基于MRAS-DCQGA算法的空氣靜壓軸承伺服系統辨識及參數整定

蔣大偉，李加勝，劉品寬

（上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240）

1 引言

氣體軸承一般分為空氣靜壓軸承和空氣動壓軸承，由于氣體潤滑具有摩擦極小、工作精度高的特點，所以空氣靜壓軸承具有高運動精度、高轉速、無摩擦、無污染等優點，在紡織工業、搬運包裝、電子及半導體、計量及超精密機床、渦輪機、食品機械及醫療機械等領域得到了廣泛應用[1]。

為了保證空氣靜壓軸承的靜態、動態特性，在空氣靜壓軸承的設計階段，運用合理的方法分析其性能參數及壓力曲線可以保證空氣靜壓軸承的設計性能[2]。其主要的分析方法可概括為解析法、數值計算方法和實驗法。

解析法主要基于Reynolds方程和Harrison方程以及后來學者提出的不同的模型，數值方法主要包括工程簡化算法（ESA）、有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、計算流體動力學（CFD）以及多物理場耦合方法（MPCM）。然而，當空氣靜壓軸承作為伺服系統的組成部分，為了提高伺服系統的控制精度，辨識空氣靜壓軸承伺服系統的參數至關重要，即把空氣靜壓軸承與驅動單元當作整體進行系統參數辨識。

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）屬于典型的非線性系統，具有多變量、強耦合的特點。PMSM的矢量控制策略不僅可以實現解耦控制，控制方法簡單，而且提高了PMSM的運動性能。

常用的系統辨識方法包括遞推最小二乘法（RLS）、卡爾曼濾波法、模型參考自適應系統（MRAS）、神經網絡、遺傳算法等。由于MRAS設計方法簡單靈活，而且辨識精度高，廣泛用于電機伺服系統的辨識。文獻[3]基于MRAS辨識了無速度傳感器的異步電機的轉速，并采用量子遺傳算法進行了矢量控制系統的PI調節器參數的優化。

文獻[4]結合了MRAS 和RLS 算法的優缺點，運用改進的MRAS-RLS 算法辨識了永磁同步電機的參數，實驗結果表明改進的MRAS-RLS算法提高了辨識精度。文獻[5]在無速度傳感器的感應電機的矢量控制系統中運用MRAS進行了轉速的辨識，仿真與實驗結果表明，MRAS能較好的估計出電機的磁鏈及轉速，且表現出良好的穩態辨識特性。

文獻[6]根據電機定子電壓和電流設計了辨識異步電機的轉速的MRAS算法，仿真結果表明，設計的MRAS速度辨識模型具有較好的精度和動態特性。文獻[7]提出了結合遞推最小二乘法和模型參考自適應法的轉子電阻在線辨識方法，并進行了仿真與實驗研究。

文獻[8]針對PMSM系統辨識的欠秩問題，提出了MRAS級聯辨識模型，仿真結果表明，MRAS 級聯辨識模型準確的估計出PMSM的轉速，且表現出良好的動靜態性能。

文獻[9]結合滑模變結構法和MRAS的優點，提出了一種估計PMSM轉速的新方法，仿真結果表明提出的方法能夠快速精確的估計電機的速度。

文獻[10]基于復合式滑模變結構模型參考自適應方法辨識了異步電機的轉速，仿真與實驗結果表明，提出的辨識方法動態性能良好，具有工程實用價值。

文獻[11]結合最小二乘法和MRAS在線辨識了PMSM 的定子電阻、電感與轉子磁鏈，仿真結果表明，改進的辨識方法保證了辨識精度的同時提高了辨識速度，而且抑制了動態過程的振蕩。

此外，還有許多學者對MRAS方法進行了研究與創新。雖然科研人員運用MRAS進行了電機系統的控制及辨識，但是辨識精度與控制性能仍需進一步提高，從而提高伺服控制系統的性能。這里基于MRAS進行了空氣靜壓軸承伺服系統的參數辨識，運用Popov超穩定性理論設計了自適應律，并采用雙鏈量子遺傳算法對自適應律的常數項和PI調節器系數進行了優化。

2 永磁同步電機的數學模型

一般建立PMSM的數學模型假設如下[12]：不考慮電機的渦流和磁滯損耗；不考慮電機鐵芯飽和工作狀態；轉子沒有阻尼繞組；忽略磁場的空間諧波影響，永磁體磁場和三相繞組的電樞磁場沿氣隙正弦分布。

dq坐標系下PMSM的數學模型表示為：

式中：id、iq—定子電流的d軸和q軸分量；ud、uq—定子電壓的d軸和q軸分量；R—定子電阻；Ls—定子電感，且本實驗的電機電感滿足Ld=Lq=Ls；ωr—轉子角速度；ψf—永磁體磁鏈。進一步整理為如下形式：

電磁轉矩方程：

式中：pn—電機極對數，其他變量含義同上。

3 模型參考自適應系統

MRAS算法的結構框圖，如圖1所示。在這里MRAS框圖由參考模型PMSM、可調模型和自適應律構成。

圖1 MRAS算法的結構框圖Fig.1 Block Diagram of MRAS

由于本試驗臺采用PMSM驅動空氣靜壓軸承平臺，所以將空氣靜壓軸承與PMSM當成整體來進行系統參數辨識，即參考模型PMSM考慮了空氣靜壓軸承的作用。

可調系統模型表示為：

自適應律的設計理論一般包括梯度法、Lyapunov 穩定性理論、Popov超穩定性理論、尋優定理等，使兩個模型的誤差逐漸收斂到0，即lime(t)=lim[i-]=0。這里采用Popov 超穩定理論設計了自適應律，Popov超穩定理論設計時變系統的標準非線性框圖，如圖2所示。

