基于固定時間擴張狀態觀測器的底棲式AUV 點鎮定控制

高鵬，萬磊，徐鈺斐，陳國防，張子洋

哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

0 引 言

海洋石油是地球上最豐富的自然資源之一，目前，其開發已從水深300 m 擴展至水深3 000 m的深海區，與之相應的海洋石油勘探也逐漸向深海發展。海底節點[1]（ocean bottom node， OBN）地震數據采集技術是目前石油勘探最主要的手段之一。所謂OBN，即將地震檢波傳感器集群布放到海底，其可獨立采集、記錄海底數據。然而，大部分的OBN 產品無自主運動能力，主要通過水下遙控機器人（remote operated vehicle，ROV）逐個布放回收，其組網精度、回收效率均較低，難以滿足地震勘測應用的大規模組網布放。

為解決這一問題，一種搭載地震檢波裝置的底棲式水下航行器概念被提出[2]。底棲式水下航行器將自主水下航行器（AUV）與地震檢波技術進行了結合，是一種新型的海洋石油勘測設備。底棲式AUV 運動至海底目標位置后，可長期坐底采集海底地震數據，在作業完成后再上浮至指定海域，由母船統一打撈回收。

底棲式AUV 在坐底運動的過程中不可避免地會受到海底未知海流的干擾，而這將影響AUV的坐底位置，進而影響其海底勘探性能。因此，研究未知海洋環境下以及不確定性影響下的AUV點鎮定控制及跟蹤控制就顯得尤為重要。

近年來，已有不少先進的控制方法被應用到了AUV 的運動控制系統中，包括反饋線性化控制、自適應控制、滑?？刂芠3-4]和反步控制等。其中，反步控制通過反向設計虛擬控制函數，可以使控制器的設計過程系統化、結構化，因而被廣泛應用于多自由度系統的運動控制中[5]。然而，傳統的反步控制方法存在2 個固有的弊端：其一是魯棒性較差，常見的解決方案是將其與其他魯棒控制方法相結合，例如自適應控制、滑?？刂频萚6]；其二，即所謂“復雜性爆炸”問題，主要由虛擬控制的微分所引起，解決這一弊端的常用方法是加入非線性濾波器或是指令濾波器等[7]。

對AUV 控制系統而言，通常希望系統狀態能在短時間內收斂。然而，傳統的反步控制器是漸近穩定的，系統狀態的平衡時間難以確定。終端滑?？刂芠8]是保證系統在有限時間內鎮定的有效方法，即系統狀態在有限的時間內收斂至平衡狀態。然而，有限時間穩定系統的收斂時間依賴于初始狀態，并有可能隨著初始狀態的增加而趨于無窮大。對底棲式AUV 而言，其點鎮定控制的初始狀態不可預測，故系統的收斂時間可能較長，這也直接影響了有限時間控制方法的應用。2015 年， Muralidharan 等[9]提出了固定時間穩定性，可以證明系統的收斂時間一致最終有界，且與初始狀態無關。因此，可以通過反步法設計一種固定時間控制方案，以使控制系統在固定的時間內收斂。

此外，出于對自身重量以及節約成本方面的考慮，底棲式AUV 并未配備速度傳感器，上述提及的基于完全狀態反饋的控制方法很難保證優異的控制性能。而且，AUV 在水下運動時，經常會受到外部干擾以及不確定性因素的影響，若不考慮這些因素，控制系統有可能會不穩定甚至是發散。干擾觀測器是解決上述問題的有效方法之一，其不需要知道系統模型的精確信息，僅通過已知狀態量即可以實現對未知擾動或者其他未知狀態的精確估計[10]。

