基于灰色Verhulst模型的灌溉水利用系數預測研究
——以咸陽市為例

鄭招陽，陳新明,2

(1.西北農林科技大學 水利與建筑工程學院，陜西 楊凌712100；2.旱區農業水土工程教育部重點實驗室，陜西 楊凌 712100)

我國淡水資源總量非常豐富，高達28 000億m3，占全球水資源總量的6%，位列世界第四[1]。由于我國水資源人均量只有2 300 m3，僅為世界平均水平的1/4，所以我國也是全球人均水資源最貧乏的國家之一[2]。作為農業大國，我國最主要的用水行業就是農業，據2018年統計我國農業用水已經達到全社會用水比例的61.4%，其中以農業灌溉為主[3]。評價農業灌溉水用水效率與衡量灌區工程建設水平、管理水平、節水灌溉水平的重要指標則是灌溉水利用系數。

灌溉水利用系數是指某段時期內灌入田間被作物所吸收的凈水量與灌溉引水總量的比值[4]。以往的研究表明，灌溉水利用系數預測研究的方法分為兩大類：一類是僅從灌溉水利用系數的歷史數據出發直接建立預測模型，其研究方法主要有回歸分析法、動平均法、指數平滑法和灰色系統理論預測法等；另一類則是結合影響灌溉水利用系數的因素構建預測模型，如多元回歸分析法[5]、組合預測法等[6]。對于無法建立客觀物理模型、作用原理亦不明確的系統，諸如社會系統、農業系統、生態系統和水利系統等，過去難以對其定量描述，但自1982年鄧聚龍教授提出灰色系統理論[7]以來，其以發展態勢為立足點，充分開發并利用系統數據中的顯信息和隱信息，尋找因素間或因素本身的數學關系，在各領域分析事物未知、潛在的關系方面日趨完善成熟，進而衍生發展出多種灰色預測模型并廣泛應用。灌溉水利用系數的預測研究由于可追溯的數據樣本少且多為短期及中期預測，在僅探究灌溉水利用系數自身的數學關系時，灰色系統理論顯然更適合[8]。

根據已有的資料，灌溉水利用系數主要受節水工程措施、技術以及人為調控、管理的影響，鑒于當下全球節水技術和材料的發展進入瓶頸期，加之國家五年計劃的宏觀調控，可預見在“十四五”期間，灌溉水利用系數變化趨勢具有飽和特性并大致按“S型”規律增長?，F在灰色系統理論針對“S型”規律變化系統的研究，演化出精度更高、更準確的灰色Verhulst模型及其改進型[9]?；疑玍erhulst模型的計算結果是Verhulst模型白化方程的解，而Verhulst模型白化方程則由Verhulst模型的灰微分方程變量連續化類推所得，當白化方程精度足夠高時，可視用原始數列建立的灰色Verhulst模型與其真正的微分方程吻合較好。需要注意到的是，在灰微分方程類推得到白化方程的過程中，灰導數、白化背景值的替代及微分方程初值的選取會割裂差分和微分、離散和連續的聯系，這是造成誤差產生的最大原因[10]。本文預測研究的對象是灌溉水利用系數，其受不同水平年技術水平、政策的滯后效應以及農業發展現狀影響較大，正好可分別類比對應灰色Verhulst模型白化方程中背景值和初值之于方程的意義，故針對背景值和初值這兩項做優化提高預測精度，構建基于背景值和初值優化的灰色Verhulst改進模型。

根據基于背景值和初值優化的灰色Verhulst改進模型，以農業大市咸陽市為例，結合咸陽市2015年—2020年灌溉資料對該市未來3年的灌溉水利用系數進行預測。最終通過模型的擬合、預測效果驗證基于背景值和初值優化的灰色Verhulst改進模型在灌溉水利用系數預測研究上的可行性，預測結果不僅能為咸陽市農業生產和水資源利用提供參考，還將為其他地區的灌溉水利用系數預測研究提供借鑒。

1 材料與方法

1.1 研究區概況

咸陽市東接省會西安，西鄰楊凌國家農業高新技術產業示范區，轄1市2區10縣，總面積10 246 km2，全市耕地總面積37.03萬hm2，有效灌溉面積28.50萬hm2。2019年全市實際灌溉面積達到17.04萬hm2，相比2018年增加了4.31%。從灌溉用水量上來看，2019年灌溉用水量為51813.16萬m3，相比較2018年增加了12.71%[12]。另外，2015年—2020年間，咸陽市每年農田灌溉用水量均超5億m3，作為農業大市未來數年咸陽市的農業灌溉用水量勢必維持在高位，巨大的農業灌溉用水量需要政府做好農業發展規劃才能適配本地的水資源狀況和農業生產。

