基于相對增益矩陣的慣量響應空間耦合特征分析

朱林，田政鱗，王正宇，武志剛，龍霏，易楊

(1.華南理工大學電力學院，廣州市 510641；2.廣東電網有限責任公司電力調度控制中心，廣州市 510600)

0 引 言

隨著“雙碳”目標的提出和落實，中國能源系統將持續加快清潔低碳轉型發展，預計到2060年風電和光伏發電量占比將超過60%[1]。與此同時，為實現新能源的跨區域傳輸和消納，多條大容量高壓直流輸電工程正陸續投入使用[2]。一方面，基于電力電子變流器的新能源和直流輸電與系統頻率進行解耦，遭受擾動時不能響應電網的頻率變化；另一方面，新能源的出力波動和直流輸電的閉鎖故障容易引發大額功率沖擊。特別是隨著起慣性支撐作用的同步機組逐步被替代，傳統電網將轉變為高比例非同步電源的低慣量電力系統，頻率調控面臨著巨大壓力。

慣量響應是系統遭受擾動后頻率動態響應重要的初始階段，低慣量系統在慣量響應階段的頻率變化率(rate of change of frequency，RoCoF)通常較高，導致頻率在一次調頻動作前下降速度過快，容易觸發低頻減載裝置動作[3-5]。因此，國內外學者提出通過配置快速頻率響應(fast frequency response，FFR)資源來改善在慣量響應階段的系統頻率特性[6-7]。

然而，當前針對慣量響應的研究多采用單機系統頻率響應(system frequency response，SFR)模型[8-9]，由于忽略了網絡拓撲結構并假設全網頻率統一，未能體現出慣量響應的空間分布，在分析空間因素對系統慣量響應的影響時具有較大的局限性[10]。對此，國內外學者對頻率動態響應的空間特征進行了廣泛討論。文獻[11]通過RoCoF等指標構造了頻率動態響應的時空分布特征描述矩陣，但尚未對空間分布特征與系統機電動態行為的耦合特征進行全面論證；文獻[12-13]進一步探討了網絡拓撲結構、功率擾動位置和風電滲透率引起的慣量分布變化對局部慣量中心RoCoF的影響，但缺乏對空間影響因素的分析評價指標。目前，頻率動態響應的空間特征還處于定性分析階段，迫切需要在頻率動態響應空間特征的定量化評估方面深入研究。以往，相對增益矩陣(relative gain array，RGA)常被用于量化分析不同FACTS裝置控制器之間或控制器不同控制回路之間的交互影響[14-17]。近年來，亦有學者將相對增益矩陣應用于控制系統以外的電力系統空間耦合性分析中，如文獻[18-20]基于系統無功功率與母線電壓的傳遞函數，通過計算相對增益矩陣獲得母線電壓之間的耦合關系，在劃分電壓控制區域上取得了不錯的效果，這也為分析電力系統慣量響應的空間耦合特性提供了借鑒。

有鑒于此，文章推導多機系統慣量響應模型，引入相對增益矩陣的理論方法，采用相對增益作為量化指標表征慣量響應與不同位置有功擾動之間的耦合程度，分析慣量響應的空間耦合特征。最后，以IEEE 39節點測試系統為例，驗證所提方法的正確性和有效性。

1 考慮空間特征的慣量響應建模

1.1 慣量響應的空間差異性

目前，電力系統慣量響應主要采用時域仿真或基于SFR模型進行分析。時域仿真法通過求解系統的微分代數方程組模型，計算擾動后各狀態量的數值解，具有較高的精度。BPA、PSS/E等電力系統專業仿真軟件均能提供全狀態時域仿真功能。

SFR模型忽略網絡拓撲結構的影響，在全網頻率一致的基礎上將系統等值聚合為一個單機帶負荷模型，其結構如圖1所示。

圖1 SFR模型框圖

其中，Pesys為等值電磁功率；Pmsys為等值機械功率；H∑為等值轉子慣性時間常數；D∑為等值阻尼系數；ωsys為等值轉子轉速。由于對系統進行了等值化簡，SFR模型分析功率事故下電網慣量響應情況時具有較高的計算效率，在低頻減載整定方面應用廣泛。

