努森真空泵內部流導的蒙特卡洛模擬

＊王范宇 柯杰坤 譚麗萍 盧葦

（廣西大學機械工程學院 廣西 530004）

微機電系統（MEMS）的興起要求真空泵逐步向微型化發展，結構簡單且無運動部件的努森泵逐漸成為一種具有競爭力的微型真空泵[1]。Vargo and Muntz[2]定性研究了努森泵的運行特性，并且證實了將努森泵用作微尺度和宏觀尺度真空泵的可行性。Kugimoto等[3]指出需要多級串并聯提高泵送性能?？紤]努森真空泵抽速問題，通常采用多個微通道并聯或者多孔膜來增加真空泵的抽吸能力。

流導對于真空系統有著重要意義。鑒于努森真空泵內部的微通道中也存在流導，可見其流導性能也是此類真空泵固有的重要參數。王博韜等[4]研究熱流逸效應抽真空特性后發現，微通道的流導在很大程度上影響著抽氣時間、抽速等性能指標。當前大多運用半經驗公式來計算流導，場合不同，修正系數也要隨之校正，使得計算結果較復雜且容易受其他因素產生較大影響。故嘗試采用蒙特卡洛方法計算流導，或將有助于我們更深入地認識這類真空泵的運行機制，進而為其優化設計及應用提供指導。

1.努森真空泵內部流導的蒙特卡洛模擬建模

(1)模擬對象

圖1為努森真空泵的結構示意圖，當微通道的特征尺寸與氣體分子平均自由程度相當或更小且沿壁面切線方向存在溫度梯度時，內壁周圍的氣體分子會自發地向溫度升高的方向進行蠕動，隨著流動的發展，熱端與冷端形成壓差后又產生由熱端流向冷端的壓力驅動流，這一現象稱為熱流逸效應。根據該效應，當微通道冷端連接密閉空間而熱端連接外界（可以是大氣、也可以是另一空間）時，密閉空間內的氣體分子會源源不斷被抽出，從而使其內的壓力不斷降低而形成真空。

圖1 努森真空泵的結構及熱流逸效應

微通道的流導是影響努森真空泵效率的一個重要因素。當熱流逸效應發生時，氣體流動處于稀薄狀態，分子之間的碰撞可以忽略，此時計算相對較為簡單。

本文只考慮矩形截面微通道內氣流的幾何要素，氣體的溫度和壓力等其他非幾何要素折合為管口入口流導Cmk處理[5]。這樣便能夠把幾何要素和非幾何要素分別研究。矩形微通道管口流導就是氣體分子通過微孔的流導，即：

式中，Aa為微通道的截面積，m2；k為玻爾茲曼常數，k=1.380649×10-23J/K；Tavg為微通道的平均溫度，K；m為氣體分子的質量，kg。

幾何要素包括微通道的特征尺寸和氣體分子的幾何運動。氣體分子的流動區域與微通道特征尺寸相關，根據努森數Kn來劃分。Kn定義為：

式中，λ為氣體分子平均自由程，m；Lr為微通道的特征尺寸，m。

微通道內氣體運動達到平衡時兩端的壓力和溫度關系可參考文獻[6]。

(2)蒙特卡洛模擬過程

參考圖2，入射點為入射面XOZ上的隨機一點，對應坐標（x0,0,z0）；分子入射遵循余弦定律；μ1、μ2、μ3分別代表分子入射方向向量在X、Y、Z軸上的向量分量；L、W、H分別為微通道截面矩形的長、寬、高；①②③④分別為矩形微通道的4個壁面。

圖2 氣體分子碰撞模型及其入射參數

對于上述入射參數，建立如下隨機數量關系：x0=Wδ1，z0=Hδ2；μ1=sinδ3·cosδ4，μ2=sinδ3·sinδ4，μ3=cosδ3，式中的δi均為[0,1]區間的隨機數。再根據x1=x0+α1μ1，y1=y0+α1μ2z1=z0+α1μ3（α1為第一次運動步長）計算出第一次運動后的碰撞點（x1，y1，z1）。如此時y1≥L，則說明未產生碰撞直接從出口面射出。否則，再以此點作為新的入射點，建立新的入射方向向量，模擬一次新的運動，以此類推，直至yi超出[0，1]的區間。

圖3為模擬流程，取模擬分子總數N= 100000；n為射出出口面的分子數；k為射入入口面的分子數；Cmk為管口入口的流導，m3/s；Cm為矩形微通道的流導（自由分子流下），m3/s。第一次運動氣體分子有4種碰撞情況未從出口面射出，第二次運動及往后均有3種情況，因此經過M次運動每個分子一共有4×3M-1種情況。

