惠斯通電橋的橋臂電阻在考慮測量精度下的選擇

徐佳琪，邵 云

(南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171)

惠斯通電橋是一種常用的測量普通中值電阻的儀器與方法，其主要思想是補償的思想，有效地避免了中學物理中伏安法測電阻的安培表內接與外接的引入誤差，因此具有較高的精確度。但是惠斯通電橋依然存在結構設計上的系統誤差，主要體現在橋臂阻值的選擇所導致的靈敏度誤差和電阻阻值本身的誤差。

盡管此前已有多名學者在研究電橋的精確度時，針對電橋的靈敏度進行了詳細的探討并得出了定性甚至定量的研究結果，但是他們大多沒有考慮到電阻箱阻值的準確度對于實驗結果的影響[1-4]。本文將同時考慮靈敏度與電阻箱阻值的準確度這兩個方面對于惠斯通電橋測量精度的影響，計算出測量最為精確即系統誤差最小時橋臂的阻值狀況。

1 惠斯通電橋的實驗原理及其靈敏度

惠斯通電橋測電阻的原理如圖1所示，其中Rx為待測電阻，Rs為比較臂，R1、R2為比例臂，電源(設無內阻)電壓設為E，G為檢流計。

圖1 惠斯通電橋的原理示意圖

如圖1，當電橋平衡(B、D兩點等電位，即UBD=0)時，可推導出待測電阻Rx為

(1)

此時電橋的靈敏度必然會影響到測量結果的精確度。根據文獻[5,6]，當使用檢流計檢測電橋平衡時，惠斯通電橋的靈敏度可以表達為

(2)

其中Si為檢流計的靈敏度，Rg為其內阻。

(3)

(4)

2 電阻箱帶來的誤差

實驗室常用的直流多值電阻箱誤差的主要來源是示值誤差ΔR，而ΔR的大小則由電阻箱的準確度f所決定。對于大多數電阻箱來說，由于各檔準確度fj的不同，ΔR的大小表示為[7]

(5)

其中Rj為電阻箱各檔所顯示的電阻值?，F以實驗室常用的可調范圍0～99 999.9 Ω的6檔ZX21型電阻箱為例，其各檔準確度fj值見表1(注：不同廠家數值略有不同)。100.0 Ω電阻的相對誤差顯然為0.1%，而99.9 Ω電阻的相對誤差

則為

可見電阻箱所示電阻的相對誤差并不隨阻值連續變化。

表1 ZX21型電阻箱各檔阻值的準確度 fj

利用Excel軟件，將100～1 000Ω步進5Ω的電阻值及表1中數據代入式(5)，即可計算出其間諸電阻的絕對誤差和相對誤差，進而作出相對誤差隨電阻變化的大致曲線如圖2所示。鑒于曲線呈不連續的鋸齒狀，為了簡化問題從而獲得定性或者半定量的有價值的結果，我們采用了指數函數對該誤差曲線進行了擬合，得到如下近似的相對誤差函數(同樣適用于1 000～10 000Ω)：

(6)

圖2 電阻箱阻值的相對誤差隨阻值的變化曲線及其擬合曲線

因此，由各電阻箱的阻值誤差所帶來的待測電阻Rx的測量相對誤差為

(7)

3 惠斯通電橋的測量誤差

電阻Rx的測量誤差是由電阻箱所產生的誤差和電橋的靈敏度所產生的誤差兩者疊加而成。一般電橋的靈敏度被定義為：檢流計指針偏轉的格數與對應的比較臂電阻的相對變化之比[8]，即

(8)

從式(1)可得，當電橋平衡時有

成立，也即比較臂電阻的相對變化即為待測電阻的相對變化[9]，因此式(8)可以改寫為

(9)

將一般肉眼在明視距離的分辨率Δn=0.2格代入式(9)，即得電橋的靈敏度所帶來的相對誤差：

(10)

于是，根據誤差的疊加法則，惠斯通電橋的總測量相對誤差可以表示為

(11)