然而，隨著電網規模的擴大和機組的大容量集中接入，慣量響應不僅受擾動大小的影響，還與擾動的位置有關，并體現在頻率變化率和頻率最低點等指標的空間差異性中[21-22]。頻率變化率是慣量響應的重要指標，一方面表征頻率變化的速率，另一方面也解釋了系統頻率變化與系統發生的事故大小和系統的慣性大小的關系。RoCoF的計算一般為選擇故障發生后的100～500 ms內[23]，其計算公式如下：

(1)

式中：f為系統頻率；w為系統角速度。

以IEEE 39節點系統為例(詳見第4節)，在相同大小功率擾動下，分別采用SFR模型和時域仿真法計算慣量響應的頻率變化率，結果如圖2所示。對比可見，SFR模型不能考慮空間因素影響，而實際電網的頻率變化率隨擾動位置的不同而變化，存在明顯的空間差異性。尤其在低慣量區域，實際的頻率變化率與SFR模型計算結果相差較大，如果保護裝置仍按照SFR模型進行整定設計，可能會造成保護的誤動和拒動[24]。雖然時域仿真法可以詳細計算慣量響應頻率狀態量的數值解，可體現空間分布特征，但耗時費力，對模型精度、系統規模有一定限制。

圖2 慣量響應空間差異性

1.2 基于直流潮流的慣量響應建模

為快速且準確地評估功率事故后電力系統的慣量響應，文中忽略了無功-電壓的耦合影響，并基于以下假設對電力系統慣量響應進行建模分析[25-27]：

1)系統不存在功角和電壓不穩定問題，進而將模型線性化。

2)高壓輸電網電抗遠大于電阻，系統有功潮流主要由電壓相角決定，忽略電壓幅值變化及發電機調壓器的影響。

3)系統慣量響應發生于擾動初始時刻，此時發電機調速器尚未作用，忽略發電機調速器，采用經典發電機模型。

基于上述假設，為保留網絡拓撲結構并簡化計算，采用直流潮流模型描述系統網絡方程，經線性化后可有：

(2)

式中：ΔPG、ΔPD分別為發電機、負荷節點注入功率變化量列向量；BGG、BGD、BDG和BDD分別為以支路導納建立的節點導納矩陣的子陣；δ、θ分別為發電機、負荷節點電壓相角變化量列向量。

同時，為與直流潮流網絡模型保持一致，進一步忽略發電機定子電阻并假定發電機內電勢和機端電壓維持1 pu恒定，線性化的發電機轉子運動方程為：

(3)

式中：Δδi為發電機轉子角變化量；Δωi為發電機轉子轉速變化量；ω0為轉子轉速額定值；ΔPmi為原動機機械功率變化量；ΔPGi為發電機電磁功率變化量；Di為發電機阻尼系數；Mi為發電機慣性時間常數。

綜合式(2)與式(3)，可以得到多機系統頻率動態過程的狀態矢量方程：

(4)

式中：J=BGG-BGDBDD-1BDG；L=-BGDBDD-1；EN為N階單位矩陣；M為發電機慣性時間常數的對角矩陣。

發生負荷突變或聯絡線有功功率突變等負荷功率擾動時，功率不平衡量按照同步功率系數矩陣L分配給各發電機組，各發電機組按照分配的功率與自身慣量進行慣量響應。由于擾動初始時刻發電機的功角和轉速不發生突變，有Δδ=0，Δω=0，慣量響應初期階段系統內各機組頻率變化率的數學表達式為：

(5)

與SFR模型相比，基于直流潮流的電力系統慣量響應模型保留了電網拓撲結構，可以分析功率擾動位置、網絡拓撲結構和機組慣量大小等空間因素的影響，可以體現慣量響應的空間差異性。同時，由于忽略了無功-電壓動態的耦合影響，重點關注慣量響應的頻率變化和與頻率變化關系密切的有功功率變化，相比時域仿真可以大幅減少用時，提升分析效率。

2 基于RGA的慣量響應分析方法

根據上述分析，多機系統慣量響應的數學模型本質為多輸入多輸出的系統，受網絡拓撲結構的影響，電力系統慣量響應模型輸入的功率擾動向量與輸出的慣量響應頻率變化率之間存在復雜的相互作用。

為研究多輸入多輸出(multi-input and multi-output，MIMO)系統控制回路之間耦合程度，BRISTOL于1965年提出相對增益矩陣的理論[28]。如圖3所示的m輸入n輸出系統中，輸入uj與輸出yi間的相對增益λij可定義為開環增益與閉環增益的比值：

圖3 多輸入多輸出系統框圖

(6)

