高二數學測試

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

1.設全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0}，則U(A∪B)=( )

(A){1,3} (B){0,3}

(C){-2,1} (D){-2,0)

2.“logam>0”是“(a-1)(m-1)>0”的( )條件.

(A)充分非必要

(B)必要非充分

(C)充要

(D)既非充分也非必要

(A)b

(C)b

5.若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=( )

(A)40 (B)41 (C)-40 (D)-41

7.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則( )

(A)p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

(B)該棋手在第二盤與丙甲比賽,p最大

(C)該棋手在第二盤與乙比賽,p最大

(D)該棋手在第二盤與甲比賽,p最大

(A)函數f(x)的定義域是[-4,2]

(B)函數y=f(x-1)是奇函數

(C)函數f(x)的圖象關于直線x=-1對稱

(D)函數f(x)在區間[-1,2)上是減函數

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.圖中陰影部分用集合符號可以表示為( )

(A)B∩(A∪C)

(C)B∩U(A∪C)

(D)(A∩B)∪(B∩C)

11.有5位志愿者主動到3所山區學校參加支教活動,要求每所學校至少安排一位志愿者,每位志愿者只到一所學校支教,下列結論正確的有( )

(A)不同的安排方法數為150

(B)若甲學校至少安排兩人,則有60種安排方法

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

13.命題“?x>1,x2-x>0”的否定是______.

14.從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為______.

15.已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,g(2)=4,則f(1)=______.

16.已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知冪函數f(x)=(m2-3m+3)xm的圖象關于y軸對稱,集合A={x|1-a

(1)求m的值;

18.(本小題滿分12分)甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結束后,總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率;

(2)用X表示乙學校的總得分,求X的分布列與期望.

(1)當m=3時,求f(6,y)的展開式中二項式系數最大的項;

20.(本小題滿分12分)某學校對男女學生是否喜歡長跑進行了調查,調查男女生人數均為10n(n∈N*),統計得到以下2×2列聯表,經過計算可得K2≈4.040.

男生女生合計 喜歡6n 不喜歡5n 合計10n10n

(1)完成表格求出n值,并判斷有多大的把握認為該校學生對長跑的喜歡情況與性別有關;

(2)① 為弄清學生不喜歡長跑的原因,采用分層抽樣的方法從調查的不喜歡長跑的學生中隨機抽取9人,再從這9人中抽取3人進行面對面交流,求“至少抽到一名女生”的概率;

② 將頻率視為概率,用樣本估計總體,從該校全體學生中隨機抽取10人,記其中喜歡長跑的人數為X,求X的數學期望.

附表:

P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.001 k02.7063.8415.0246.63510.828

21.(本小題滿分12分)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.

(1)證明:平面BED⊥平面ACD;

(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當?AFC的面積最小時,求CF與平面?ABD所成的角的正弦值.

22.(本小題滿分12分)已知函數

(1)求函數f(x)在[-3,3]的值域;

(2)設g(x)=f′(x)-xex+5x+1,已知x1+x2≥0,求證:g(x1)+g(x2)≥4.

參考答案

一、單項選擇題

1.D;2.A;3.C;4.D;5.B;

6.D;7.B;8.C.

二、多項選擇題

9.AD;10. BCD;11.AC;12. BC.

三、填空題

四、解答題

17.(1)由冪函數定義,知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.

當m=1時,f(x)=x的圖象不關于y軸對稱,舍去;當m=2時,f(x)=x2的圖象關于y軸對稱.因此m=2.

由題意知BA,故解得a≥1.

(2)依題可知，X的可能取值為0，10，20，30.

P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(x=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.故X的分布列為

X0102030P0.160.440.340.06

E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.

20.(1)2×2列聯表如下表所示:

男生女生合計 喜歡6n5n11n 不喜歡4n5n9n 合計10n10n20n

21.(1)因為AD=CD,E為AC的中點,所以AC⊥DE.

在?ABD和?CBD中,由AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,得?ABD≌?CBD,有AB=CB.

又因為E為AC的中點,所以AC⊥BE.

又DE,BE?平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED.因為AC?平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.

因為?ABD≌?CBD,所以CB=AB=2.又因為∠ACB=60°,所以?ABC是等邊三角形.

顯然φ′(x)在R上單調增且φ′(0)=0,故φ(x)在(-∞,0)單調減,在(0,+∞)單調增,可得φ(x)min=φ(0)=4>0,即g′(x)>0,于是g(x)在R上單調增.

令F(x)=g(x)+g(-x)=ex+e-x-x2+2,則F′(x)=ex-e-x-2x,令G(x)=ex-e-x-2x,則G′(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,等號當且僅當x=0時成立,故函數G(x)在R上單調增.而G(0)=0,所以有F(x)在(-∞,0)單調減,在(0,+∞)單調增,可得F(x)min=F(0)=4.于是,?x∈R, 有g(x)+g(-x)≥4.

由x1+x2≥0,得x1≥-x2.于是g(x1)≥g(-x2)等價于g(x1)+g(x2)≥g(x2)+g(-x2)≥4,即當x1+x2≥0時,g(x1)+g(x2)≥4成立.