雙剪及古典強度理論應用于火炮身管的強度及振動研究

葛書強，劉明敏，謝鋒

(中國船舶集團有限公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015)

現代火炮發展方向為高初速、高射頻、高射擊精度和高機動性，用戶對火炮射擊時的穩定性、安全性以及對高低、方位的快速響應提出了更高的要求[1]?；鹋诎l射時，火藥氣體壓力急劇增大，在炮膛內產生極其復雜的物理化學反應，具有時間短、壓力大、溫度高的特點，同時彈丸在膛內高速運動，對于線膛炮，彈丸還繞身管軸線高速旋轉，再加上轉管炮身管組高速旋轉，炮尾炮閂的撞擊，火炮不可避免的面臨著剛強度和振動問題的挑戰，身管炮膛部位強度不足會引起膛炸事故，身管剛度不足、振動過大會引起炮口不穩，導致立靶密集度散布較大，對高精度射擊不利。身管過重還會使得火炮快速反應能力下降，需要的動力源功率增大，總體尺寸和質量加大，進而擠壓火炮載具(如裝甲車、艦船等)其他設備的空間和質量，造成總體布局失調，影響裝備的總體性能。因此需要設計出有合理強度和振動特性的身管[2-3]。

以往提高火炮發射穩定性優先考慮火炮的靜態特性，通常采用加厚身管壁、加重火炮底座(如托架、上架、旋回架等)以及提高緩沖器的阻尼系數來加強靜力學下的剛強度，過厚的身管壁以及過重的火炮底座會造成材料浪費、制造成本變高，不利于火炮的輕量化設計?；鹋谠O計在考慮靜態特性時，也要考慮其總體動態特性[4]。需要合適的理論來支撐身管的設計，滿足火炮使命任務的需要，通過對比分析不同強度理論設計的身管，尋找合適的強度理論及匹配的安全系數，然后分析身管的動態特性，確保身管在射擊過程中不會發生共振現象。

我國及俄羅斯的身管設計均習慣沿用最大線應變理論作為設計依據，同時兼顧身管質量特性，通過設置相應的安全系數，設計出符合工程實際的身管。但是材料力學相關理論及相關研究均表明，最大線應變理論適用于脆性材料的破壞。我國火炮上的單筒身管，大多以炮鋼作為首選制造材料，通過在炮鋼中添加Mo、V等元素，使得炮鋼不但具有較高的強度，而且有良好的塑性和韌性，其實際上具有典型的塑性材料特征。此時最大線應變理論是否仍然適用于指導身管設計，筆者對此問題存疑。

國內外對于金屬身管強度的研究多基于材料力學古典強度理論，如杜中華[5]基于第二強度理論對單筒、筒緊、襯管和自緊4種類型身管的應力分布和強度機理進行了比較；杜中華等[6]又基于第三和第四強度理論研究了適合我國使用的單筒身管設計方法及匹配的安全系數，并進行了數值仿真驗證。張芳添等[7]根據筒緊身管的相關理論設計了用于某火炮的筒緊身管外形尺寸并按第三強度理論進行了校核。

筆者將依據厚壁圓筒理論，把雙剪強度理論引入身管設計中，并分別根據最大線應變理論、Tresca強度理論、Mises強度理論以及雙剪強度理論對火炮身管進行強度分析和安全系數計算，將不同強度理論結果進行對比，選擇合適的強度理論用于指導身管結構設計，對設計的身管進行振動響應分析并給出相應的結論。

1 火炮身管強度理論和振動理論

1.1 三大系列強度理論

基于大量的理論研究和實驗驗證，目前已提出了上百個強度模型或準則，按照剪應力可以將強度理論劃分為單剪強度理論(SSS理論，Single-Shear Strength Theory)、雙剪強度理論(TSS理論，Twin-Shear Strength Theory)和八面體剪應力強度理論(OSS理論，Octahedral-Shear Strength Theory)三大系列強度理論[8]。其中，Tresca強度準則是SSS理論的單參數準則，Mises強度準則是OSS理論的單參數準則，雙剪強度準則是TSS理論的單參數準則[9]。3種強度理論極限面的關系如圖1(a)所示。作為3大系列強度理論的單參數準則，在π平面上，Tresca(內接、外切)六邊形、Mises圓和外切最大偏應力屈服條件的關系如圖1(b)所示。