基于以上分析，本文擬提出一種基于固定時間擴張狀態觀測器（fixed-time extended state observer,FTESO）的固定時間反步控制方案，以實現對底棲式AUV 在未知環境擾動以及不確定性因素影響下的點鎮定控制。首先，設計一種固定時間擴張狀態觀測器，用于估計不可測量的速度以及集中擾動，且估計誤差在固定時間內收斂；然后，基于該觀測器，使用反步法設計固定時間反步AUV點鎮定控制器，使AUV 的位姿誤差可以在固定的時間內收斂至0；最后，引入非線性一階濾波器，解決反步控制器固有的“復雜性爆炸”問題。

1 符號和預備知識

1.1 符 號

1）對于給定的向量， ||·||表示歐幾里得L2 范數， |·|表示標量的絕對值。

2）對 于 給 定 向 量x=[x1,x2,···,xn]T，sigr(x)=[|x1|rsign(x1),|x2|rsign(x2),···,|xn|rsign(xn)]，其 中r為任意實數， s ign(·)為符號函數，具體定義如下：

3） max(a,b)表示實數a與b之間的較大值，min(a,b)表示實數a與b之間的較小值。

1.2 預備知識

對于一類非線性系統x(t)[11]，x=[x1,x2,···,xn]T，滿足

式中：f(·)為系統表達式；Rn為n維向量。

定義 1[10]：若存在一個函數V(x)滿足以下3 個條件，則非線性系統的平衡點x= 0 是全局漸近穩定（globally asymptotic static, GAS）的，即

1）V(x)≤0,V(0)=0；

2）V(x)≥0(x≠0)；

引理 1[12]：若非線性系統（式（2））滿足

式中，α,β,l1,l2均為正常數，滿足0 ＜α ＜1, β ＞1的條件，則非線性系統是固定時間收斂的，且收斂時間T滿足

此外，若存在小的擾動 ζ，使非線性系統（式（2））滿足

式中， ρ為一個小的正實數向量，則非線性系統是半全局固定時間一致最終有界（semi-global fixedtime uniform ultimate boundedness, SGFTUUB）[13]且可以在原點的鄰域內收斂，且收斂時間T滿足

引理 2[14]：若存在正實數s，滿足s≤sm+sn（ 0 ＜m＜1，n＞1） ，則存在任意正實數k1,k2,k3＞0，滿足

引理 3[15]：若 存 在 正 實數 ξ1,ξ2,···,ξn≥0且指數h＞0，則有

2 底棲式AUV 模型建立以及控制問題描述

2.1 底棲式AUV 模型建立

底棲式AUV 的模型如圖1 所示，其中E-ξnζ和O-xyz分別為大地坐標系和隨體坐標系。六自由度的AUV 運動學及動力學公式表述如下：

圖1 底棲式AUV 示意圖Fig. 1 Schematic diagram of benthic AUV

式中：η = [ξ,n, ζ,φ, θ, ψ]T，為AUV 的六自由度位姿信息，其中ξ，n，ζ 分別為AUV 的縱蕩、橫蕩和垂蕩，φ，θ，ψ 分別為橫搖角、縱搖角和艏搖角；υ =[u,v,w,p,q,r]T，為AUV 的六自由度速度和角速度信息，其中u，v，w分別為AUV 的縱蕩速度、橫蕩速度和垂蕩速度，p，q，r分別為橫搖角速度、縱搖角速度和艏搖角速度；R(η)∈R6×6，為從隨體坐標系向大地坐標系的轉換矩陣；M∈R6×6，為慣性矩陣；C(υ)∈R6×6,D(υ)∈R6×6，分別為科氏向心力矩陣和流體阻尼力矩矩陣，G(η)∈R6×1，為重力和浮力產生的恢復力（力矩）向量；τ ∈R6×1， τd∈R6×1，分別為AUV 的控制力（力矩）向量及外界干擾力（力矩）向量，其中控制力與力矩均由推進器作用產生。

底棲式AUV 裝配了雙主推、雙垂推、雙側推共6 個推進器，通過推進器的共同作用來實現對6 個自由度的運動控制。因此，本文所描述的點鎮定控制是在多推進器作用下的全驅動控制。

