基于Copula函數的逐月頻率法開展衢江生態流量研究

鄭 騫，柳丹霞，蘭昱佳，廖 靖

（1.浙江省衢州市農村水利管理中心，浙江衢州 324000；2.浙江省衢州市常山縣農村水利管理中心，浙江衢州 324000；3.浙江省衢州市衢江區水利水電技術中心，浙江衢州 324000）

0 引 言

近幾十年來我國社會經濟迅速發展，河道取水、水庫攔蓄、引調水工程等諸多人類水資源開發利用方式改變了河流自然水文情勢［1］，從而影響河流生態系統結構與功能的穩定性和完整性，可能會造成河流生態系統的退化［2］。河流水文情勢主要表現為河道流量的年際和年內變化［3］，科學合理地確定河道生態流量為保護河流生態系統提供重要理論依據［4］。隨著我國生態文明建設的提出，國家進一步推進生態流量保障的相關工作，河流生態需水研究已成為當前水文界以及水利部門的關鍵課題［5］。

目前，國內外河流生態需水的分析方法主要有水文學法、水力學法、棲息地模擬法和整體分析法等［6］。其中，水文學法以其最簡單、快速和經濟的特點，在國際上的應用最為廣泛，它依據歷史水文數據即可確定生態需水。水文學法中國內外常用的幾種方法包括Tennant 法［7］（或稱Montana 法）、7Q10 法［8］、歷史流量曲 線 法［9］（Flow-Duration Curve，FDC）、可變動范圍（Range of Variability Approach，RVA）法［10］、最小月平均流量法［11］、逐月最小生態徑流法［12］以及逐月頻率法［13］等。逐月頻率法根據具體河流的水文特征以及生態需求目標選取合理的保證率計算年內各月的生態流量［14］。李捷等［13］將年內各月徑流系列的保證率均取50%，計算了伊河的生態流量；婁利華［4］選用的保證率為枯水期取90%，平水期取70%，豐水期取50%，計算了渾河的生態流量。然而，逐月頻率法計算河流生態流量時未考慮年均流量與月均流量保證率的差異性，例如枯水年內的月份并不一定都是枯水月份，生態流量計算結果可能偏小，難以保障河流的生態安全。因此，有必要對逐月頻率法加以改進，考慮年均流量與月均流量保證率的差異性，使得生態流量的計算結果更加合理。Copula 函數是構造多變量聯合分布的一種有效工具，在水文水資源領域應用廣泛［15］。利用Copula 函數改進逐月頻率法，構建年均流量與月均流量的之間的聯合概率分布，既可保留兩變量之間的相關性，又可考慮年均流量與月均流量保證率的差異性。

本文基于Copula 函數改進逐月頻率法，考慮生態環境的基本保護目標，構建月均流量與年均流量的之間的聯合概率分布，建立枯水年型月均流量的條件概率與聯合概率的相關關系，針對基本生態流量，將枯水年90%條件概率設為月平均流量的條件概率目標，利用聯合概率求解月均流量的保證率，進而推求各月平均流量設計值，并將上述方法應用于衢江生態流量研究，一方面可為衢江水資源開發利用及河流生態環境保護提供依據，另一方面提高生態流量分析成果的合理性，為生態流量計算提供一種有效方法，對其他流域具有一定的借鑒意義。

1 研究區概況與數據

1.1 研究區概況

錢塘江作為浙江省八大水系之一，是浙江省第一大河，流域面積55 558 km2，干流長688 km［16］。錢塘江流域水系及衢州水文站位置如圖1所示。

錢塘江水系南源為衢江上游馬金溪，至常山港再至衢江，下游經蘭江、富春江、錢塘江，最終匯入杭州灣。衢江干流全長82 km，河道平均比降3.1‰。衢江位于錢塘江流域上游，是典型的山溪性河流。衢江徑流年內、年際變化較大，4-6月多雨，約占年降水量的50%，汛期時水量陡漲陡落明顯，劇烈波動［17］。

1.2 水文數據

選取衢江干流衢州水文站（118.87°E，28.98°N）作為研究衢江生態流量的控制站，衢州站斷面以上集水面積約為5 424 km2。收集整理了衢江衢州水文站1956-1990年共35年近自然狀態下的逐日平均流量資料，統計年內各月平均流量和年平均流量用于基本生態流量計算。

2 研究方法

2.1 逐月頻率法

逐月頻率法是根據河流水文情勢，結合生態環境需求目標，選取合理的保證率推求年內各月生態流量的計算方法［14］。采用逐月頻率法分析衢江基本生態流量過程的具體思路為：基于長系列月平均流量資料，利用皮爾遜Ⅲ型（P-Ⅲ）分布構建各個月份的水文頻率曲線；將90%保證率相應的月平均流量作為對應月份的基本生態流量，組成年內不同時段值。