1.2 數據來源

本文所用咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數資料由咸陽市水利局提供。本文所用咸陽市2015年—2019年節水灌溉工程面積從陜西省統計局官網下載(http://tjj.shaanxi.gov.cn/)。

1.3 模型構建方法

1.3.1 灰色Verhulst模型原理

灰色Verhulst模型主要用來描述具有飽和“S型”變化規律的過程，其建模過程如下。

構建n個等間距時間原始數據序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，其一階累加得到的序列為x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)) ，記作1-AGO，其中：

(1)

定義x(1)的灰導數為：

d(k)=x(0)=x(1)(k)-x(1)(k-1)

k=2,3,…,n

(2)

令z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)) 為數列x(1)的緊鄰值生成序列，即：

z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)

k=2,3,…,n;α∈[0,1]

(3)

一般地，灰色Verhulst模型中生成系數α取0.5，此時稱z(1)(k)為緊鄰均值生成數。

故定義灰色Verhulst模型為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

k=2,3,…,n

(4)

式中：x(0)(k)為灰導數;a為發展系數;z(1)(k)為白化背景值;b為灰作用量。

式(4)對應的白化微分方程為：

(5)

取該微分方程的初值x(1)(1)=x(0)(1)，解微分方程式(5)得灰色Verhulst模型的時間響應式為：

k=1,2,…,n

(6)

(7)

將式(7)改寫成矩陣形式，有：

(8)

(9)

U=(ab)T

(10)

Y=BU

(11)

(12)

(13)

1.3.2 基于背景值和初值優化的灰色Verhulst改進模型

從灰色Verhulst模型式(4)連續化得到白化微分方程式(5)的過程及時間響應式式(6)可以看出，灰色Verhulst模型的精度主要取決于參數a、b和初值x(1)(1)。其中a、b值直接受白化背景值z(1)(k)的構造形式影響，經典模型中生成系數α取0.5，實際上α是0到1之間的動態值，但必存在某個α使得灰色Verhulst模型模擬效果最好；而初值x(1)(1)的選取與研究對象及其環境條件相關，也會存在一個最符合條件的初值。由此看見，發展系數α和初值x(1)(1)都是導致連續的白化方程跳變到離散的時間響應式時產生誤差的重要原因，也是經典灰色Verhulst模型預測不準確的問題所在。

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：

0≤α≤1

0≤x(1)(1)≤2x(1)(1)

式(17)所約束的灰色Verhulst模型即為基于背景值和初值優化的灰色Verhulst改進模型。針對式(17)中未知參數發展系數α和初值x(1)(1)，可分別建立三種灰色Verhulst改進模型：① 只優化發展系數α，初值x(1)(1)取x(0)(1)；② 只優化初值x(1)(1)，發展系數α取0.5；③ 同時優化發展系數α和初值x(1)(1)。最終可分別將三組優化后的發展系數α和初值x(1)(1)代入式(6)中得到改進模型的時間響應式(6)，進一步還原計算得到各改進模型的優化預測值。

1.4 模型檢驗方法

1.4.1 原始數據建?？尚行詸z驗

在建模前需先分析建模的可行性和預期效果，對原始數據序列x(0)進行級比檢驗，序列級比的計算公式為：

(18)

1.4.2 模型精度檢驗

灰色Verhulst模型構建完成后，需進行模型精度的檢驗，以檢驗模型的效果。一般有三種檢驗方法：殘差檢驗、方差比檢驗、小誤差概率檢驗[14]。當三種檢驗全部通過時，表明模型的效果較好，才可以使用模型進行后續的預測；否則，將要對模型進行殘差修正，直到三種檢驗均通過為止。以下為各檢驗的評判準則。

(19)

(20)

原始序列x(0)標準差:

(21)

殘差序列δ(0)標準差:

(22)

(23)

另有小誤差概率P反映模型擬合值在合格殘差范圍內的個數，能體現擬合值奇異點出現概率，小誤差概率越大，說明模型擬合效果越好。其計算公式為：

小誤差概率:

(24)

一般情況下要保證C值足夠小，即便原始數據的規律不明顯，但也可以保證預測值的誤差范圍不會很大。方差比C和小誤差概率P的取值范圍與模型對應精度如表1所示。

表1 方差比C和小誤差概率P的取值范圍

2 結果與分析

2.1 咸陽市灌溉水利用系數變化趨勢

根據咸陽市水利局統計資料，咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數變化趨勢見圖1。利用前文所述灰色Verhulst模型及其改進模型分別對咸陽市灌溉水利用系數進行預測，最后選取擬合效果較好的模型所計算的結果作為預測值。