2.2 控制問題描述

假設1：

1） 目標的期望位姿 ηd有界且為二階可導的。

2）C(υ),D(υ)為未建模的矩陣。

3） AUV 所受的未知環境力有界，即 ||τd||≤ε，其中 ε為一個很小的正常數。

4） AUV 的速度 υ不可測。

出于節約成本以及對自身重量的考慮，底棲式AUV 并未裝載速度傳感器，其目標位姿為常數，在海底附近運動時受到的未知干擾相對較小，因此，假設1 成立。

本文的控制目標如下：在滿足上述假設的條件下，設計一種點鎮定控制器，以使底棲式AUV的最終位姿 η能夠在固定的時間T內鎮定于期望位姿 ηd處。公式如下：

3 底棲式AUV 反步點鎮定控制器設計

本節將設計一種FTESO 的固定時間反步點鎮定控制器。首先，將式（9）所示的AUV 系統模型轉換為適用于反步法的嚴格反饋形式。然后，設計一種弱抖振固定時間擴展狀態觀測器（weakchattering fixed-time extended state observer,WCFTESO），并基于觀測值進行固定時間動態面反步控制器的設計。同時，引入一階濾波器，以避免可能出現的“復雜性爆炸”問題。反步控制器的控制框架如圖2 所示。

圖2 反步控制器框圖Fig. 2 Block diagram of backstepping controller

3.1 模型變換

為了更好地設計控制器，引入了新的變量w=R(η)υ并代入式（9），可以得到新的AUV 系統表達式：

假設2：存在一個常數c， 使得 ||||≤c成立。

由于海底環境下的擾動明顯小于近水面，且擾動的變化不大，因此，假設2 成立。

3.2 WCFTESO 觀測器的設計

本文在文獻[16]的基礎上設計的WCFTESO 觀測器只需輸入AUV 的位姿信息即可實現對不可測量的速度以及未知集中擾動的觀測。WCFTESO 的表達式如下：

與文獻[17]不同的是，本文設計的WCFTESO使用了自適應項 ?來代替傳統的符號函數，避免了其值在正負之間來回振蕩，從而可以有效解決觀測誤差的抖振問題。

證明：定義觀測器的觀測誤差為

對式(13)進行求導，有

首先，證明下式的固定時間收斂性。

根據文獻[17]中的定理2，可知式(15)可以在固定時間T1內收斂。

將觀測值替代實際值并代入式(11)，根據定理1，可以得出新的系統狀態表達式如下：

3.3 基于WCFTESO 的固定時間動態面反步控制器設計

首先，定義2 個滑模面s1和s2。

根據引理1，可知e1,e2均在固定時間內收斂。因此，只需設計控制器，使滑模面一階導為0 即可。

該方案的優點為：高架橋橋墩的樁基礎直接作用于土層，高架橋沉降與車站沉降互不影響，工程可實施性較強，風險小。

然后，分別對上面2 個滑模面求導，并結合式（17），可得

式中，wc為虛擬控制輸入。

根據式（21），可設虛擬控制律如下：

式中， λ11， λ12為正常數。

為了避免對虛擬變量直接微分引起的復雜計算量，引入了一個新的狀態變量wd，wd表 示wc在時間常數 σ下通過一階低通濾波器后的濾波值[18]，其表達式如下：

根據式（21）～式（23），設計系統的控制輸入為

式中， λ21， λ22為正常數。

定理2：對于式（17），在滿足假設1 和假設2的前提下，設計上述虛擬控制律及反步控制器，并結合非線性一階低通濾波器以及WCFTESO 觀測器，可以保證閉環系統是半全局固定時間一致最終有界的。