圖3 模擬流程

2.微通道流導的模擬結果分析

(1)矩形微通道流導的模擬結果分析

蒙特卡羅模擬僅與微通道的相對尺寸相關。本文取微通道的W為定值，以微通道的L/W和H/W作為變量進行分析。

不同長寬比下矩形微通道高寬比對流導的影響見圖4，若L/W一定，隨著H/W的增大，矩形微通道的流導也將基本趨于線性增大。例如，當L/W=20時，取H/W=1到10的區間，其流導增長率為4.60×10-24m3/s。此外，隨著L/W值越大（即管路越長的時候），流導雖然也會隨著H/W增大而增大，但是增長率卻越來越小，如在L/W=800時，流導的平均變化率僅為2.45×10-25m3/s。

圖4 矩形微通道高寬比對流導的影響

不同高寬比下矩形微通道長度對流導的影響見圖5，矩形微通道的流導隨L的增大而減??；當L較小時，H/W越大流導越小，但隨著L的增大，H/W對流導的影響越小。如以L=20nm為例，當H/W=1、5、100時，其流導分別為5.39×10-23m3/s、5.07×10-23m3/s、9.71×10-24m3/s，取H/W=1為參照，H/W=5和H/W=100時相對于參照的變化率約為-6.02%和-81.99%。若以L=800nm為例，當H/W=1、5、100時，其流導分別為1.91×10-24m3/s、1.84×10-24m3/s、1.17×10-24m3/s，取H/W=1為參照，H/W=5和H/W=100時相對于參照的變化率約為-3.51%和-61.40%。

圖5 矩形微通道長度對流導的影響

因此由流導性能作為切入點，增大努森真空泵微通道的截面積能更好地提升流導性能；且在截面積相同的情況下令H/W盡可能接近1，此時短微通道具有顯著優勢。

(2)不同形狀微通道流導的模擬結果對比分析

三種截面形狀下微通道長度對流導的影響見圖6?？梢姛o論何種截面形狀的微通道，流導都隨著L的增加而減小且變化率基本一致；圓形截面的流導性能要優于橢圓形和矩形，但隨著L的增加截面形狀對流導的影響越小。如L=20nm時，矩形和橢圓形微通道的流導與圓形微通道的流導分別相差約1.13×10-23m3/s和1.44×10-23m3/s；而L=800nm時，矩形和橢圓形微通道的流導與圓形微通道的流導分別相差僅約5.70×10-25m3/s和1.40×10-25m3/s。

圖6 三種截面形狀下微通道長度對流導的影響

因此在設計努森真空泵時，應采用圓形截面微通道。

(3)模擬結果與計算結果對比分析

矩形微通道流導模擬結果與計算結果對比見圖7。微通道長度Lx=10-9m時，蒙特卡洛模擬結果與公式計算結果相對誤差僅僅為1.31%，但是在微通道長度Lx=3×10-8m時，模擬結果與公式計算結果相對誤差為9.58%。這是因為蒙特卡洛模擬是一種概率統計的模擬，這種誤差會隨著模擬分子數的增加而減小，但模擬無限個分子僅限于理想理論假設，是無法實現的，故本身就會存在固有誤差；其次，在短微通道的流導計算中，微通道的管口效應是不可忽略的，且短微通道的流導計算只能用近似方法進行計算，無明確公式?？梢妰煞N結果之間還存在一定的誤差，但是模擬結果與公式計算結果的趨勢基本相同且誤差在允許范圍之內，因此蒙特卡洛模擬方法用于研究微通道流導是可行的。

圖7 模擬結果與公式計算對比

3.結論

本文研究了矩形微通道高寬比和長度對其流導的影響，比對了三種截面形狀流導性能，并驗證了蒙特卡洛模擬方法計算微通道流導的可行性。主要結論如下：

（1）長度一定時，流導會隨著高寬比的增大而近乎線性增大，但隨著長度增大，其變化率越??；高寬比一定時，流導會隨著長度的增加而衰減，但隨著長度增大，由高寬比對流導產生的影響越來越??；此外，無論何種形狀截面的微通道，其長度對流導的影響趨勢基本一致；蒙特卡洛模擬結果與公式計算結果還存在一定誤差，但變化趨勢大體相同。

（2）運用蒙特卡洛模擬方法求微通道流導是可行的；短微通道較長微通道的流導性能更優，增大截面積并盡可能令高寬比等于1可顯著提升流導性能；三種截面形狀對比下圓形截面微通道的流導性能總是最佳。