圖1 咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數

2.2 咸陽市灌溉水利用系數擬合與預測結果

2.2.1 灰色Verhulst模型計算結果

基于灰色Verhulst模型的原理，結合圖1中變化趨勢，又因節水技術現狀及國家政策調控，可判定2015年—2020年間乃至今后幾年咸陽市灌溉水利用系數呈“S型”規律增長，因此令原始數據序列為x(1)=(0.576 80,0.577 00,0.578 40,0.581 40,0.582 20,0.583 10)，再根據式(18)判定原始數據序列x(1)通過級比檢驗；原始數據序列的一階累減序列為x(0)=(0.000 20 , 0.001 40 , 0.003 00 ,0.000 80 ,0.000 90) ；其緊鄰均值生成序列z(1)=(0.576 90 , 0.577 70 , 0.579 90 , 0.581 80 ，0.582 65)，此時發展系數α取0.5。再根據式(7)—式(9)構造矩陣Y和B：

k=1,…,5

(25)

由模型A的時間響應式式(25)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值依次為：0.576 80, 0.577 96, 0.579 18, 0.580 44, 0.581 75, 0.583 11；在此基礎上，取年份k=(6,7,8)代入式(25)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測值分別為：0.584 53, 0.586 01, 0.587 55。

2.2.2 基于背景值和初值不同優化組合的灰色Verhulst改進模型計算結果

根據前文提出的背景值和初值優化原理，在咸陽市灌溉水利用系數灰色Verhulst模型基礎上優化并構建三種改進模型。

(1) 模型B：只優化發展系數α，初值x(1)(1)取x(0)(1)。發展系數α是緊鄰值生成數z(1)(k)計算公式中重要參數，它的取值能極大影響灰色Verhulst模型擬合效果。發展系數α本是一無量綱的參數，但對于灌溉水利用系數預測研究，其能被賦予特殊的現實意義。由于灌溉水利用系數的測算和確定是存在人為調控因素的，而且在式(5)中是由x(1)對應z(1)(k)最終類推得到灰色Verhulst模型白化微分方程，結合z(1)(k)計算公式z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)可認為發展系數α能反映水平年對明年的影響大小，即本年度的農業生產狀況、農業生產計劃、水利規劃、技術水平、管理水平等對明年灌溉水利用系數的滯后影響。這種影響在小地域范圍、短期內可視為維持在相近水平，故建立只優化發展系數α的模型B能一定程度上模擬人為因素對于灌溉水利用系數的影響。

k=1,…,5

(26)

由模型B的時間響應式(26)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值依次為：0.576 80,0.577 97,0.579 19,0.580 45,0.581 76, 0.583 12；在此基礎上，取年份k=(6,7,8)代入式(26)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測值分別為：0.584 52, 0.585 98, 0.587 50。

(2) 模型C：只優化初值x(1)(1)，發展系數α取0.5。初值x(1)(1)是灰色Verhulst模型的時間響應式式(6)的初值，也是灰色Verhulst模型白化微分方程的初始條件，它的取值同樣影響著灰色Verhulst模型的擬合效果。初值x(1)(1)不同于發展系數α，其本身就有實際意義，可認為其是短期農業生產計劃和水利規劃的出發點和參考點，亦是預測研究和定性分析的基準，故建立只優化初值x(1)(1)的模型，使模型對于灌溉水利用系數的預測基準與政府實際的短期規劃基準更加吻合。

k=1,…,5

(27)

由模型C的時間響應式(27)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值依次為：0.576 77,0.577 93,0.579 14,0.580 40, 0.581 71, 0.583 08；在此基礎上，取年份k=(6,7,8)代入式(27)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測值分別為：0.584 49, 0.585 97, 0.587 51。

(3) 模型D：同時優化發展系數α和初值x(1)(1)。灌溉水利用系數預測研究不僅受人為因素影響，還會因不同的參考基準而導致預測的變化趨勢不同。故同時令發展系數α和初值x(1)(1)為優化設計變量，以式(17)為目標函數，利用MATLAB編程求解得:F=-0.930 622,x(1)(1)=0.576 71,

k=1,…,5

(28)

由模型D的時間響應式(28)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值依次為：0.576 71,0.577 92,0.579 16,0.580 42,0.581 71, 0.583 03；在此基礎上，取年份k=(6,7,8)代入式(28)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測值分別為：0.584 37, 0.585 74, 0.58714。

