多航天器系統的編隊包含魯棒協同控制

李韻涵，王春彥

（北京理工大學 宇航學院，北京 100081）

目前，關于航天器編隊飛行的研究已有很多。與單航天器相比，高可靠性和適應性是多航天器系統的主要優勢。為了使帶有多個領隊的航天器系統實現編隊飛行，需要設計編隊包含控制算法。

隨著深空探測任務的不斷深入，多航天器系統的安全性和可靠性越來越受到重視，容錯控制成為了目前的研究熱點，出現了一系列研究成果。文獻[1-2]針對上界已知擾動下的多航天器姿態控制系統，提出了無抖振全階滑?？刂破?，實現了有限時間一致。文獻[3]設計了無需角速度信息的固定時間控制算法，實現了對上界已知擾動下航天器姿態角和角速度的一致性控制。文獻[4-5]針對存在上界未知干擾的航天器系統，設計了基于分布式觀測器的自適應控制系統。文獻[6]針對存在上界未知擾動和輸入飽和的航天器系統，將自抗擾和滑?？刂品椒ńY合，使航天器的姿態達到穩定。文獻[7]針對存在轉動慣量不確定和上界未知干擾的多航天器系統，設計自適應有限時間控制器實現了姿態跟蹤。文獻[8-9]研究了在轉動慣量不確定、上界未知干擾和控制輸入飽和條件下系統的姿態協調問題，設計了魯棒自適應控制算法。文獻[10]對自身及一階導數有界的執行器故障影響下的航天器系統，設計了分布式快速非奇異終端滑?？刂破?，實現了姿態同步。文獻[11]針對存在執行器故障和輸入飽和的航天器系統，設計了自適應終端滑?？刂破?，實現了姿態一致性。文獻[12]考慮航天器系統存在上界已知的外界干擾和傳感器故障的情況，利用濾波器抑制傳感器故障，并設計了輸出反饋容錯控制器，實現了姿態跟蹤。

目前，對多航天器系統協同控制的研究多專注于姿態一致性控制，對編隊控制算法的研究較少。文獻[13]研究了多航天器在平衡點的位姿同步問題，考慮了系統存在參數不確定性和外界干擾，設計了與模型無關的無量綱串級位姿反饋自抗擾控制器。文獻[14]通過引入一種新的濾波器，設計了無需速度信息的有限時間輸出反饋控制器，實現了多航天器編隊。文獻[15]將航天器的相對位置和姿態表示在非線性流形李群上，姿態一致性和編隊問題被轉化為與線性空間李代數相關的誤差動力學的局部穩定問題得以解決。文獻[16]考慮存在輸入飽和的多航天器系統，設計了固定時間非奇異終端滑?？刂破?，實現了固定編隊。文獻[17]考慮存在外界干擾的多航天器系統，設計的編隊控制器，實現了固定及時變編隊。

本文首先對航天器軌道動力學系統建模并線性化，然后設計自適應廣義觀測器估計系統狀態及故障，在此基礎上設計編隊包含控制器并分析給出系統穩定的充分條件，最后通過仿真驗證所提算法的有效性。

1 問題描述

1.1 航天器軌道動力學模型

考慮一組包含N個航天器的系統，將每個航天器視為一個剛體，多航天器系統在圓軌道上運行，且航天器之間的距離遠小于航天器與地心之間的距離，可給出第i個航天器軌道動力學的C-W方程為[18]：

式中，xi、yi和zi分別為航天器在本體坐標系三個軸上的坐標，i=1,2,…,N；x?i、y?i和z?i分別為航天器在三個軸上的速度；x?i、y?i和z?i分別為航天器在三個軸上的加速度；axi、ayi和azi分別為航天器在三個軸上的控制輸入加速度；ω0為航天器沿軌道運行的平均速率。

令系統狀態為Xi=[xi,yi,zi,x?i,y?i,z?i]T，控制輸入為ui=[axi,ayi,azi]T，系統輸出為Yi=[xi,yi,zi,0,0,0]T，則式（1）可表示為：

其中，

1.2 航天器軌道動力學系統

考慮由N個跟隨航天器和M個領隊航天器組成的系統，第i個跟隨航天器的動態方程為：

式中，Xi∈Rn、Yi∈Rq分別為跟隨航天器的系統狀態和系統輸出；fai∈Ra為執行器故障；fsi∈Rs為傳感器故障；Da∈Rn×a、Ds∈Rq×s分別為執行器和傳感器的常數矩陣。

