基于軌跡法的氣體箔片軸承動態特性系數辨識

程文杰，柯涵章，肖玲，李明

(西安科技大學 理學院，西安 710054)

氣體箔片軸承(Gas Foil Bearing，GFB)利用環境氣體作為潤滑介質，通過動壓效應在軸承表面產生氣膜壓力使轉子懸浮，具有污染小，精度高，噪聲低，工作溫度范圍廣，耐沖擊等優點，在透平機械、高速電動機、渦輪壓縮機等領域應用效果良好[1-4]。

當GFB受到外部因素影響時，轉子會隨載荷的變化在軸心附近振動，軸承的動態特性系數(動態剛度系數和動態阻尼系數)能反應轉子受外載荷作用下氣膜力與位移和速度之間的內在聯系[5]，有必要探討GFB的動態特性系數計算方法[5]。

國內外學者對GFB的動態特性系數計算做了一定研究：文獻[6]基于攝動法的思想，用動態剛度系數、動態阻尼系數表征GFB 在靜態工作點鄰域內的支承力；文獻[7]采用偏導數法計算了GFB的動態特性系數，結果表明動態特性系數僅與轉子擾動頻率、軸承靜載荷及軸承數有關；文獻[8]建立了GFB的完全氣彈潤滑耦合解模型，得到了GFB的動態特性系數，結果表明動態特性系數僅與軸承結構參數、靜態工作點參數以及擾動頻率有關；文獻[9-10]將箔片變形和潤滑氣膜的雷諾方程耦合求解，基于攝動法求解GFB的動態特性系數，并采用牛頓-拉弗森迭代法求解，得到了不同偏心率、轉速、擾動頻率及軸承長徑比等參數下的動態特性系數；文獻[11]將箔片等效為彈簧阻尼系統，考慮彈性波紋結構內部的庫侖摩擦效應和相鄰拱之間的相互作用，基于攝動法計算了GFB的線性化剛度和阻尼；文獻[12]搭建了GFB的動態特性測試試驗臺，通過在頻域內求解運動方程分析了激振頻率和轉子轉速對軸承動態特性系數的影響，結果表明軸承主剛度隨激振頻率增大而增大，主阻尼隨激振頻率增大而減小。

上述研究均為基于攝動法計算GFB的線性化剛度和阻尼，即計算給定渦動比下的動態剛度系數和動態阻尼系數，實際工況下GFB的渦動比未知，攝動法僅考慮單個渦動比，而軸承可能存在多個渦動比。此外，限于攝動法的思想，力系數法對處理轉子大范圍運動的問題非常繁瑣。

針對攝動法存在的問題，許多學者采用參數辨識方法得到GFB的動態特性系數：文獻[13]通過測量轉子的質量、力和動力學響應獲得了系統的動態剛度系數和動態阻尼系數，但忽略了外部擾動對系統的影響；文獻[14]通過動態載荷法，將不平衡質量作為系統的激振力，獲得了以激振頻率和轉子轉速為函數的動態特性系數，但計算較為繁瑣；文獻[15]采用未知激勵力的方法研究了多自由度系統的動態特性系數辨識問題，并通過數值仿真驗證了方法的正確性，但計算的動態特性系數是線性的；文獻[16]通過Volterra法和諧響應探頭法辨識軸承的動態特性系數，但只考慮了響應的線性部分而忽略了非線性因素；文獻[17]通過錘擊激振法和攝動法計算軸承的動態特性系數，2種方法結果接近，但錘擊激振法計算過程中假設主剛度相等，交叉阻尼互為相反數；文獻[18]通過改變長徑比、偏心率、軸承數、渦動比等參數，采用攝動法計算GFB的動態特性系數，并利用得到的數據訓練了一個神經網絡模型，基于神經網絡有效地辨識出GFB的動態特性系數，但訓練神經網絡的數據仍是基于攝動法。

參數辨識方法已經有了一定的發展，但均存在一定的缺點。鑒于此，基于時域軌跡法建立氣體箔片軸承-轉子系統的流固耦合動力學模型，并求解簡諧激勵載荷下轉子的瞬態軌跡，最后采用線性簡諧激振法和簡諧激振法辨識出軸承的動態特性系數。

