“曲曲聯立”產生的錯誤及錯因分析

蔣雪雷

(江蘇省泗陽中學，223700)

在學習解析幾何有關內容時,很多情況都是聯立直線與圓錐曲線方程組解決問題,但是也有一些情況是將兩個二次曲線進行聯立求解的.有學生在“曲曲聯立”的解題過程中遇到了一些問題和困惑,本文對此總結如下.

一、“點差法”失效

解當直線l的斜率不存在時,l與雙曲線只有一個交點(1,0),此時結論不成立.

檢驗:聯立直線l的方程y=2x-1與雙曲線方程,得2x2-4x+3=0.因為Δ=-8<0,故方程無實數根,直線l不存在.

綜上,滿足題設的直線l不存在.

剖析很多學生都不理解,在用點差法處理這個問題時,直線方程已經求出來了,為什么最后的結果卻不存在?解答的最后為什么要去檢驗?點差法都需要檢驗嗎?

事實上,在上述用點差法解題的過程中,若先設點A(x1,y1),B(x2,y2)再往下求解,則點A,B在雙曲線上就是后續推理過程中的前提條件,但這個前提條件正確嗎?在檢驗之前是不確定的,而后面的檢驗正是在驗證確認這個前提條件的正確性.由此可見,這樣利用點差法解決的問題都需要檢驗.

與此同理的是:我們在求兩圓的相交弦方程時,兩圓方程相減,只有在這兩圓相交時得到的方程才是相交弦方程;若是兩圓相離,也能減出一條直線方程(兩圓的根軸),但這時的兩圓卻是沒有公共點的.

二、“韋達定理”失效

若不加這個限制條件,可得到如下結論:令f(x)=b2x2-2pa2x-a2b2,則f(-a)=2pa3>0,f(0)=-a2b2<0,由零點存在性定理知f(x)在(-a,0)內有一個零點,這也就是上述解法中的那個負根,也是方程b2x2-2pa2x-a2b2=0的一個“增根”.又由f(a)=-2pa3<0及二次函數的開口向上,知f(x)在(a,+∞)內有一個零點,這個零點才是拋物線與雙曲線在第一象限中關于x軸對稱的兩個交點的橫坐標.