通過MATLAB編程模擬分別解得四種模型的擬合值和預測值，歸納所有計算結果并繪制咸陽市灌溉水利用系數變化趨勢及不同模型結果比較圖，如圖2所示。

圖2 咸陽市2015年—2023年灌溉水利用系數變化趨勢及不同模型結果比較

2.3 咸陽市灌溉水利用系數預測模型精度檢驗結果

本文2.2節中已通過MATLAB編程分別計算獲得模型A、模型B、模型C、模型D對應的咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值，再由式(19)計算得出所有擬合值對應的相對殘差。整理匯總原始數據、擬合值及相對殘差，如表2所示。

表2 咸陽市2015-2020年灌溉水利用系數不同模型的擬合值及相對殘差

分別對四種模型及其計算結果進行精度檢驗，如表3所示。

表3 不同模型精度檢驗參數表

從圖2和表3可以看出，灰色Verhulst模型及其三種改進模型均通過模型精度檢驗的指標，且對于咸陽市灌溉水利用系數預測研究的擬合模擬效果較好、精度較高，故采用灰色Verhulst模型及其三種改進模型對咸陽市灌溉水利用系數進行預測得到的預測值都是科學合理可靠的。鑒于咸陽市轄區面積、灌區數量和規模、農業生產結構和規模及水資源狀況，可認為咸陽市在農業占生產總值較大的城市中具有代表性，故對于與咸陽市情況相似城市的灌溉水利用系數預測研究，灰色Verhulst模型及其三種改進模型同樣適用。

2.4 咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測

盡管表3精度檢驗的結果表明灰色Verhulst模型及其三種改進模型的誤差極其接近，但從可決系數R2上看，四種模型對于咸陽市灌溉水利用系數變化趨勢的擬合效果還是存在細微差距的。模型D中2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值與實際值相關性如圖3所示。

圖3 模型D中2015年—2020年灌溉水利用系數擬合值與實際值相關性

由圖3結合圖2可得，模型D擬合值與實際值表現出較好的一致性，擬合效果相對更好，其偏保守的變化趨勢與未來數年農田灌溉在農業生產計劃和水利規劃中的定位是相適應的，而這也符合模型可決系數R2越大，越接近1，則擬合模擬效果越好的設定。再者在保持灌溉水利用系數處于穩定平緩增速的前提下，模型D偏保守的預測結果有利于年度農業生產工作和用水規劃的制定實施，能相對減少工作任務和降低難度，最終有利于順利實現預定目標從而促進長期戰略達成。所以灰色Verhulst改進模型D較原始灰色Verhulst模型A在咸陽市灌溉水利用系數的預測中更具實際意義。另外，需要注意到灰色Verhulst模型對于短期預測效果頗佳，對于長期預測的合理性和可靠程度有待提高。預測序列越長系統內灰度也越高，老數據漸漸失去意義，所以一般用灰色Verhulst模型進行3 a到5 a的短期預測[14]。

綜上，選擇模型D對咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數進行預測，預測結果可為咸陽市農業生產、水資源的利用以及灌區管理提供參考。最終預測結果如表4所示。

表4 咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測值

本文在咸陽市灌溉水利用系數近年變化趨勢的基礎上，通過灰色Verhulst改進模型D對2021年—2023年進行模擬預測得到的結果也基本反映這種趨勢。表4顯示咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測的增長率分別是0.217 67%、0.234 72%、0.239 12%，說明未來三年咸陽市灌溉水利用系數仍保持穩定平緩的增長態勢，這也符合咸陽市歷年灌溉水利用系數的基本情況?？梢灶A見，盡管未來數年農業生產和水利建設依然會受新冠疫情影響，但在國家和政府全方位統籌布局并對農業、水利設施持續大力度改造的背景下，咸陽市灌溉水利用系數有望在“十四五”末突破0.59，最終趨于飽和進入瓶頸期等待新一輪節水技術突破。

3 結 論

(1) 本文在分析灰色系統理論的基礎上，結合灌溉水利用系數的性質及咸陽市灌溉水利用系數的變化趨勢，選定灰色Verhulst模型進行預測研究。為提高預測精度和可靠性，通過優化發展系數α和初值x(1)(1)的不同組合形成三種改進模型，最終根據精度檢驗結果和理論分析，采用同時優化發展系數α和初值x(1)(1)的模型D預測結果作為咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數預測值，分別為：0.584 37, 0.585 74, 0.587 14。

(2) 由于咸陽市灌溉用水利用系數開始進行測算分析時段相對較短，年度統計資料時間序列不長，因此灰色Verhulst改進模型預測的灌溉水利用系數結果并不能嚴格代表長期的變化趨勢，需要進一步考慮多因素的影響建立多元模型來探究各因素與灌溉水利用系數的關系，從而得到更科學合理的預測結果。