將式(4)、(7)代入式(11)，則得以α、β為兩變量的相對誤差表達式：

(12)

(13)

接下來，本文將分別以常見的待測電阻Rx=100Ω,1 000Ω,5 000Ω,10 000Ω為例，通過對式(13)求極(小)值，從而獲得最佳的橋臂電阻比例關系α和β，以及相應的橋臂阻值。

1)當Rx=100Ω時

將Rx=100Ω代入式(13)得

(14)

將式(14)分別對α和β求偏導，并令其結果皆為零，則得

(15)

(16)

(17)

(18)

從理論上講(見式(14))，此時Rx的測量相對誤差最小，值為1.831×10-3。

數據表明，在上述理想的比例臂阻值附近，Rx的相對誤差隨各電阻值的變化是十分緩慢的。因此，在實際的操作中，R1和R2的取值可以分別在765Ω和6 251Ω左右浮動?？紤]到實際電阻的臺階狀誤差(非擬合函數式(6)，見圖2)，R1和R2應盡可能取鄰近的整值電阻(百歐姆的整數倍，下同)，比如分別取800Ω和6 300Ω，這樣處理，最終的實際相對誤差，有可能會比取765Ω和6 251Ω時的理論相對誤差極小值1.831×10-3還要小或者大致相當。本文求極值所得理論結果式(17)、(18)的價值，在于從總體趨勢上確定大致最佳的橋臂比例或阻值，為實驗操作提供理論上的指導，但是式(17)、(18)本身并不具備嚴格而絕對的意義。事實上，當R1、R2分別取800Ω、6 300Ω時，可算得Rs=787.5Ω,α=8,β≈0.127 0；再根據表1、式(11)中的電阻誤差表達式、式(14)中的靈敏度誤差表達式，即可算得此時電橋嚴格的相對誤差值為1.848×10-3，它與上文理論上的最小值1.831×10-3大致相當，僅相差1.7×10-5的相對誤差。

2)當Rx=1 000Ω時

將Rx=1 000Ω代入式(13)得

(19)

將式(19)分別對α和β求偏導，并令其結果皆為零，則得

(20)

(21)

(22)

(23)

在本文的理論上(見式(19))，此時Rx的測量相對誤差最小，值為1.768×10-3。

與上例同理，在實際的操作中，R1和R2可以分別取附近的1 600Ω和2 500Ω。經計算，此時電橋的實際相對誤差為1.780×10-3，與理論上的極小值大致相當。

3)當Rx=5 000Ω時

將Rx=5 000Ω代入式(13)得

(24)

將式(24)分別對α和β求偏導，并令其結果皆為零，則得

(25)

(26)

(27)

(28)

從理論上講(見式(24))，此時Rx的測量相對誤差最小，值為1.807×10-3。

與上文同理，在實際的操作中，R1和R2可以分別取附近的2 500Ω和1 300Ω。經計算，此時電橋的實際相對誤差為1.793×10-3，比理論上的極小值還要小一點。

4)當Rx=10 000Ω時

將Rx=10 000Ω代入式(13)得

(29)

將式(29)分別對α和β求偏導，并令其結果皆為零得

(30)

(31)

(32)

(33)

從理論上講(見式(29))，此時Rx的測量相對誤差最小，值為1.889×10-3。

與上文同理，在實際的操作中，R1和R2可以分別取附近的3 000Ω和800Ω。經計算，此時電橋的實際相對誤差為1.875×10-3，同樣也比理論上的極小值小一點。