圖2 標準非線性時變反饋系統框圖Fig.2 Diagram of Standard Nonlinear Time Variable Feedback System

當系統輸入r=0，則u=-w，廣義誤差方程為：

在系統狀態空間表達式能控能觀的前提下，系統保持穩定的前提為系統傳遞函數嚴格正實，根據Popov超穩理論，該反饋系統保持穩定等效于滿足條件[13]。

代入廣義誤差方程，則Popov不等式可以整理為：

一般自適應律設計為PI控制器的形式[14]，自適應律可以表示如下：

當lime(t)=lim[i-]=0，則可調模型趨近于參考模型，觀察自適應律的表達式易得，常數項值直接影響到參數辨識的精度，而三組PI調節器的參數Ki（i=1,2）會影響到參數辨識的動態特性。

下面將通過DCQGA算法進行自適應律的常數項及PI調節器的參數優化，在保證辨識精度的前提下減輕人工調節參數的工作量。

4 雙鏈量子遺傳算法

對比于傳統的遺傳算法，量子遺傳算法雖然沒有交叉、變異操作，但是由于量子染色體中的量子態的疊加天生具有個體多樣性，量子遺傳算法比普通的遺傳算法具有更好的種群多樣性和收斂性。

目前，量子遺傳算法多采用基于量子位測量的二進制編碼方式，通過改變量子比特相位實現進化。

而雙鏈量子遺傳算法（DCQGA）是一種連續空間優化的基于實數編碼的進化算法，且引入了目標函數的梯度信息，避免了普通的量子遺傳算法進化過程中的隨機性和盲目性。算法的流程，如圖3所示。

圖3 DCQGA算法流程圖Fig.3 Flow Chart of DCQGA

算法的具體過程描述[15-17]：

（1）初始化量子種群，設置轉角步長初值θ0，變異概率pm

在DCQGA中，采用雙鏈量子位概率幅編碼：

式中：tij=2π×rand，rand—隨機數函數。i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；m—種群規模；n—量子位數。

可以將每個量子位的概率幅看成并列的基因鏈，每條染色體中包含兩條基因鏈，而每條基因鏈代表一個優化解，即：

式中：i=1，2，…，m；pic—余弦解；pis—正弦解。按式（11）進行量子種群的初始化。

（2）解空間變換

（3）計算線性變換后的各量子染色體的適應度

這里選擇參考模型與可調模型的誤差的絕對積分作為適應度函數，即：

通過等間隔記錄T時間內的絕對誤差積分作為不同的量子染色體的適應度值，絕對誤差積分值越小說明該組量子染色體的適應性越強。

（4）運用量子旋轉門更新量子位

量子旋轉門定義為：

轉角方向的確定：

令α0和β0是當前搜索到的全局最優解中某量子位的概率幅，α1和β1是當前解中相應量子位的概率幅，記A=則當A≠0時，轉角θ的方向為-sgn(A)；當A=0時，轉角θ的方向取正負均可。

轉角大小的確定：考慮可微目標函數的變化率，利用梯度定義轉角的步長函數為：

式中：xp、xc—父代和子代的量子染色體。

（5）量子非門變異處理

采用量子非門實現量子染色體的變異，隨機選擇一條染色體，然后隨機選擇若干個量子位施加量子非門變換，使該量子位的兩個概率幅互換。

設某一量子位幅角為t，變異后的幅角為π/2-t，即幅角正向旋轉了π/2-2t。

（6）判斷是否滿足收斂準則，或者達到最大迭代限制，否則返回（2）。

5 仿真

為了驗證MRAS-DCQGA 算法的性能，這里基于MATLAB SIMULINK平臺進行了算法的仿真。仿真中的PMSM參數，如表1所示。

表1 永磁同步電機參數Tab.1 Parameters of PMSM

根據PMSM 的數學模型及MRAS-DCQGA 算法的描述過程建立了Simulink仿真框圖，如圖4所示。

圖4 MRAS-DCQGA算法的Simulink仿真框圖Fig.4 Simulink Diagram of MRAS-DCQGA

采用id=0的控制方法實現了PMSM的解耦控制。

由自適應律的式（8）～式（10）辨識R、Ls、ψf時需要整定3組PI調節器的參數及常數項，仿真實驗中每組參數運行時間為0.5s，即適應度的采樣周期為0.5s。

DCQGA算法與傳統的遺傳算法整定參數進行了對比實驗，兩種算法的種群規模均為10，尋優迭代100次。

適應度曲線，如圖5（a）所示，明顯的看出傳統的遺傳算法存在早熟缺點，易于陷入局部最優，而DCQGA算法具有較好的全局搜索能力。

算法整定的參數結果與辨識，如表2所示。

表2 參數整定結果與辨識值Tab.2 Tuning Results and Identification Value

可以得出DCQGA 算法的參數辨識值優于GA 算法的辨識值。參數辨識曲線，如圖5（b）～圖5（d）所示。

圖5 （a）為適應度曲線，（b）、（c）、（d）為參數辨識曲線Fig.5 （a）Fitness Curve，（b）、（c）、（d）the Identification Results

6 結論

這里設計了用于空氣靜壓軸承伺服系統辨識的MRAS-DCQGA算法，針對自適應律參數多、整定難的問題，應用雙鏈量子遺傳算法進行了參數自整定優化。

通過傳統的遺傳算法和DCQGA算法的對比仿真實驗，DCQGA算法表現出良好的全局搜索能力，由于該算法中引入了目標函數的梯度信息，所以DCQGA算法收斂速度快且動態特性穩定。從辨識結果中得出，在合理的誤差范圍內MRAS-DCQGA算法性能滿足要求。