2.2 基于Copula函數的改進逐月頻率法

2.2.1 Copula函數理論與基本方法

Copula 函數是定義在［0，1］內均勻分布的多維聯合分布函數，可將多個隨機變量的邊緣分布相連接得到它們的聯合分布。根據Sklar 定理［18］，令H 為一個n 維分布函數，其邊緣分布為F1，F2，…，Fn，則存在一個n-Copula 函數C，使得?x∈Rn，滿足：H(x1，x2，…，xn)= Cθ[F1(x1)，F2(x2)，…，Fn(xn)]。

Copula 函數主要有橢圓型、二次型、Archimedean 型這3 種類型。Archimedean Copula 函數結構簡單，求解簡便，被廣泛應用于水文多變量聯合分析。Gumbel、Clayton、Frank 等函數是常用的二元Archimedean Copula 函數，其中Clayton Copula 函數簡單有效的特點突出，且對變量分布下尾部的變化十分敏感，能夠準確反映枯水的尾部結構及下尾部相關的變化。因此，本文應用Archimedean Copula 函數族中的Clayton Copula 函數，構建月均流量與年均流量之間的聯合分布函數。采用Kendall 秩相關系數τ 來估計Copula 函數的參數θ。Clayton Copula 函數、θ 與τ的關系式為：

利用均方根誤差（RMSE）、相關系數（R）和納什效率系數（NSE）對邊緣分布和聯合分布進行擬合優度檢驗［19］，RMSE 越小、R越大、NSE越大表示擬合精度越高。

2.2.2月平均流量與年平均流量的聯合分布建立

確定月平均流量Xm（m 為月序列順序，m∈N*且m≤12）和年平均流量X0的邊緣分布函數FXm(xm)和FX0(x0)。本文Xm和X0的邊緣分布函數均采用皮爾遜Ⅲ型（P-Ⅲ）分布?；谶吘壏植己瘮?，采用Copula 函數，分別構造月平均流量和年平均流量的二維聯合分布函數FXm，X0(xm，x0)：

式中：CXm，X0[FXm(xm)，FX0(x0)]為月平均流量與年平均流量的Copula函數。

2.2.3月平均流量的條件概率與聯合概率的相關關系建立

根據條件概率的定義，建立枯水年型月平均流量的條件概率與聯合概率的相關關系。對于枯水年，可取P（X0≥x0，90%）＝0.9。建立月平均流量的條件概率與聯合概率的相關關系：

2.2.4月基本生態流量設計值計算

對于基本生態流量，將枯水年90%條件概率設為月平均流量的條件概率目標，推求其相應的指標值作為基本生態流量設計值，即P(Xm≥xm，枯水年設計值|X0≥x0，90%)= 0.9。根據公式（4），由枯水年月平均流量的條件概率與聯合概率的相關關系，求解P(Xm≥xm，枯水年設計值，X0≥x0，90%)；根據公式（1）、（2）和（3），由Clayton Copula聯合分布函數，求解P(Xm≥xm，枯水年設計值，X0≥x0，90%)對應的月平均流量Xm的P(Xm≥xm，枯水年設計值)；由邊緣分布函數FXm(xm)，即各月平均流量的P - Ⅲ分布函數，求解P(Xm≥xm，枯水年設計值)對應的枯水年月平均流量Xm的設計值，即為相應月份的基本生態流量。

2.3 生態流量合理性檢驗

根據《河湖生態環境需水計算規范》（SL/Z 712-2014）中推薦的河流水系生態環境需水量參考閾值（表1），分析評價基于Copula 函數改進逐月頻率法的衢江生態流量計算結果的合理性。根據流域面積，10 萬km2以上為大江大河，1 萬～10 萬km2為較大江河，1萬km2以下屬于中小河流；根據水資源條件，分為北方河流和南方河流；根據水資源開發利用程度，分為高、中、低開發利用河流。經濟社會用水消耗本地地表水資源量不大于20%的為低開發利用河流，大于20%且不大于40%的為中開發利用河流，大于40%為高開發利用河流［20］。

表1 不同類型河流水系基本生態環境需水量參考閾值 %Tab.1 Reference threshold of basic eco-environmental water requirement of different river systems

