欠驅動船舶自適應神經網絡有限時間軌跡跟蹤

張強，朱雅萍，孟祥飛，張樹豪，胡宴才

山東交通學院 航運學院，山東 威海 264200

0 引 言

隨著科學技術的發展，對海洋資源開發、運輸和勘探的需求日益增加。水面船舶作為一種經濟、有效的工具，在海洋工程中起著至關重要的作用。軌跡跟蹤控制是船舶運動控制中一種典型的控制任務，它可以使水面船舶跟蹤所需要的參考軌跡。隨著對水面船舶的使用愈加廣泛，軌跡跟蹤的控制問題也受到了國內外學者的廣泛關注。水面船舶在航行中會受到各種內部和外部的不確定性干擾，在設計軌跡跟蹤控制方案時必須考慮上述復雜因素的影響，因此，各種先進的控制方法被應用于軌跡跟蹤控制方案設計中。

針對水面船舶軌跡跟蹤控制的問題，軌跡線性化控制方法[1]、基于非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動態面自適應神經網絡控制方法[2]、基于時變非對稱障礙Lyapunov 函數的最小參數自適應遞歸滑?？刂品椒╗3]等被應用于全驅動船舶的軌跡跟蹤領域。以上方法解決的是具有不確定條件和未知參數的全驅動船舶的軌跡跟蹤問題，并且提高了跟蹤精度，但海面上是以欠驅動船舶為主，研究欠驅動船舶對降低成本、提高航運安全具有重要意義。針對欠驅動水面船舶的軌跡跟蹤問題，孟威等[4]通過引入滑動平面設計控制律，解決了由模型參數不確定性和未知干擾帶來的魯棒性問題。沈智鵬等[5]提出了動態面自適應輸出反饋控制，通過引入觀測器，保證了船舶軌跡跟蹤誤差的最終一致有界性。柳晨光等[6]提出的模型預測控制是將模型近似線性化，但這種方法在外界干擾系數變大時其跟蹤誤差也會變大。文獻[7-8]分別利用觀測器和比例積分實現了魯棒自適應控制，并且文獻[8]還實現了進一步減少由滑?？刂埔l的振動問題。Dai 等[9]通過引入擾動觀測器來估計未知干擾，Haseltable 等[10]通過引入神經網絡逼近非線性函數，均進一步提高了軌跡跟蹤的精度。

然而，以上文獻都只有在系統時間趨于無窮大時才能得到一個漸近穩定的結果，沒有考慮船舶在各種不確定性影響下能否實現有限時間的跟蹤控制。王昱棋等[11]基于終端滑?？刂埔敕稚⒖刂破?，提出了一種終端滑?？刂品椒?，可使欠驅動水面船舶在有限的時間內較快地實現跟蹤并保持期望的軌跡。Ning 等[12]首先將未知的參數動力學和不確定性封裝成非線性函數，再通過自適應模糊逼近器在線識別非線性函數，得到了一種新的直接自適應模糊跟蹤控制方法，可實現船舶在有限時間內的跟蹤。Sun 等[13]提出了一種事件觸發的魯棒模糊自適應定性能有限時間控制方法。Zhao 等[14]針對具有上界未知干擾的剛性航天器，分別設計了有邊界層和無邊界層的自適應有限時間控制律，實現了在有限時間內的軌跡跟蹤，并能消除抖振問題。

基于以上分析，本文擬設計一種受動態不確定性和未知時變干擾影響下的自適應神經網絡有限時間軌跡跟蹤控制方案。首先，利用徑向基神經網絡重構船舶的動態不確定性，并設計自適應律逼近未知擾動的上界。由于徑向基神經網絡對非線性函數有著高度的擬合關系，因此，提高逼近精度，并在控制方案設計中引入有限時間控制理論，以保證系統跟蹤誤差能在有限時間內收斂至一個比較小的區域內，提高系統誤差的收斂速度。最后，進行仿真對比試驗，驗證該控制方案的跟蹤效果。