大量實驗數據表明靜水壓力對火炮自動機用炮鋼的影響可以忽略不計[10]，由此，法國H. Tresca和德國R. Von Mises先后提出了相應強度準則的一般表達式，推導過程及公式詳見參考文獻[11]。Tresca強度準則一般應力表達式是非正則的，由六個線性函數構成，幾何上為不光滑曲面，數學處理不方便。Mises強度準則用圓柱面代替Tresca正六邊棱柱面，數學上更易于處理。R.Schmidt最早提出了最大偏應力屈服準則，后由俞茂宏用雙剪應力的概念對該強度準則進行了說明，稱為雙剪強度準則，其一般應力表達式詳見參考文獻[11]。

最大線應變理論在材料力學中稱為第二強度理論，雖然其考慮了3個主應力的影響，但理論計算與實驗結果卻相差較大，且按照該理論，雙向受拉比單向受拉更安全，但這與實際并不相符。Tresca強度理論在材料力學中稱為第三強度理論，其只考慮了最大主應力σ1和最小主應力σ3的作用，未考慮中間主應力σ2的作用，大量理論和實驗研究表明，中間主應力對材料屈服確實存在一定的影響，其對材料失效破壞的影響在很多應力狀態下是不能忽略的[12]。由Tresca屈服條件得到的強度條件偏保守，設計的結構質量偏大，較為笨重，經濟性偏低，不適合應用于質量要求較高的結構設計。Mises強度理論認為引起材料屈服的主要因素是畸變能，在材料力學中稱為第四強度理論，其等效應力考慮了3個主應力的綜合影響，也更符合大量實驗驗證的結果。對于塑性材料，其強度校核結果相對于Tresca屈服條件更為精確。但Mises屈服條件并不能夠對高三軸應力狀態下材料易于脆斷的現象予以解釋[13]。雙剪強度理論認為當作用于單元體上的兩個較大主剪應力之和達到某一極限值時，材料開始發生屈服，俞茂宏將其表述為

(1)

此準則與最大應力偏量準則等價，其表達式為

(2)

這里的si(i=1,2,3)為3個主應力偏量分量，且σ1、σ2和σ3不按大小排列，有

(3)

如圖1(b)所示，雙剪強度理論(或最大偏應力屈服條件)比Tresca強度理論多考慮了中間主剪應力的影響，在不同應力狀態下二者相差最大為33.33%。在某些應力狀態下雙剪應力強度理論與實驗結果吻合良好，文獻[14]展示了實驗結果和理論預測的對比，結果顯示軟鋼、鋁合金材料實驗結果與理論預測吻合良好。

1.2 身管強度理論及分析

身管設計壓力曲線是身管各截面在任何射擊條件下所承受的火藥燃氣最大壓力曲線，是身管強度設計的基本依據?；诤癖趫A筒理論得到的某身管外形示意如圖2所示。厚壁圓筒的基本假設為：形狀是理想的圓筒形；材料是均質和各向同性的；圓筒承受的壓力垂直作用于圓筒壁表面且均勻分布；圓筒受力變形后仍保持其圓筒形，任一橫截面變形后仍為平面；壓力是靜載荷，圓筒各質點均處于靜力平衡狀態。