式中：分子為其他控制回路開路，只改變輸入量uj時，uj到yi通道的靜態開環增益；分母為其他輸出量yi(k≠i)均不變時，uj到yi通道的靜態閉環增益。

MIMO系統的相對增益矩陣通常通過式(7)所示的矩陣運算方法計算得到：

Λ=G(0)?(G(0)-1)T

(7)

式中：G(0)為系統傳遞函數的靜態增益矩陣；上標T為矩陣的轉置；運算符?為矩陣的Hadamard乘積。

當n=m時，系統為方形系統，且相對增益矩陣為方陣，G(0)-1為G(0)的逆矩陣；當n≠m時，系統為非方系統，相對增益矩陣為非方矩陣，G(0)-1為G(0)的廣義逆矩陣。

在分析多個控制回路之間的相互作用時，相對增益矩陣Λ具有以下主要特性[29]：

1)RGA任意行的元素之和等于1，即

(8)

2)RGA任意列的元素之和介于0到1之間，即

(9)

3)RGA中相對增益λij的大小反映了輸入uj與輸出yi之間的耦合程度，相對增益λij越接近1，則該通道耦合程度越大。

與分析控制系統中多個控制回路之間的相互作用類似，使用相對增益矩陣來量化評估慣量響應的空間耦合特征。根據非方系統相對增益矩陣的定義，以式(5)中的[M-1M-1L]作為傳遞函數的靜態增益矩陣，計算m機n節點系統慣量響應頻率變化率與有功功率擾動之間的相對增益矩陣，如下所示：

Λm×(m+n)=[M-1M-1L]?[[M-1M-1L]-1]T

(10)

為便于分析不同對象之間的耦合特性，將相對增益矩陣Λm×(m+n)進行分塊，如圖4所示。

圖4 相對增益矩陣

其中，Rm×m描述了發電機與原動機輸出功率擾動之間的耦合關系，Rm×1描述了某一節點功率擾動與各發電機的耦合關系，R1×n描述了某一發電機與各節點功率擾動的耦合關系。

3 慣量響應空間耦合特征分析

3.1 原動機空間耦合特征

遭受原動機功率擾動后的慣量響應階段，系統電磁功率分布不發生突變，原動機功率擾動帶來的功率不平衡量僅作用于該發電機組，并引起其自身發生慣量響應，其他發電機組不發生慣量響應。

相應的，此時原動機功率擾動與發電機慣量響應之間的相對增益矩陣為對角矩陣，如式(11)所示。根據相對增益矩陣理論，對角元素表示該原動機功率擾動僅與該發電機自身存在強耦合關系，對角線外的零元素表明該原動機功率擾動與其他機組的慣量響應無耦合關系。

Rm×m=diag(λ11,λ22,…,λmm)

(11)

3.2 發電機空間耦合特征

對于發電機組而言，相對增益矩陣行向量元素的大小可以表征該發電機與各負荷節點之間的耦合程度，如式(12)所示。遭受相同大小的功率擾動時，擾動發生節點對應的相對增益越大，發電機組慣量響應頻率變化率的幅值越大，體現了該發電機組慣量響應的空間耦合特征。

(12)

低慣量發電機組抵御功率擾動引起頻率變化的能力較弱，是系統頻率穩定的薄弱區域。當擾動發生在與慣性薄弱區域強耦合的負荷節點時，低慣量發電機組容易產生較大的頻率跌落速度，導致一次調頻響應前頻率跌落幅值較大。

因此，可以借助相對增益矩陣識別低慣量發電機組的強耦合區域，通過在該區域配置FFR資源，通過快速的有功功率注入以減緩擾動后頻率的跌落速度，避免慣性薄弱區域出現較大的頻率跌落幅值而引發低頻率減載動作。與SFR模型相比，借助相對增益矩陣考慮空間耦合特征，可以提高FFR資源的運行效率，進而降低投資成本。

3.3 負荷節點空間耦合特征

對于負荷節點而言，相對增益矩陣列向量元素的大小可以表征該負荷節點與各發電機之間的耦合程度。由于相對增益矩陣的行向量之和均為1，在縱向比較列向量表示的負荷擾動的耦合情況時，需要對相對增益按照慣量大小進行修正，如下所示：

R′m×1=M-1×[λi,1…λi,m]，i∈[m+1,m+n]

(13)