3 衢江生態流量分析

3.1 聯合分布函數分析

衢江月平均流量Xm和年平均流量X0之間的Kendall秩相關系數τ 如表2 所示，各月份月平均流量和年平均流量之間均呈現正相關性。Xm和X0邊緣分布擬合優度指標的平均值為RMSE=0.05±0.01、R=0.99±0.01、NSE=0.97±0.02，表明P-Ⅲ型曲線能較好擬合各變量的邊緣分布，可進行下一步聯合分布分析（表3）。

表2 Xm和X0之間的Kendall秩相關系數τ和Copula函數參數θ計算成果Tab.2 Kendall rank correlation coefficient τ between Xm and X0 and calculation results of Copula function parameter θ

表3 邊緣分布函數和Copula聯合分布函數擬合優度檢驗Tab.3 Goodness of fit test of edge distribution function and Copula joint distribution function

建立Xm和X0之間的Clayton Copula 聯合概率分布，所有聯合分布的不同擬合優度指標（RMSE、R、NSE）的計算結果較為理想，其平均值為RMSE=0.05±0.01、R=0.99±0.00、NSE=0.96±0.02，說明Clayton Copula 函數擬合月均流量與年均流量二維聯合分布的結果合理（圖2）。

圖2 月平均流量與年平均流量聯合分布Fig.2 Joint distribution between the monthly mean flow and the annual mean flow

3.2 衢江基本生態流量

將枯水年90%條件概率設為月平均流量的條件概率目標，結合公式（4），基于Copula 函數求解基本生態流量的保證率，結果如表4 所示。各個月份的月均流量保證率有所不同，同時區別于年均流量的保證率。相比傳統的逐月頻率法，本文提出的基于Copula 函數改進逐月頻率法，在計算月均流量保證率時構建了年均流量與月均流量的之間的聯合概率分布，在結合年均流量序列與月均流量序列之間的內在相關性的基礎上，同時考慮了兩者保證率的差異性。

表4 衢江基本生態流量的月均流量保證率Tab.4 Monthly mean flow frequency of the basic ecological flow of Qujiang River

基于月均保證率設計值，利用邊緣分布函數FXm(xm)推求基本生態流量。逐月頻率法和基于Copula 函數的改進逐月頻率法所計算的衢江基本生態流量結果如圖3所示。衢江生態流量年內分配不均，5月和6月所需基本生態流量較大，改進逐月頻率法能夠較為全面合理地反映徑流過程的年內變化規律，計算結果較符合河流實際。改進逐月頻率法所計算的基本生態流量過程線整體位于逐月頻率法所計算的基本生態流量過程線之上，說明改進逐月頻率法所計算的基本生態流量高于逐月頻率法，在一定程度上更有利于保障河流生態安全。

圖3 衢江基本生態流量過程Fig.3 Basic ecological flow process of Qujiang River

3.3 衢江生態流量合理性分析

錢塘江位于浙江省，流域面積為55 558 km2。根據地理位置和流域面積，錢塘江屬于南方較大江河。衢州市平均水資源利用率為19.5%［21］。根據《錢塘江流域綜合規劃》中的相關規劃，流域內水資源開發利用率不超過35%［22］?？紤]當前水資源開發利用情況和未來社會經濟發展的用水需求，錢塘江為中開發利用河流。衢江1956-1990年多年平均徑流量為58.1 億m3?；贑opula 函數的改進逐月頻率法計算衢江生態流量結果換算成生態環境需水量可知，衢江基本生態環境需水量21.2 億m3，占多年平均徑流量的36%。根據《河湖生態環境需水計算規范》（SL/Z 712-2014），衢江基本生態環境需水量達到了規范的閾值要求，衢江生態流量計算結果具有合理性。因此，基于Copula 函數的改進逐月頻率法應用于河流生態需水計算具有可行性，為河流生態需水計算提供了一種有效方法。

4 結 論

基于Copula 函數改進了計算生態流量的逐月頻率法，在衢江進行了應用研究，分析了衢江基本生態流量并檢驗了成果合理性。主要研究結論如下：

（1）Clayton Copula 函數能較好擬合衢江月均流量和年均流量之間的聯合分布，擬合優度指標RMSE、R、NSE 均達到較為理想的結果。

（2）基于Copula函數的改進逐月頻率法計算得出衢江1-12月基本生態流量依次為14.3、35.1、107.6、163.4、201.3、185.7、32.4、16.8、17.9、12.9、11.5、9.1 m3/s，通過了成果合理性檢驗，在保障河流的生態安全性角度上計算結果相比逐月頻率法偏安全。

（3）基于Copula 函數的改進逐月頻率法考慮了河流年均流量與月均流量保證率的差異性，提升了生態流量評估結果的合理性，是生態流量計算的一種有效方法。