1 基于時域軌跡法的GFB-轉子系統動力學模型及求解

1.1 GFB的基本方程

任意擾動下氣體軸承與轉子的位置關系如圖1所示，等溫動壓氣體潤滑雷諾方程的量綱一化形式為

(1)

Λ=6μω(R/C0)2/pa，

圖1 任意擾動下氣體軸承與轉子的位置關系示意圖

若僅考慮轉子在軸承靜態偏心處的定軸轉動，由于軸承半徑間隙C0遠小于轉子半徑R，忽略高階小量后的氣膜厚度為

h=C0+ecos(φ-θ)，

(2)

式中：e為轉子偏心距；φ為軸承展開角；θ為轉子靜態偏位角。

1.2 瞬態氣膜壓力分布的數值求解

(3)

σ=2Λ。

采用交替隱式迭代法求解(3)式，空間變量的離散采用中心差分格式，時間變量的離散采用向后差分格式，把一個時間步長分為n～n+1/2和n+1/2～n+1。具體過程如下：1)假設已知第n步的氣膜壓力分布，在求解第n+1/2步氣膜壓力分布的過程中，將軸承周向方向φ的偏導數?S/?φ作為未知數，而軸向方向λ的偏導數?S/?λ可以由第n步的氣膜壓力得到；2)在求解第n+1/2步時，則將λ的偏導數作為未知數，而φ的偏導數可以由第n+1/2步的氣膜壓力得到，進而完成一個迭代循環。完成上述循環后，將n+1步的解作為初值，開始下一次迭代計算。

求得所有節點的氣膜壓力后，得到軸承的氣膜合力為

(4)

(5)

1.3 轉子動力學方程及數值求解過程

對于GFB支承的有不平衡質量的剛性轉子系統，若僅考慮轉子的柱形渦動，靜態平衡位置系統的動力學微分方程為

(6)

式中：M為轉子質量。

轉子在運動過程中遵循牛頓第二定律，即

Ma(x,y,t)=f(x,y,t)，

(7)

式中：a為加速度。

以x方向為例，采用Verlet算法對 (7) 式進行離散化處理，得到x方向的位移、速度、加速度的迭代關系式為

(8)

式中：v為速度；Δt為時間步長。

同理，可得到y方向的位移、速度、加速度的迭代形式。第n步轉子的偏心距en和偏位角θn為

(9)

通過en，θn可以得到第n步的氣膜厚度和氣膜壓力分布。

對于GFB-轉子動力學系統，通過力的傳遞實現氣膜流場-轉子剛體運動的耦合。給定初始條件和預計算周期數后，通過計算初始位置的氣膜壓力，得到轉子在氣膜合力下的加速度，通過(8)式計算轉子在下個時間步長的位置和速度。計算流程圖如圖2所示，具體步驟如下：

1)根據轉子的初始偏心距、偏位角及初始速度計算該工況下的的氣膜壓力分布，對氣膜壓力積分，得到作用在轉子上的氣膜合力；

2)通過(7) 式計算轉子的加速度；

3)通過(8)式計算轉子的位移和速度；

4)將第3步計算得到的轉子位移代入(9)式計算偏心距和偏位角，再計算氣膜厚度和氣膜壓力分布，返回第1步。

重復上述步驟，得到轉子運動參數的時間序列。

圖2 計算流程圖

2 動態特性系數計算

實際的GFB-轉子系統是一個非線性系統，為了簡化，可以將軸承的氣膜力在靜平衡位置附近線性化，即將軸承的承載力用8個線性化的剛度系數和阻尼系數刻畫。

2.1 基于攝動法的動態特性系數

基于攝動法的動態剛度系數和動態阻尼系數計算公式為[7]

(10)

將(10)式的動態剛度系數和動態阻尼系數轉化到直角坐標系中，得到動態剛度系數和動態阻尼系數為

(11)