對單筒身管，除了厚壁圓筒基本假設外，為便于對比分析又作如下假設[2]：

1)單筒身管的任一橫截面是一個內半徑為r1、外半徑為r2的厚壁圓筒。

2)身管外表面壓力為0，由于外部大氣壓遠小于火炮膛壓，一般取身管外表面壓力為0。

3)忽略身管軸向力，一般軸向力較小，對強度影響極微，取σz=0。

考慮軸向力時，身管彈性強度極限比忽略軸向力的要大，因而采用忽略軸向力的身管彈性強度極限公式設計出的身管，其實際能承受的壓力要比設計的大一些，設計的身管偏安全[2]。

筆者將分析不同強度理論下單筒身管理論彈性強度極限，求解所用應力分量基于厚壁圓筒理論。

1.2.1 采用第二強度理論求解

強度條件為身管壁最大應變εmax≤εe，求得身管彈性強度極限PⅡ為

(4)

式中：σe為材料彈性極限；ρ為身管外徑內徑之比，ρ=r2/r1。

1.2.2 采用第三強度理論求解

強度條件為σ1-σ3≤σe，求得身管彈性強度極限PⅢ為

(5)

1.2.3 采用第四強度理論求解

身管強度條件詳見參考文獻[2]，求得身管彈性強度極限PⅣ為

(6)

1.2.4 采用雙剪強度理論求解

將雙剪強度理論應用于身管設計，其強度條件為兩個不等式，根據不同應力狀態采用不同的方程，其判斷條件為

(7)

(8)

該屈服條件應用時，不僅要求知道主應力的方向，而且要求判斷σ1-σ2和σ2-σ3之間的大小。

對于受內壓的長厚壁圓筒，其彈性力學解為

(9)

式中：p為內壓；b為外半徑；a為內半徑；υ為泊松比；E為彈性模量；Fz為軸向力；ε0為截面的軸向應變；ρ為身管外徑和內徑之比。

為保證σ1-σ2≥σ2-σ3，即τ12≥τ23，需σ2≤(σ1+σ3)/2，即有

(10)

整理，得

Fz≤πa2p.

(11)

根據厚壁圓筒端部條件的不同，可分條件討論：

1)厚壁圓筒兩端自由時，Fz=0；

2)厚壁圓筒兩端封閉狀態下，Fz=πa2p。

以上兩種極端情況均滿足式(11)，故對所有端部條件，均有σθ-σz≥σz-σr成立。此時最大主偏應力屈服條件可表示為

2σθ-σz-σr=2σe.

(12)

代入各應力分量表達式，整理得

(13)

由式(13)可知，在內壁r=a處，材料首先達到彈性極限狀態，隨著內壓的不斷增大，圓筒自內壁面開始，逐漸進入彈塑性階段，塑性變形區域擴展為一個圓環形區域，若彈塑性交界面半徑記為c，則a

將身管彈性強度極限記為Psj，可有下列結果：

1)當兩端自由時，Fz=0，有

(14)

2)當兩端封閉時，Fz=πa2p，有

(15)

3)當兩端固定時，Fz=2υπa2p，有

(16)

由以上分析可知，身管彈性強度極限的結果與所用的屈服條件有關。如前文所述，為了方便對比分析，忽略了身管軸向力，由參考文獻[2,15]知，軸向力對身管強度的影響極小，忽略其影響會使得設計的身管偏于安全，因而根據雙剪強度理論求解身管強度極限時需采用第1種情況的討論結果，即式(14)所代表的兩端自由情況的結果。

1.2.5 4種強度理論的對比分析

一般說來，要提高火炮的威力，就需要提高身管彈性強度極限，由上述分析可知，對于選定的某強度理論，身管彈性強度極限的大小與身管材料和壁厚有關。4種強度理論對應的彈性強度極限隨外徑內徑比的變化如圖3所示。

可以看出，相同材料、相同外形尺寸的身管，其彈性強度極限間的關系表示為

PⅡ≥Psj≥PⅣ≥PⅢ.