第k個領隊航天器的動態方程為：

式中，Xk∈Rn、Yk∈Rq分別為領隊航天器的系統狀態和系統輸出，k=1,2,…,M。

航天器之間的通信拓撲圖由G(ν,E)表示，其中ν表示航天器，E表示兩個航天器之間的連線。對于包含N個航天器的系統，鄰接矩陣定義為A=[aij]N×N∈RN×N。若存在從航天器j向航天器i的連線，則aij=1；否則aij=0。拉普拉斯矩陣L=[lij]N×N定義為，當i≠j時lij=-aij。

假設1：航天器之間通過有向圖進行信息交互，通信拓撲圖是連通的，并且領隊航天器至少與一個跟隨航天器單向通信。

假設2：執行器故障fa是未知但有界的，一階導數滿足

假設3：傳感器故障fs是未知但有界的。

定義1[19]對于多航天器系統（3）,當滿足以下條件時，此系統可利用控制器u(t)=KX(t)實現L2干擾抑制。

（1）當fa(t)≡0且fs(t)≡0時，系統（3）是漸近穩定的。

（2）當fa(t)和fs(t)不 為0時，對 于 任 意t≥t0≥0，存 在 標 量κx使

其中，正標量(t0)由t0時刻系統的初始狀態所決定，并且增益方程(·)是正定的。

引 理1[20]對 于 一 個 正 定 矩 陣P，以 及 系 統 狀 態x:[a,b]→Rn，其 中a,b∈R并 且b＞a，則：成立。

引理2[21]對于一個正定矩陣P，以下等式成立，其中，α＞0是一個標量，并且R=-AT P-PA+αP。

在此基礎上，如果R是一個正定矩陣，那么對于?t＞0有eATt PeAt≤eat P。

本文的控制目標是為多航天器系統設計基于自適應廣義觀測器的編隊包含控制算法，使跟隨航天器能夠對領隊航天器實現編隊跟蹤和包含。

2 編隊包含協同控制算法

2.1 自適應廣義觀測器設計

自適應廣義觀測器設計為：

由此可知：

根據式（5）中的第一個方程和式（7）中的第一個方程，可得：

定義第i個觀測器的觀測器誤差為：

式中，exi(t)是第i個觀測器的系統狀態估計誤差；eωi(t)是第i個觀測器的傳感器故障估計誤差。

定義第i個觀測器的執行器故障估計誤差為：

根據式（8）-（9），可得：

由于ω(t)和f.(t)是有界的，通過選擇增益矩陣L，使為Hurwitz矩陣，觀測器誤差可以收斂到零的鄰域，并且通過增大M矩陣和αa的值能夠提高觀測器性能。

2.2 編隊包含協同控制器設計

編隊跟蹤誤差定義為：

式中，hi(t)為隊形向量；σk為大于零的常數且滿

χi(t)的導數可表示為：

基于觀測器輸出的系統狀態估計值，編隊包含協同控制器設計為：

式中，K∈Rq×n為控制器增益矩陣；vi(t)滿足Bvi(t)+Ahi(t)-h?i(t)=0。

基于上述定義的觀測器誤差和編隊跟蹤誤差，式（15）可進一步表示為：

將控制器（16）代入式（14）得：

引理3[22]由假設1可得，Lˉ為正定矩陣，并且可以構造一個正定對角矩陣G=diag{α1,α2,…,αN}滿足不等式其中為大于零的常數。

控制器增益矩陣K設計為：K=-BTP1，其中P1為正定矩陣。

2.3 算法一致性與穩定性分析

在給出算法一致性分析之前，給出如下引理，便于后續的證明。

引理4式（17）中‖Δ‖2項的上界為其中ρ滿足以下不等式：

定理1在滿足假設1、2和3的條件下，如果存在正定矩陣P1、P2以及常數κi,κx＞0，i=1,2,…,8，使矩陣不等式式（19）-（22）成立，多航天器系統（3）和（4）可在自適應廣義觀測器（6）和編隊包含協同控制器（15）下實現L2容錯編隊包含控制。