式中：Kxx，Kyy為主剛度系數；Kxy，Kyx為交叉剛度系數；Cxx，Cyy為主阻尼系數；Cxy，Cyx為交叉阻尼系數。

2.2 基于軌跡法的動態特性系數辨識方法

2.2.1 線性簡諧激振法

線性系統的輸入和輸出頻率相同，非線性系統的輸入和輸出頻率無確定關系。軌跡法實施過程如下：1)給定初始條件，進行流固耦合迭代計算，經過一段時間后轉子處于靜平衡位置；2)施加外激勵，獲得系統的響應；3)提取外激勵的同頻響應，根據同頻率的輸入和輸出信號進行GFB的動態特性系數辨識。該方法相當于提取了GFB-轉子系統的線性部分，被稱為線性簡諧激振法。

對轉子施加角速度為ω1，空間相位差為90°的一組簡諧激振力

(12)

從轉子的位移響應中提取同頻率的簡諧振動

(13)

式中：A1,B1為簡諧激振力的幅值；a1，b1為位移幅值。

轉子的運動方程為

(14)

將 (12)，(13) 式代入 (14) 式可得

(15)

將 (15) 式展開，令兩邊的正弦項和余弦項的系數分別相等，可得

(16)

GFB的動態特性系數共有8個，一組激勵僅能得到4個相互獨立的方程，因此還需要另外一組激勵?？刹捎帽?的第1組和第2組激勵。

表1 外激勵參數

軌跡法獲得的轉子位移信號x(t)可能含有除激勵頻率以外的其他頻率成分，可表示為

(17)

式中：A0,a,b為任意常數。

若要提取響應中含ω1的成分，即計算a，b的值，對 (17) 式左右兩邊分別乘cosω1t，sinω1t并積分。以計算b為例

(18)

由三角函數的正交性可得

則由(18)式可得

(19)

同理可得

(20)

將轉子位移信號x(t)代入 (19)，(20)式即可提取位移信號中含ω1的成分。

若第1,2組激勵頻率相同，即角速度ω1=ω2，可能會造成 (16) 式的系數矩陣接近奇異，在此將2組激勵頻率設置約50 Hz的差值，最后辨識出的動態特性系數應該是2組激勵頻率下的均值。

線性簡諧激振法的缺點：1)需要2次激勵，求得的動態特性系數是2組激勵頻率下的均值；2)僅考慮到激勵頻率的同頻響應，忽略了其他渦動頻率的影響。

2.2.2 簡諧激振法

將軌跡法中每個時間步轉子的位移、速度、加速度和氣膜力代入(14) 式，可得到一個矛盾方程組，再通過最小二乘法即可辨識出8個動態特性系數。該方法可考慮所有渦動頻率對動態特性系數的影響，相當于將非線性系統等效為線性系統，稱之為簡諧激振法。計算過程同2.2.1節，但僅需一次激勵，在此選擇表1的第3組激勵。

在任意時刻τi(i=1，2，…，N)，無質量偏心的轉子的運動方程可表示為

(21)

式中：Fgas_x,Fgas_y為作用在轉子上的氣膜力；Fx,Fy為作用在轉子上的外激勵。

若將氣膜力等效為線性化的剛度系數和阻尼系數，則

(22)

將轉子的自轉周期T分為N步，時間步長τi=T/N,將軌跡法中每個時間步的位移、速度、加速度及氣膜力代入(22)式，可以得到含8個未知數(動態特性系數)的N個方程。該方程是矛盾方程組，可以采用以Levenberg-Marquast(L-M)算法為基礎的非線性最小二乘法求解，核心思想為：構造剛度、阻尼系數定義的等效力與數值計算的氣膜力之間的誤差，記為

(23)

式中：ei為第i個時間步的誤差。

1)給定初始估計δ1、初始阻尼λ0及終止收斂條件ε，將δ1代入 (23) 式得到初始誤差eδ1。

2)在初始值δ1的基礎上再估計，構造增量方程，(22) 式的雅克比矩陣為

第2步的增量Δ為

(24)

式中：I為單位矩陣；λ為L-M算法的阻尼。

3)將δ2(δ2=δ1+Δ)代入 (23) 式，得到新的誤差eδ2。若eδ2≤eδ1，eδ2≤ε時輸出結果，否則，更新λk+1=λk/10，δ2=δ1，然后返回到第2步；若eδ2>eδ1，則更新λk+1=10λk，δ2=δ1，然后返回第2步。