1 船舶數學模型與問題描述

考慮如下形式的欠驅動水面船舶數學模型[15]：

式中：x,y,ψ為水面船舶的實際跟蹤軌跡，分別為橫向位移、縱向位移、航向角；u,v,r為實際跟蹤速度，分別為前向速度、橫漂速度和轉艏角速度；τu為 船舶縱蕩控制力； τr為 艏搖控制力矩；mu，mv，mr為 附加質量；du，dr為 擾動；fu(u,v,r)，fv(u,v,r)，fr(u,v,r)為 未知動 態；Xu，Yv，Yr，Nv，Nr分別為水面船舶在前進、橫漂和艏搖3 個維度上的線性阻尼；Xu|u||u|u，Y|v|v|v|v，Y|r|v|r|v，Y|v|r|v|r，N|r|r|r|r，N|r|v|r|v分別為水面船舶在前進、橫漂和艏搖3 個維度上的非線性阻尼。

為了實現控制器的設計，現給出如下假設、定義和引理。

定義：非線性控制系統描述如下：

式中：x∈Rn為系統的狀態變量； Ω0為包含原點的一個球域；f(x)為一個連續函數，對于任意初始條件x0， 如果存在一個常數 ζ ＞0和一個調節時間函數0 ＜T(0)＜∞，使 得 ‖x(t)‖≤ζ，t≥T(x0)，那么系統可以說是半全局實際有限時間穩定的[16]。其中，t為時間變量，T為初始條件下的時間。

引理1：考慮一個系統x=f(x)，f(0)=0，x∈Rn，其中f(x)為一個連續函數，假設存在一個連續的Lyapunov 函數V：D→R可以使如下條件滿足：V是一個正定函數，存在實數ρ1＞0，ρ2＞0，η ∈(0,1)，以及一個原點附近的開環鄰域滿足V˙(x)+ρ1V(x)+ρ2Vη(x)≤0，則系統是有限時間穩定的，且穩定時間Tr為[17]

引理2：對于任意給定的定義在緊集 Ω ?Rn上的連續光滑函數h(x)[18-19]，有

式中： ε為逼近誤差，對于所有的x∈Ω，存在向量ε*＞0，且 滿足 |ε|≤ε*；W*為理想條件下的權重向量；s（x）為中心函數。通常，理想的神經網絡權重為未知向量，需要進行估計?？梢岳斫鉃閤∈Ω ?Rn上能使 |ε|最 小化的W，即

引理3：對任意的a＞0（a為常數）和x∈R，都滿足如下的關系[20]：

2 控制器的設計

軌跡跟蹤的控制流程如圖1 所示。為解決欠驅動問題，采用文獻[21]中的方法。首先，定義欠驅動水面船舶的跟蹤誤差：

圖1 軌跡跟蹤控制流程圖Fig. 1 Trajectory tracking control flow chart

式 中：xl，yl， ψl分 別 為 跟 蹤 過 程 中 的 期 望 橫 向 位移、期望縱向位移和期望航向角；ul，rl分別為跟蹤過程中的期望前向速度和期望轉艏角速度。

令

對式(11)求導，可得

式中，k11，k12，k31，k32，δ 為可調參數。

根據式(13)設計期望的前向速度、轉艏角速度和航向角：

式 中 ，ψl通 過ul=‖α‖反 解 得 到， αx，αy為 α在x,y方向上的分量。

對式(10)求導，可得

對于未知動態fu(u,v,r)，fr(u,v,r)，利用RBF 神經網絡進行重構，即

式中：網絡輸入信號 η=(x,y,ψ,u,v,r)T， σ(η)為神經網絡權值自適應律中的中心函數；神經網絡權值矩陣分別為Wu=(wu1,wu2,···,wuh)T，Wr=(wr1,wr2,···,wrh)T； εu， εr為神經網絡逼近誤差。