修正后矩陣列向量中元素和越小表明該節點與發電機組的耦合程度越小，即遭受相同大小的功率擾動時，電力系統慣量響應的整體頻率變化率越小，系統對該節點的慣量支撐能力越強，體現了負荷節點的慣量響應空間耦合特征。

風電、光伏等新能源出力具有較強的隨機性、波動性和間歇性，是電網常見的功率擾動源，給電網頻率穩定帶來挑戰。借助相對增益矩陣可以識別出系統慣量支撐能力較強的節點，選擇將其作為新能源的接入位置，有助于減少功率擾動對系統頻率穩定的影響，降低系統一次調頻壓力，提高系統對新能源的消納水平。

4 仿真驗證

4.1 仿真系統介紹

以IEEE 39節點系統為例，驗證所提基于相對增益矩陣的慣量響應空間耦合特征分析方法的正確性與有效性。該系統包含10臺同步機組、34條線路和39個負荷節點，系統電壓等級為345 kV，基準容量為100 MV·A，如圖5所示，網絡和元件參數詳見文獻[29]。

圖5 IEEE 39節點系統

4.2 原動機空間耦合特征仿真分析

為驗證發電機慣量響應與原動機功率擾動之間的耦合關系，以6號發電機組為例，在時域仿真中使其原動機機械功率突減至潮流穩態值的90%，計算各發電機組慣量響應初始階段的RoCoF，并與相對增益矩陣子矩陣Rm×m元素進行對比，結果如圖6所示。

圖6 原動機空間耦合特性

對比可見，除6號發電機組外，其余發電機的RoCoF和子矩陣Rm×m元素幾乎為0。仿真結果表明，在慣量響應初始階段，僅施加了原動機功率擾動的發電機自身頻率發生變化，其余發電機組頻率無明顯變化，原動機功率擾動下的慣量響應相互獨立，體現出該原動機慣量響應的空間耦合特征。

4.3 發電機空間耦合特征仿真分析

為驗證發電機慣量響應與不同負荷功率擾動之間的耦合關系，以1號發電機為例，在時域仿真中分別對各負荷節點施加50 MW的有功功率突增量，計算擾動后1號發電機組慣量響應階段的RoCoF，并與RGA子矩陣R1×n元素進行對比，結果如圖7所示。

圖7 發電機空間耦合特性

仿真結果表明，發電機慣量響應的頻率變化率隨著負荷擾動發生位置的變化而不同。RGA子矩陣R1×n元素越大，表征發電機與相應負荷節點的耦合程度越大，發電機慣量響應的RoCoF也就越大，體現出該發電機組慣量響應的空間耦合特征。

4.4 負荷節點空間耦合特征仿真分析

為驗證負荷功率擾動與不同發電機慣量響應之間的耦合關系，根據式(13)計算的修正后RGA子矩陣R′m×1列元素之和，如圖8(a)所示。其中，1、13、22、31、39等節點的RGA子矩陣R′m×1列元素較小，可認為是系統慣量支撐較強的節點。同時，在時域仿真中分別對不同負荷節點施加50 MW的有功功率突增量，計算擾動后各發電機組慣量響應的RoCoF，結果如圖8(b)所示。

圖8 負荷節點的空間耦合特性

對比可見，在發生相同大小的負荷功率擾動下，當擾動位置為通過相對增益矩陣識別的慣量支撐較強的節點時，系統的RoCoF整體更小，此時系統具有更好的頻率穩定性。仿真結果表明，RGA子矩陣R′m×1體現了負荷節點對慣量響應的空間耦合特征，可用于識別系統慣量支撐較強的負荷節點，有助于指導新能源的接入位置選擇。

5 結 論

針對電力系統慣量響應的空間特征進行研究，提出了一種基于相對增益矩陣的慣量響應空間耦合特征分析方法，采用慣量響應頻率變化率與功率擾動之間的相對增益作為評價兩者之間耦合程度的量化指標，直觀展現了慣量響應在空間位置上的耦合特征，并在IEEE 39節點系統中驗證了所提方法的正確性和有效性。

借助相對增益可以將空間因素納入到低慣量系統頻率穩定調控中，指導新能源接入位置選擇和FFR資源優化配置與整定，對于提高低慣量系統的頻率穩定性具有重要意義。除慣量響應階段外，相對增益矩陣在更長時間尺度上的頻率動態響應過程分析中得到廣泛應用，還需進行進一步深入研究。