4 補充說明

如果檢流計的指針很細且測量觀察十分小心，則檢流計的人眼分辨率可以達到Δn=0.1格，那么上文第3節中由靈敏度所帶來的測量誤差將減小一半。在對相應的公式作出微調后，按照同樣的方法，可以數值求得R1、R2在理論上的最佳電阻值，如表2所示。由于此時電橋的靈敏度誤差權重減小了許多，因此電阻箱的誤差權重勢必增大不少。按照上文的理論分析，包括電阻箱的誤差總體隨阻值的增大而減小的結論可知，此時R1、R2的理論最佳阻值，相較第3節中的結果，理應增大不少，并且相應的總誤差勢必減小(靈敏度誤差減小了)。當然，在實際操作時，R1、R2同樣可以取最佳值附近的整值電阻。這里有一點需要說明一下：盡管數據表明最終的總誤差一般主要來自電阻箱的阻值誤差，但是這兩種誤差隨R1、R2阻值變化的幅度卻彼此不逞多讓！因此，在通過求總誤差的極小值求R1、R2的最佳阻值時，這兩種誤差的貢獻均必須考慮。

表2 檢流計指針的分辨率為0.1格時R1、R2的理論最佳阻值及相應的測量誤差

需要說明的是，目前市場上大多數ZX21型電阻箱的多檔阻值的準確度相較于本文中的早期產品均有所下降，詳見表3及表1，其阻值的相對誤差隨阻值的變化曲線經計算如圖3所示，易見該變化曲線在1 000Ω位置有一個驟然的下降，這些與圖2中早期產品的變化曲線有著較明顯的區別，主要表現在1 000Ω以下阻值的相對誤差明顯偏大，達到了0.5%～0.8%。因此，在使用這種電阻箱搭建的惠斯通電橋測量電阻時，R1、R2均應選擇在1 000Ω以上，同時設法使Rs也處在1 000Ω以上，這樣才能有效地回避該電阻箱的小值電阻誤差。然而，從嚴格測量的角度講，還是應當首選誤差較小的電阻箱來搭建惠斯通電橋測量未知電阻，因此本文仍然選擇了早期精度較高的電阻箱來計算電橋的理論誤差，進而計算出誤差最(極)小時R1、R2理論上的最佳阻值。

表3 市面上多數ZX21型電阻箱各檔阻值的實際準確度fj

圖3 市面上多數ZX21型電阻箱阻值的相對誤差隨阻值的變化曲線

5 結 語

通過對惠斯通電橋靈敏度的理論研究，發現惠斯通電橋的靈敏度并無極大值或者最大值之說。影響惠斯通電橋的精確度的主要因素有電橋的靈敏度和電阻箱自身的誤差，通常(正常理性地測量)后者最終的影響會更大一些。鑒于電阻箱的誤差曲線呈現不連續的鋸齒狀，為了簡化問題從而獲得定性或者半定量的有價值的結論，本文采用了指數函數對該誤差曲線進行了擬合，從而獲得電阻箱阻值近似的相對誤差函數，進而運用對系統的總誤差求極小值的方法從理論上計算出大致最佳的橋臂比例和阻值。

數據表明，在理想的比例臂阻值附近，Rx的相對誤差隨各電阻值的變化十分緩慢，因此在實際的操作中，R1和R2可以分別取各自理想值附近的整值電阻，如此實驗誤差可能會更小一些或者大致相當。另外，由于我們在做實驗時，一般是將R1、R2固定，通過改變Rs來測Rx的值，因此Rs的最終數值是不確定的，在實際操作時，只需要考慮R1、R2取整值電阻即可，Rs是否取整則無需考慮。

雖然本文的理論結果不盡嚴格，但是本文的研究思路、方法和結論，或可為惠斯通電橋實驗提供一些理論上的指導，亦可為其他相關的理論性研究提供一些線索及參考。本文的思路與方法同樣可以用來計算由市面上的多數ZX21型電阻箱所組建的惠斯通電橋的最佳橋臂阻值R1和R2，本文在此從略。最后，需要特別說明的一點是，本文所計算的總系統誤差或者說總系統不確定度式(11)，屬于合成后的理論統計誤差，經實驗檢驗，它存在著明顯的高估成分，實際的測量誤差往往顯著地小于該理論誤差值，但是這并不妨礙本文的理論意義和價值。