為穩定ue，re，設計控制律，如式(17)所示。

3 穩定性分析

為了驗證欠驅動船舶控制器的穩定性，設計如式(20)所示的Lyapunov 函數。

對式(20)求關于時間的導數，可得

其中：

式中， λdu， λdr， ωu， ωr為設計自適應律中的可調參數。

根據引理3，可得

將式(24)、式(28)和式(29)代入式(21)，得

將式(31)代入式(30)，可進一步得出

由式(32)，可以得出

其中， η=min{η1,η2}，0 ＜η ＜1。

結合式(22)，以上計算證明對于 ?t≥T，系統誤差會在有限時間內收斂。

4 仿真研究

為了驗證本文所設計控制方案的有效性，以挪威科技大學的Cybership 2船模為被控對象進行計算機仿真試驗。該船?？傞LL= 1.255 m，質量m= 23.8 kg，其他水動力參數詳見文獻[22]。

在仿真分析中，將本文設計的控制方案與未采用有限時間的自適應神經網絡控制方案進行對比。在仿真圖中，將本文設計的控制律設為控制律1，用于對比的控制律設為控制律2，對比控制律的虛擬控制律、控制律和自適應律如式(40)～式(43)所示。

為了模擬海況，擾動采用式(44)：

在模型參數未知的條件下，設置參數k11=0.1，k12=0.1，k21=0.2 ，k22=0.1，k31=0.2，k32=0.05，k41=0.4，k42=0.05，γdu=0.1， γdr=1，λdr=1，γwu=γwr=200 ，λwu=λwr=0.002 5。仿真試驗采用圓形軌跡方程，如式(45)所示。

在圓形軌跡下，船舶的初始位置和初始速度為(x0;y0;ψ0;u0;v0;r0)=(0;10;0;0;0;0)。圖2～圖9 所示為圓形軌跡下的仿真結果。其中，圖2 所示為控制律1 和控制律2 的實際軌跡與參考軌跡的軌跡跟蹤對比，從中可以看出，本文控制方案下的實際軌跡在有限時間內更接近于參考軌跡。

圖2 船舶在平面內的實際軌跡和參考軌跡Fig. 2 Actual and reference trajectories in ( x,y) plane

圖3～圖6 給出了船舶在不同控制律下的位置跟蹤、航向角跟蹤以及速度跟蹤的對比。從中可以看出，本文設計的控制器可以保證在有限的時間內更接近于期望軌跡。

圖3 實際位置和參考位置Fig. 3 Actual and reference positions

圖4 實際航向角和期望航向角Fig. 4 Actual and reference yaw angles

圖5 推進速度uFig. 5 Surge velocityu

圖6 轉艏角速度rFig. 6 Yaw angle rate r

圖7 所示為位姿誤差時歷曲線。從中可以看出，本文所設計控制方案誤差的上、下界更小，并且在本文設計的有限時間控制方案下，xe和ye約在第29 s 處實現收斂， ψe約在第10 s 處實現收斂，而對比方案的位姿誤差則分別約在第50，55 和28 s處實現收斂，可見本文控制方案的收斂速度更快。

圖7 位姿誤差的時歷曲線Fig. 7 Time history curves of the attitude error

由圖8 所示的速度誤差時歷曲線可以看出，本文所設計控制方案速度誤差的收斂性得到了一定程度的提高，其上、下界同樣也更小。

圖8 速度誤差的時歷曲線Fig. 8 Time history curves of the velocity error

圖9 所示為控制輸入隨時間變化的曲線。從中可以看出，本文設計的控制律輸入與對比控制律相比，沒有明顯的增加。

圖9 控制輸入τu，τrFig. 9 Control input of τu，τr

5 結 語

本文提出的自適應神經網絡有限時間軌跡跟蹤控制方案解決了欠驅動船舶在軌跡跟蹤中存在的未知干擾和動態不確定問題，提高了系統的控制精度以及系統誤差的收斂速度。利用徑向基神經網絡重構未知動態，設計了自適應律逼近外部干擾的上界。通過Lyapunov 理論，證明欠驅動船舶系統所有的信號都是有界的。經與未采用有限時間的自適應神經網絡控制律進行仿真對比，表明本文設計控制方案的跟蹤性能更好。下一步，將就如何在提高跟蹤精度的同時簡化算法的復雜程度方面進行研究。