一類Z2 等變Hamilton 向量場在分段低次多項式擾動下極限環個數的估計

曾 慧，李寶毅，張永康

（天津師范大學數學科學學院，天津 300387）

1 引言與主要結果

Hamilton 向量場在擾動下的極限環個數的估計是常微分方程定性理論的研究熱點之一，該問題與Hilbert 第16 問題密切相關[1].在旋轉2π/q（q∈N+）角度下不變的平面向量場稱為Zq等變向量場，其在平面Hamilton 向量場中具有舉足輕重的地位[2-3]，相關學者對其擾動系統進行了大量研究[2-7].如，文獻[2]證明了Z2等變三次系統至少有13 個極限環；文獻[3]證明了Z2等變三次系統與Z2等變五次系統中心存在的同時性，并給出了相應的充要條件.近年來，工程學等應用科學涉及的模型中有很多都是非光滑的[8-9]，因而對于非光滑系統分支現象的研究也越來越受到重視[10-13].文獻[10]將平面分為左右2 個區域，證明了在分段n次多項式擾動下，具有S(2)和S(3)平面環的二次退化Hamilton 系統分別在以平面環S(2)和S(3)為邊界的周期解附近分支出的極限環個數不超過25n+149 和25n+115（計重數）.文獻[11]將平面等分為3 個扇形區域，證明了一類分段線性Hamilton 系統在n 次多項式擾動下至少有2n+2[（n+1）/2]+2 個極限環.文獻[12]將平面分為左右2 個區域，證明了Bogdanov-Takens系統在非連續分段n 次多項式擾動下極限環個數的上確界不超過16n+[n/2]-10.文獻[13]研究了計算分段光滑近Hamilton 系統極限環個數的2 種方法：Melnikov函數法和平均法，證明了這2 種方法的等價性，并給出了平面分段近Hamilton 系統的二階Melnikov 函數的表示.

本文將平面分為左右2 個區域，考慮一類Z2等

2 一階Melnikov 函數

3 一階Melnikov 函數零點個數的估計