證 明Lyapunov函 數 設 計 為V=V1+V2+V3，其 中V1=χT(G?P1)χ，V2=eT(I?P2)e，V3=

將V1對時間求導可得：

根據引理3可得：

將V2對時間求導可得：

根據式（22），將V3對時間求導可得：

將V對時間求導可得：

根據Schur補引理，不等式（23）可被轉化為H1＜-κx I。結合矩陣不等式（19）-（21），可得：

（1）當執行器和傳感器不存在故障時，fi(t)≡0,ωi(t)≡0，可得且ι=0，故(t)＜0。由此可知，系統編隊跟蹤誤差收斂到零。

（2）當執行器和傳感器存在故障時，fi(t)∈Lm2[0,∞)和ωi(t)∈Lm2[0,∞)不為零，對不等式（24）積分可得:

3 仿真研究

多航天器系統由兩個編號為5、6的領隊航天器和四個編號為1-4的跟隨航天器組成。航天器之間的通信拓撲圖如圖1所示。

圖1 航天器之間的通信拓撲圖

領隊智能體與跟隨智能體的通信矩陣為B=diag{2,0,0,0}。領隊航天器和跟隨航天器的初始狀態設定為：

初始狀態前三項表示航天器在三個軸上的坐標，后三項表示航天器在三個軸上的速度。

航天器質量均為40 kg，在高度為1 000 km的近地圓軌道運行，平均速率設定為ω0=0.001。航天器采用反作用力飛輪作為執行器，采用加速度計作為傳感器。執行器和傳感器故障的系數矩陣設定為Da=[0,0,0,0.05,0.05,0.05]T，Ds=[0,0,0,1,1,1]T。

為了便于控制算法的驗證，選取滿足假設2的執行器漂移故障fa(t)=0.2sin(t)，以及滿足假設3的傳感器測量噪聲均值為0，且方差為0.5的隨機信號。

編隊跟蹤誤差中的參數設定為σ5=0.75，σ6=0.25，即航天器5的狀態信息對跟隨者更重要。隊形向量設定為

隊形向量前三項表示航天器在三個軸上相互之間的距離，后三項表示航天器在三個軸上速度的差值。多航天器系統在X-Y平面進行編隊包含控制，由于航天器在Z軸上的坐標各不相同，故不存在碰撞的可能性。

非奇異矩陣設置為M=100×I6，并且選擇適當的L矩陣使是Hurwitz的，即特征值實部均為負數。設定學習速率矩陣為αa=100，通過求解定理1中的矩陣不等式條件，可得Ka=0.1，并且控制器增益矩陣為：

航天器的運動軌跡如圖2所示。圖2中，標記了t∈{0,200,300,400,500}s處的位置，領隊的位置用星號標記，隊形的中心用三角形標記，跟隨者的位置用圓圈標記。航天器的執行器故障及其估計值如圖3所示。從圖2可以看出，基于自適應廣義觀測器的編隊包含協同控制算法下，隊形的中心更靠近航天器5，并且領隊與跟隨者可以實現并保持預定隊形。從圖3可以看出，估計的執行器故障與真實值在短時間內達到一致。

圖2 航天器的運動軌跡

圖3 航天器的執行器故障及其估計值

自適應廣義觀測器下航天器位置和速度的估計誤差如圖4-5所示。從圖4-5可以看出，在選擇適當觀測器參數的情況下，估計誤差可以達到有界收斂。

圖4 航天器位置估計誤差

航天器的控制力曲線如圖6所示。從圖6可以看出，控制力在短時間內收斂到了零的鄰域，為了保持時變編隊，航天器的控制力矩不為零。

圖6 航天器的控制力曲線

當多航天器系統存在執行器和傳感器故障時，采用基于自適應廣義觀測器的編隊包含協同控制算法，使跟隨航天器跟蹤并包圍領隊航天器，實現魯棒控制的目的。

圖5 航天器速度估計誤差

4 結論

針對執行器和傳感器故障下的多航天器編隊飛行問題，提出了基于自適應廣義觀測器的編隊包含協同控制算法，實現了對系統狀態和故障的估計，進而使航天器形成并保持預設編隊的包含關系。通過仿真案例，驗證了所提出算法在多航天器系統協同控制中的有效性。