證明過程如下所示。選取李雅普諾夫函數V為

式中，z=wd-wc，為濾波誤差。

z的一階導可以表示如下：

根據虛擬控制律（式（22））以及假設1，可知虛擬控制律wc的一階導有界，即存在一個正常數向量δ，使其滿足≤δ。

將式（25）關于時間t求導，并結合式（21）、式（24）和式（26），有

根據楊氏不等式 2xy≤x2+y2，式（27）可進一步轉化為

根據引理2，有

當控制器的參數符合 時，令

λ11,λ12＞1/2,1/σ ＞1

將式（30）代入式（29），有

根據引理3，有

當選擇合適的控制參數，并確保M，N，P皆為正時，根據引理1，可知式（25）是半全局固定時間一致最終有界的，且收斂時間TV滿足

因此，可以證明在本文設計的控制策略下，式（17）可以在固定時間內收斂，且收斂時間T滿足

式中，T0為WCFTESO 的收斂時間。

4 仿真分析

本節將通過仿真分析，驗證所設計點鎮定控制器的跟蹤效果，仿真選用的底棲式AUV 模型參數參見文獻[19]。

仿真中， WCFTESO 的初始值為

WCFTESO 的參數以及本文所提控制器的參數選取為

底棲式AUV 的目標位姿 ηd以及受到的環境干擾 τd為

4.1 觀測器仿真

對觀測器進行仿真，驗證觀測器的觀測效果。仿真結果如圖3～圖5 所示。

圖3 位姿觀測誤差曲線Fig. 3 Curves of position and posture observation error

圖4 速度觀測誤差曲線Fig. 4 Curves of velocity observation error

圖5 集中擾動下的觀測誤差曲線Fig. 5 Curves of observation error with lumped disturbance

由圖可以看出，本文使用的WCFTESO 觀測器在不需要速度信息的情況下，僅依靠位姿信息即可在非常短的時間內精確觀測出AUV 的位姿、速度以及集中擾動，且收斂時間在4 s 以內。因此，可以將觀測值代替實際值進行點鎮定控制器的設計。

4.2 點鎮定控制跟蹤性能對比仿真

不難發現，將式（24）中 α, β的值設為1 時，固定時間控制器就變為傳統的漸近控制器。為了驗證本文所設計固定時間控制器的控制性能，本節將固定時間控制方案與漸近控制方案進行了對比仿真，結果如圖6～圖10 所示。

圖6 縱向跟蹤誤差響應曲線Fig. 6 Respose curves of longitudinal tracking error

圖7 橫向跟蹤誤差響應曲線Fig. 7 Respose curves of transverse tracking error

圖8 垂向跟蹤誤差響應曲線Fig. 8 Respose curves of vertical tracking error

圖9 俯仰角跟蹤誤差響應曲線Fig. 9 Respose curves of pitch tracking error

圖10 艏向角跟蹤誤差響應曲線Fig. 10 Respose curves of heading tracking error

由圖6～圖10 所示的AUV 位姿誤差響應曲線可以看出，兩種控制方案均能在一定的時間內收斂至穩定狀態，且位姿誤差收斂至0 后均能保持較好的穩定性，但兩者在收斂速度上存在明顯的差異。雖然漸近控制器在初始階段的收斂速度快于固定時間控制器，但固定控制器最終收斂于0的時間在各個自由度均優于漸近控制器。其中，由圖8 和圖9 中曲線可以看出出現了一些波動現象，這是由多自由度控制時的耦合效應所產生，并不會影響控制系統整體的收斂性。

綜上所述，本文所設計的固定時間反步點鎮定控制器的控制性能要優于傳統漸近控制器。

5 結 語

本文設計了一種基于固定時間擴張狀態觀測器的固定時間反步點鎮定控制器，解決了受未知干擾以及不確定性影響的底棲式AUV 的點鎮定控制問題。仿真結果表明，本文所設計的控制器在不需要AUV 的精確模型以及部分系統狀態的前提下即可實現對其余狀態變量及集中擾動的觀測，并且觀測誤差會在固定時間內收斂，這對AUV在部分傳感器未裝配或者故障后的精確控制將起到至關重要的作用。同時，與傳統的漸近控制策略相比，本文所提固定時間反步控制方法的收斂時間更短，這對以海洋石油勘探為背景的底棲式AUV 而言，也是不可或缺的。