(17)

參考文獻[2]指出，身管質量隨ρ的增大而急劇增加，對于單筒身管而言，ρ一般不會超過2.0，不同ρ值下的實驗值和理論計算結果如圖4所示，實驗值數據部分引自參考文獻[2]，實驗值以及強度理論計算值如表1所示。由前文敘述，表中列出的雙剪強度理論計算值根據第1種情況討論的式(14)求得。

表1 實驗值和4種強度理論計算結果比較 MPa

可以看出，各強度理論曲線分布在實驗值的兩側，第四強度理論與實驗值吻合的最好，位于實驗值的上方。其次是雙剪強度理論曲線，位于實驗值的上方，距離實驗值比第四強度理論曲線略遠。第二強度理論和第三強度理論曲線分別位于實驗值的上下兩側，均距離實驗值較遠。

對于身管武器來說，使用安全是最重要的，因此在設計時需要選取適當的安全系數。第二強度理論曲線處于身管強度曲線的上界，相同材料的身管，材料比例極限相同，此時身管相應安全系數取的最大。第三強度理論曲線處于身管強度曲線的下界，相同材料，比例極限相同，此時身管相應安全系數取的最小。第四強度理論曲線和雙剪強度理論曲線居中，身管相應安全系數也居中，隨身管強度比例確定。

假定某均質炮鋼制作的厚壁圓筒身管，其內徑為a，外徑為b，根據不同的強度理論，可以得到不同的身管外徑，第二、第三、第四強度理論和雙剪強度理論對應的身管外徑內徑比記為ρⅡ、ρⅢ、ρⅣ和ρsj，可分別由式(4)～(6)及式(14)求得，身管外徑內徑比ρ隨p/σe的變化如表2所示。

表2 4種強度理論下的內徑外徑比

當身管膛壓p較高(不小于0.45σe)時，假設身管材料比例極限取為885 MPa，則膛壓p≥398.25 MPa，第三強度理論和第四強度理論求得的外徑內徑比分別為3.162 3和2.158 6，均大于2.0，身管壁厚過厚，此時第三和第四強度理論不適合直接應用于較高膛壓火炮設計。

相同內徑、同一材料的身管，其單位長度質量可表示為

m=πa2ρpg(ρ2-1).

(18)

根據式(18)和表2進行數據處理，可得無量綱單位長度身管質量隨p/σe的變化，如圖5所示。

由圖5(b)可以看出，對于相同材料的身管，第二、雙剪、第四以及第三強度理論設計的身管質量增加量依次增大，第三強度理論設計的身管質量增加最多，第四強度理論設計的身管質量增加居中，雙剪強度理論設計的身管質量增加最少。當p/σe為0.45，第三強度理論結果相對第二強度理論計算結果增加300%，第三強度理論結果相對第二強度理論計算結果增加63%時，由雙剪切強度理論計算結果相對第二強度理論計算結果增加量只有23%，相對而言質量增加量最小。

1.3 安全系數的確定

一般在設計身管時，依據內彈道曲線、膛壓及材料比例極限等參數設計身管外形，如果采用同一套安全系數，則依據不同強度理論設計的身管具有相同的彈性強度極限，按第二強度理論、雙剪強度理論、第四強度理論、第三強度理論設計的身管質量增加量依次增大，雙剪強度理論設計的身管質量增加量最少，且與按第二強度理論設計的身管相比，結構更加安全。因此，不同的強度理論需要匹配相應的安全系數，得到不同的彈性強度極限，最終基于不同強度理論設計的身管外形應基本一致。

由經典內彈道理論得出p-l曲線，進而可求出平均壓力曲線p-L?？紤]計算最大壓力點的誤差以及裝填條件的變化會引起最大壓力點Lmax位置的變化，通常將最大壓力值向炮口方向延長(2～3)d，以保證身管工作時安全可靠，此火炮身管平均壓力曲線如圖6所示。

