拉普拉斯-龍格-楞次守恒量在天體運動中的應用*

李開瑋 劉順彭 趙亞運

(廣東理工學院智能制造學院 廣東 肇慶 526100)

張智明

(廣東理工學院大學物理實驗中心 廣東 肇慶 526100)

當物體受到平方反比的有心力作用時，有一些物理量是守恒量，如角動量守恒、機械能守恒，除此之外還存在另一個守恒量Laplace-Runge-Lenz矢量(以下簡稱LRL矢量)，該矢量在經典力學、電磁學、量子力學中有著廣泛的應用[1,2]，能夠使許多物理問題的求解得到極大的簡化，本文討論LRL矢量在天體運動問題中的應用.

在天體運動中，天體受到萬有引力作用，其動力學方程為

(1)

其中k=GmM，LRL矢量為

(2)

1 LRL守恒量的證明

如圖1所示，地球位于橢圓右焦點F(c,0)，衛星在地球引力下運動軌跡為橢圓.

圖1 天體運動示意圖

設衛星軌跡方程為

(3)

參數方程為

(4)

設衛星在近地點速度為v1，遠地點速度為v2，根據機械能守恒

(5)

又根據角動量守恒可得

(a-c)mv1=(a+c)mv2

(6)

由式(5)、(6)解得

(7)

將式(7)代入式(5)可得衛星機械能為

代入式(6)可得角動量大小為

(8)

其方向與衛星旋轉方向構成右手螺旋關系.

設衛星在軌跡上任一點速度為v，可得

(9)

r=a-ccosθ

(10)

由式(9)、(10)解得

(11)

相對于地球(焦點處)位置也可以用矢量表示

r=(acosθ-c)i+bsinθj

(12)

衛星動量與角動量相互垂直，由式(8)、(11)可得

(13)

(14)

由式(10)、(14)可得

(15)

由式(14)、(15)可得LRL矢量

(16)

因此LRL守恒量與橢圓離心率相關，方向為橢圓長軸指向近地點的方向.這說明了LRL矢量能夠確定天體運動的軌跡形狀及長軸的指向，而事實上由LRL守恒量也可以很方便地推導出天體運動軌跡

A·r=(p×L)·r-mkr=
L2-mkr=Arcosφ

(17)

由式(17)可得

該式即為離心率為e的橢圓軌跡方程極坐標系下表達式.

接下來利用LRL守恒量解決2021年物理杯競賽中一道天體運動問題，體現LRL守恒量在簡化計算方面的技巧.

2 LRL守恒量的應用

【2021年物理杯試題】一個彗星，在自己的軌道上兩個點的速度矢量分別是v1和v2，這兩個速度矢量滿足：(1)互相垂直;(2)|v1|=2|v2|.請問，這個彗星的軌道可能的離心率e最小是多少？

分析：該道題要求最小的離心率，給出的已知條件為軌跡上兩點的速度關系，離心率與軌道形狀有關，能夠把離心率、速度聯系在一起的就是LRL守恒量，如圖2所示為這兩點的LRL守恒量的幾何圖像，因為v1⊥v2，|v1|=2|v2|，角動量L為z軸方向的守恒量，故兩點處|p1×L|=2|p2×L|，(p1×L)⊥(p2×L)，由于兩點處的LRL矢量相同，可以將兩點處的LRL幾何圖像平移到一起，如圖3所示，OC為LRL矢量，AC和AO分別為速度為v1處的(p1×L)和mkr10，BC和BO分別為速度為v2處的(p2×L)和mkr20，其中r10，r20為兩點處的徑向單位矢量，圖3中有幾何條件：AO=BO；AC=2BC；AC⊥BC.該圓半徑即為mk，連接AB，并取其中點D，連接OD和CD，可得以下幾何結論.

圖2 彗星在軌跡上兩點的LRL矢量

圖3 兩點LRL矢量合并圖

(18)

(19)

在△ODC中根據余弦定理有

(mke)2=(mksinδ)2+(mkcosδ)2-
2(mk)2sinδcosδcosφ

(20)

(21)

(22)

(23)

3 討論與總結

LRL矢量與角動量一樣是一個守恒量，是平方有心力系統的一個結論，而且更進一步生動地反映了天體運動的軌跡形狀及長軸的指向，其結果中有離心率參數，LRL中包括了天體的速度、角動量、位置矢量，利用LRL矢量可以方便地將許多物理問題幾何化，使求解簡潔，計算量大大減小.