發現已有的數學腳本無法解決此情境下的問題時，就會對腳本進行重新配置。只有當學生能夠充分體察所接觸的情境，構建生成自己的數學腳本并積極改造腳本以適應新的情境時，數學腳本才能發揮價值。

2.2.2 數學腳本的分類

依據不同分類標準，我們對數學腳本做如下兩種分類。

按照數學腳本的層次不同，將其分為：一般性腳本和特殊性腳本。一般性腳本是指每個年級的學生都會涉及的腳本，例如上數學課、合作學習、考試、解決問題、遇到難題等的腳本。特殊性腳本也即數學解題腳本，是指不同年級由于知識學習的范圍不同，掌握的數學腳本不同，例如分解因式、畫函數圖像、解應用題等的腳本。

按照數學腳本的來源不同，將其分為：數學內部學習腳本和數學外部學習腳本。數學內部學習腳本是指學生通過平常的學習互動過程構建并存儲在大腦中的行為序列結構，幫助學習者在動態的學習環境中規范化地行動(例如上數學課)，或是在靈活多變的解題環境中以有意義的方式理解題意和選擇策略(例如各種解題腳本)。數學外部學習腳本是指學習者以外的人按照某種準則制定的行為序列文本，例如教師提供給學生的學習文本資料、教師教給學生的某種解題策略。它會比個體自身的數學內部學習腳本更全面，個體常常會基于自身的理解和需求，選擇數學外部學習腳本中某部分行為序列建構形成自我的內部學習序列。

內部學習腳本是靈活的，在學習者的學習活動過程中，它并不是固定不變的，個體能夠根據外部環境的變化及時地調整適應。例如在數學考試中遇到難題時，有的學生會先跳過，把會的題目做完再來解決難題；有的學生就會一直糾結于此，而浪費不少時間；有的則會直接放棄。如果數學內部學習腳本不夠詳細就會導致在數學學習的過程中某些行為序列缺失，導致學習不順暢。內部學習腳本還具有層次性。數學內部學習腳本是學生通過平常的學習互動過程構建并存儲在大腦中的自適應的行為序列結構，如前個體差異性所述，不同的個體形成的內部學習腳本不同，因此，數學內部學習腳本就有優劣之分。高層次的數學內部學習腳本呈現出高效率、高質量的學習狀態。例如在數學解題中，擁有高層次的數學內部學習腳本的個體在解題速度、解題步驟的簡潔性上會優于低層次的個體。

數學外部學習腳本能夠協助學生應對多變學習環境，具有普適性。當學生的內部學習腳本不足以支持完成數學學習活動時，就需要教師的外部學習腳本來幫助。教師在課堂上不斷地滲透數學外部學習腳本，以強化學生對數學腳本的認知。數學外部學習腳本需要學生對其充分理解加之不斷應用，才有可能內化為學生的數學內部腳本。而數學外部學習腳本也只有通過學生不斷地體驗和應用，最后轉化為內部腳本，才會起到其應有的作用。

3 數學腳本與其他理論

提及數學腳本，就避免不了考慮數學腳本和數學圖式、數學技能、數學方法之間的關系。雖然數學腳本與它們三者聯系密切，但存在本質區別。

3.1 數學腳本與數學圖式

數學腳本和數學圖式一樣都是存在于個體頭腦中的心理表征結構體，個體擁有的數量越多、質量越高則解決問題的能力就越強。兩者都具有靈活性、預測性，只要某一部分被激活就能自動通達并執行相應的程序。它們的區別在于數學圖式是知識集，而數學腳本是面對問題時的行為序列集。數學圖式以組塊、單元的形式出現，而腳本是以鏈狀的形式出現。圖式能夠向四方擴散，如在一個原有的圖式中加入新的圖式，它可以以嵌套的方式從某一部分進入，只要求新進入的圖式中的某一部分與原有圖式有關即可，不必同腳本一樣新舊間的嵌套需要有嚴格的前后連接順序(見圖1)。換句話說，腳本更強調順序的前后銜接。