為了彌補各強度理論與實際的差別，在采用不同強度理論設計身管時，都要選用相應的安全系數，使設計盡可能地同實際情況接近。

一般將身管分為4個不同區域：藥室部、膛線起始部、膛線中段和炮口部，各部分在設計階段的安全系數不同。由文獻[2]知，我國在設計身管時基于第二強度理論，藥室部安全系數取為1.2，膛線部安全系數取為1.35，炮口部安全系數取為2.0～2.5，中間連接部位按線性變化，如圖7(a)所示。根據身管安全系數，可求得身管能承受的最大內壓，即身管的理論強度曲線，其結果如圖6所示。

根據前文所述各強度理論間的關系，筆者在綜合分析了23 mm航炮，30、37、57和130 mm艦炮，85 mm加農炮，100 mm坦克炮等小、中、大口徑火炮身管的外徑內徑比，通過取其外包絡，得到了與不同強度理論匹配的藥室部、膛線部以及炮口部的安全系數，中間部位按線性變化曲線連接，計算結果曲線如圖7所示。

1.4 模態分析理論概述

結構的動力學通用運動方程為

(19)

模態分析以各階主振型所對應的模態坐標來代替物理坐標，從而使微分方程解耦?；鹋谏砉艿恼駝訉儆谖⒎駝?，身管結構阻尼對固有頻率影響很小，可不考慮外載荷和外阻尼，方程簡化為

(20)

其特征方程為

(K-ω2M)φ=0，

(21)

可求出特征值和對應特征向量，即為身管的固有頻率和模態振型。

身管安裝在炮塔上，可近似看作是懸臂梁結構，主要產生橫向、縱向和徑向振動。影響火炮穩定射擊精度的主要是橫向振動，來源于撞擊、動力作用和身管彎曲。徑向和縱向振動對火炮的射擊穩定性并無太大影響。其振動的固有頻率與身管的材料、剛度以及質量分布有關，振幅與初始條件、固有頻率相關。整個橫向振動由基階振動和幾個高階振動組合而成，基階振動的頻率低、振幅大，對火炮的射擊精度影響較大，高階振動頻率高、振幅小，對身管射擊性能影響較小。根據有限元方法求解身管前若干階固有頻率和對應的振型，可以分析炮口振動形式，校核身管設計的振動特性。

2 火炮身管有限元模型

根據前述分析，設計了某火炮身管的基本外形，再根據身管與炮尾等零件的連接裝配關系、火炮對質量及重心的總體要求、后坐復進的導向要求以及加工工藝性的要求，對身管毛坯模型進行拉伸切除及旋轉切割等加工措施后得最終身管外形。忽略身管內壁膛線處局部幾何特征，將身管內壁視為光滑壁面，在此光滑內壁上加載內彈道平均壓力，基于大型通用有限元程序ANSYS Workbench進行仿真分析，有限元模型加載情況示例如圖8所示，劃分后的身管有限元模型含184 568個網格，756 737個節點。約束身管與炮尾抓鉤的接觸面、身管中部貼合面，身管內壁面載荷按照平均壓力曲線逐段加載。

身管所用材料為某型炮鋼，有限元仿真分析所用材料屬性參數如表3所示。

表3 材料屬性參數

3 有限元分析結果

3.1 有限元強度分析

提取身管有限元計算結果，用一個經過身管軸線且經過最大應力點的平面剖切身管，得到身管內壁面上經過最大應力點的4條路徑，然后將路徑上的等效應力映射到選取的路徑上并計算相應的安全系數。選取的身管內壁面處的路徑上雙剪強度理論的等效應力分布情況如圖9所示，4種強度理論沿過身管軸線剖面的有限元分析應力分布情況如圖10所示，提取4種強度理論結果的等效應力分布數據并計算安全系數，整理出的強度分析結果曲線如圖11所示。

4種強度理論對比分析結果表明，第二強度理論校核結果等效應力最小，對應的安全系數最大；第三強度理論校核結果等效應力最大，對應的安全系數最??；第四強度理論和雙剪強度理論校核結果等效應力居中，且依次減小，對應的安全系數也居中，且依次增加，與前述理論分析結果一致。