重復上述步驟，直至得到滿足收斂要求的δ。

圖3 L-M算法流程圖

3 實例分析

以某氣體箔片軸承為例分析，其主要結構參數及運行參數見表2。

表2 GFB的結構參數及運行參數

3.1 攝動法驗證

本文的攝動法采用差分法數值求解，經分析網格劃分的周向和軸向單位數分別為180，90時，GFB的動態特性系數與文獻[7]的計算結果最接近，如圖4所示，最大誤差不超過3%，說明了本文攝動法計算模型的正確性。

圖4 e0=0.6時動態特性系數隨擾動頻率的變化趨勢

3.2 軌跡法驗證

無不平衡力、無外激勵時的軸心軌跡如圖5所示：轉子由軸承中心下落后，經瞬態振動階段后軸心軌跡收斂到狹長的橢圓軌道上。

圖5 無不平衡力、無外激勵時的軸心軌跡圖

令ω1=300 Hz,ω2=350 Hz， 不平衡力為0，施加簡諧激振力后的軸心軌跡如圖6所示：轉子在靜平衡位置附近作不規則運動。x，y方向位移的時域響應如圖7所示：施加外激勵后轉子的振動出現了多個波峰。x，y方向位移的頻譜圖如圖8所示：轉子存在5個不同的渦動頻率，但主要為87.11，300 Hz的頻率，其中300 Hz為外激勵的同頻響應。x方向位移的相圖如圖9所示：多個相點構成一個橢圓，說明系統此時作擬周期運動。將原始的位移數據分解為一系列三角級數之和， 這些三角級數重構的位移(2.2.1節(17)～(20)式)與原始位移數據的對比如圖10所示：重構位移與原始位移曲線吻合，說明了軌跡法的正確性。

圖6 無不平衡力、有簡諧激振力時的軸心軌跡圖

圖7 時域圖

圖8 頻譜圖

圖9 x方向位移的相圖

圖10 位移的擬合數據與原始數據對比圖

3.3 動態特性系數計算

攝動法、線性簡諧激振法和簡諧激振法動態特性系數計算結果見表3：1)不忽略交叉項的線性簡諧激振法、忽略交叉項的線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的主剛度系數Kxx分別為5.820×106，8.160×106，6.110×106N/m，與攝動法的相對誤差分別為9.75%,24.13%,4.88%；2)不忽略交叉項的線性簡諧激振法、忽略交叉項的線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的主剛度系數Kyy分別為49.890×106，15.480×106，7.160×106N/m，與攝動法的相對誤差分別為142.41%，28.75%，8.93%；3)攝動法、不忽略交叉項的線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的交叉剛度系數Kxy，Kyx基本為同一個數量級；4)攝動法、線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的主阻尼系數Cyy均為正，其他阻尼相差較大。本文提出的方法動態特性系數計算結果與攝動法均存在一定的差距，但對于氣體箔片軸承在可接受范圍之內。分析其原因為：攝動法僅考慮單一的渦動比，且僅保留了動態特性系數的線性項。線性簡諧激振法考慮了多個渦動比，需要提取轉子時域信號的幅值和相位進行參數辨識，同樣僅保留了動態特性系數的線性項。簡諧激振法考慮了多個渦動比，利用轉子的時域信號進行參數辨識，無需提取幅值和相位，辨識出的動態特性系數雖然是等效的線性化系數，但能還原實際的氣膜力，在某種意義上可以反映氣膜力的非線性。

表3 GFB的動態特性系數

此外，簡諧激振法根據轉子的激勵信號和響應信號可快速辨識出軸承的動態特性系數，無需求解靜、動態雷諾方程，計算效率高。

4 結束語

基于軌跡法建立氣體箔片軸承-轉子系統的流固耦合動力學模型，求解簡諧激勵載荷下轉子的瞬態軌跡，提出采用線性簡諧激振法和簡諧激振法辨識軸承的動態特性系數，線性簡諧激振法僅考慮了外激勵的同頻響應，簡諧激振法可考慮所有響應頻率的影響。本文所計算的動態特性系數仍是線性化的，不能準確描述GFB-轉子系統的非線性特性，模型需進一步完善。