圖1 圖式和腳本的拓展

圖式表征的是知識的單元和“組塊”，可以表征不同抽象水平的知識，有抽象和具體之分，而腳本表征的都是具體的行為動作或圖像，有高低級之分，但沒有抽象水平之分。數學腳本更受社會互動、社會文化的影響。

3.2 數學腳本與數學技能

數學技能比較客觀，有一定的規范樣本可作為技能習得的參考，而數學腳本的主觀性更大，往往帶有群體的社會文化性。技能需要經過有目的、有計劃的訓練形成，而腳本是個體在接觸各種不同情景之時就開始主動地建構的。例如，人一出生就通過觀察他人(如父母、朋友等)的社會互動行為構建相應的腳本，個體從踏進教室門的那一刻起就不斷地在構建數學腳本。數學腳本呈現行為活動方式，而數學技能不僅包括行為活動方式還包括心智活動方式，所以在呈現方式上數學腳本比數學技能更外顯。

3.3 數學腳本與數學方法

數學方法用數學語言表達事物的狀態，數學腳本卻不一定，它可以是自然語言也可以是數學語言，對語言存儲的要求不那么嚴格。數學方法的使用范圍很廣，數學方法不僅應用在數學學科中，還可以應用在其他學科領域。而本文提出的數學腳本能否遷移還有待考究。雖然數學方法具有高度抽象性、嚴謹性、精確性，但面對無法量化的因素，如人際互動、情、愛等，數學方法也束手無策。[13]而數學腳本的靈活性、可調整性，讓個體能更好地隨機應變以適應突發狀況。例如，在數學合作學習中，每個人都會有自己的數學合作學習腳本(合作學習行為序列)，而在實際的行動過程中，我們或許會與合作者產生分歧，但是通過認知評判，個體會不斷調整合作腳本以達到促成更好協作的目的。倘若合作雙方在應該采用哪個數學方法這一問題上產生分歧，面對這樣嚴謹的事物已不適合講情義，互相謙讓，而是哪個更加嚴謹就采用哪個。

4 數學腳本的意義

教學活動是一種雙向互動的活動，教師在改進教學的過程中，需要關注學生學習的掌握和適應問題。數學腳本理論詮釋了學生對于數學學習活動的知覺和心理歷程，為教師了解學生的學習狀態、學習水平提供了新的理論和方法支持。在數學教學活動中，學生如何知覺教師的教學意圖，可以透過數學腳本來呈現。Abelson(1981)曾提出腳本是一系列期望的包裹，數學腳本不僅能反映學生的知覺，也能反映學生對教師在教學活動中的行為期待值。因此，學生的數學腳本可作為教學改進的依據。

教師幫助學生構建知識間的聯系，幫助他們形成良好的學習習慣是十分重要的，特別是對于學困生、低效的學習者來說，改善他們的學習腳本也是有效的敦促途徑。學生如果正確掌握各類數學學習腳本，在平常的數學活動中就會以此為參照，能輕松自如地應對各種情境變化下的突發情況。甚至在解題過程中，學生能夠通過數學腳本預測出題者的出題思路從而提高解題效率。

此理論的提出是為后續實證研究奠定基礎。一方面，通過檢測鑒定學生當前的數學內部學習腳本的層次水平，教師能夠及時調整教學策略，進而提供給學生合適的數學外部學習腳本；另一方面，許多問題依然存在，例如：為何在同一教學環境中面對同一情境，每個個體的數學內部活動腳本的層次性差異會如此大？教師如何在教學中進行干預？教師應提供怎樣的外部學習腳本以促進學生內部學習腳本的更正？以上都是日后研究所需要關注的問題。當然，給學生提供數學外部學習腳本的目的并不是讓其依賴外部學習活動腳本，教師也不應該提供給學生一個長期穩定的固定指導，而應該敦促學生學會根據情境變化，及時調整學習腳本以完成相應的數學學習活動。