結合前述實驗結果與理論計算的對比，考慮到身管毛坯材料達不到理想均勻特性，會存在細小缺陷，再加上加工誤差的存在，導致按第二強度理論設計的身管強度余量降低，雖然其質量最小，但身管的安全余量也下降，因此可以用來指導身管設計的是雙剪強度理論和第四強度理論，兩種強度理論都考慮了中間主應力的影響，結構強度安全余量均有所提高，但據前文計算結果及分析(圖5)，第四強度理論與雙剪強度理論相比，其身管質量增加更多，結構轉動慣量增大，強度余量過大，結構更保守，經濟性下降，因此雙剪強度理論更適合用于指導身管結構設計。

3.2 有限元振動分析

理想情況下，希望得到一個身管結構完整的模態集，但實際應用中既不可能也沒必要。并非所有的模態對響應的貢獻都是相同的。低階模態對振動系統的影響較大，階數越低，影響越大，階數越高，誤差越大。對實際結構而言，提取前幾階或十幾階模態足夠，更高的模態常常被舍棄。這種處理方法稱為模態截斷[16]。因此舍棄身管的高階模態，提取身管前8階模態的固有頻率，結果如表4所示，各階振動的參與系數如表5所示，參與系數對應的身管坐標系配置如圖8所示，身管前8階模態振型如圖12所示。

表4 身管前8階模態頻率和振動周期

由表5展示的模態振型參與系數以及圖12所示的模態振型圖可知，前8階模態振動位移最大處均在炮口，以炮口橫向振動以及高低和方位方向的扭轉振動為主，這種振動將嚴重影響彈丸射出炮口的初射角，影響火炮的射擊精度。

為此在炮口典型位置沿高低方向施加500 N的掃頻集中力，頻率變化范圍0～850 Hz，在該力的作用下，炮口振動的頻率響應結果如圖13所示?？梢钥闯?，各階模態固有頻率的模態參與因子由低頻至高頻依次減小，前3階歸一化的幅值比值近似為32∶2∶1，第3階以上振型幅值可忽略不計。

振動力學理論指明，當外界激勵頻率等于固有頻率時，系統會發生共振。但由于共振帶的存在，當外界激勵頻率接近固有頻率時，系統同樣會發生共振。一般計算時，共振帶取為固有頻率的40%[17]。假設自動機射頻為4 000～4 500 發/min，發射頻率為67～75 Hz，為了設計火炮安全起見，取40%的最大共振帶，得到相應的共振帶頻率范圍為40.2～105 Hz。

表5 前8階模態振型參與系數

身管的第1階和第2階模態固有頻率在33 Hz附近，比引起身管共振的最小頻率40.2 Hz低7.2 Hz，身管產生低階共振的可能性很??；身管的第3階和第4階模態固有頻率在120 Hz附近，比引起身管共振的最高頻率105 Hz高15 Hz，此時身管也不會產生3階和4階共振；由于第4階以上的固有頻率已經遠高于身管的最高共振頻率，因此更高階的共振也不會發生，身管不會產生共振現象，炮口振動位移小，其射擊穩定性良好，說明身管的結構設計較為合理。

4 結論

筆者通過對設計的身管進行強度和振動分析得到了如下結論：

1)身管強度理論不同，求得的安全系數也不同，需要采用合適的安全系數來對應不同的強度理論，進而用于指導身管設計。筆者根據對4種強度理論的分析，結合多種火炮身管外徑內徑的關系，得到了適用第三、第四、雙剪強度理論的安全系數。

2)雙剪強度理論相對第四強度理論更適合身管的設計指導，由此理論設計的身管安全性更高，強度盈余較大，且身管單位長度質量增加量也相對較少，綜合考慮經濟性、安全性較好。

3)身管振動以炮口方向的橫向振動為主，對射擊精度的影響較大。按照雙剪強度理論設計的身管固有頻率離共振帶較遠，避開了射擊共振頻率范圍，射擊時不會引起身管共振現象的發生，身管結構較為合理。