準二維空間中的隱秘渦旋量子液滴*

陳逸熙 蔡曉妍 劉彬2)? 江迅達2) 黎永耀2)

1) (佛山科學技術學院物理與光電工程學院,佛山 528225)

2) (佛山科學技術學院,物理與光電工程學院粵港澳智能微納光電技術聯合實驗室,佛山 528225)

本文探究了弱囚禁條件下玻色-玻色混合凝聚體中的準二維隱秘渦旋量子液滴及其動力學特性.前期研究表明,在完全自由的三維空間中,隱秘渦旋量子液滴難以穩定;在二維系統中,當囚禁尺度是窄囚禁條件時,系統僅支持拓撲荷 S1,2=±1 的隱秘渦旋量子液滴;因此當橫向囚禁尺度較弱時,準二維空間中李-黃-楊修正項仍然采用三維空間中的表達式來描述,此時隱秘渦旋量子液滴能否保持穩定是一個重要的科學問題.本文采用虛時間方法獲得了拓撲荷 S1,2 達到 ± 4 的隱秘渦旋量子液滴;進一步論證了隱秘渦旋量子液滴的有效面積 Aeff 和化學勢 μ 與總粒子數 N 之間的依賴關系;并采用線性穩定性分析結合實時傳輸方法獲得了總粒子數臨界值 Nth 分別與拓撲荷 S1 和非線性系數 δg 之間的依賴關系.在動力學部分,本文研究了由兩個不同拓撲荷的隱秘渦旋量子液滴構造的復合渦旋模式,即嵌套渦旋量子液滴.結合量子液滴的密度分布具有“平頂型”的特點,采用Thomas-Fermi 近似對數值結果進行了有效驗證.

1 引言

自玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensates,BEC)在實驗上實現以來,其作為一個宏觀量子態得到了人們的廣泛研究,其中自局域態的穩定性及動力學問題是冷原子領域和非線性科學研究的熱點問題,例如物質波孤子的研究[1-16].通常原子間的接觸相互作用表現為排斥相互作用,因此一旦失去外勢的囚禁,氣體就會膨脹而彌散在空間中,盡管可以通過Feshbach 共振技術將排斥相互作用調成吸引相互作用,但是在高維情況下,原子間的吸引相互作用會使BEC 展現出動力學不穩定性,從而在很短的時間內導致BEC 的坍塌.為實現高維自由空間中的穩定自局域態,最常用的方法是對三次非線性吸引作用進行修正,如引入競爭型非線性、飽和非線性或非局域非線性等[17-23];另一方面,通過引入自旋-軌道耦合[24-27]、諧振子勢[28]或晶格周期勢[29,30]等也有助于獲得穩定的非線性自局域態.

近年來,基于李-黃-楊(Lee-Huang-Yang,LHY)修正項所描述的量子液滴的實驗實現突破了高維系統中僅有吸引相互作用時不能形成穩定自局域態的限制[31,32].這里用于解釋量子液滴形成機制的LHY 修正項源于絕對零度附近的量子漲落效應,其提供了一個高階的排斥效應去阻止因吸引相互作用引起的坍塌,是20 世紀50 年代由3 位著名的華人科學家李政道、黃克孫和楊振寧所建立[33].研究表明: 量子液滴的表現形式及動力學演化模型可以采用平均場近似下的Gross-Pitaevskii (GP)方程中加入LHY 修正項來描述[34-49].隨后,量子液滴在極性原子氣體和非極性的玻色氣體中獲得廣泛關注,如玻色-費米組成的異核原子系統中利用自旋軌道耦合形成的量子液滴被研究[50];偶極的Dy 凝聚體中,短程三體排斥力可以穩定自束縛量子液滴[51];由Na 和Rb 混合的量子液滴在實驗上被實現[52];彎月型超稀量子液滴[53]和半離散渦旋量子液滴被研究[54].結構空間的引入也為量子液滴的研究帶來新思路,如一維和二維光晶格中量子液滴的動力學及多穩特性的研究[55-57].

特別地,在二維模型中,當橫向囚禁尺度相當窄時(遠小于1 μm),二維渦旋量子液滴是穩定的[58],當撤掉這個囚禁條件,在完全自由的三維空間中,當兩個分量具有相同拓撲荷時可以形成穩定的渦旋量子液滴.但是,當兩個分量的拓撲荷數相反時,即形成隱秘渦旋模式,Kartashov等[59]證明在該條件下隱秘渦旋模式是不能穩定存在的.然而,在前期研究中發現,當橫向囚禁尺度是窄囚禁條件時,即此時的LHY 修正項是對數函數形式,隱秘渦旋模式是可以穩定存在的,但僅僅支持拓撲荷S1,2=±1的模式.因此,一個有趣的問題是當橫向囚禁尺度變得寬松,即弱囚禁條件,隱秘渦旋模式能否穩定存在? 若能,能否突破S1,2=±1 的限制.實驗中大多數的二維囚禁系統,橫向囚禁尺度往往都大于1 μm,因此遠大于量子液滴窄囚禁的尺度,在此條件下,LHY 修正項就不能再由對數函數來描述,而必須采用全三維空間中的LHY 修正項表達式.與對數函數不同的是,全三維空間的LHY修正項僅表現出排斥相互作用[60],因而其非線性動力學與窄囚禁時的機制存在差別.本論文研究在弱囚禁條件下,當LHY 修正項采用全三維空間中的表達式,系統能否支持隱秘渦旋模式的存在.

本工作證明在弱囚禁條件下,玻色-玻色混合凝聚體形成的量子液滴不僅可以支持隱秘渦旋模式的存在,而且突破了S1,2=±1 的限制.同時,也確定了這些模式的穩定閾值.最后,研究了由不同拓撲荷的隱秘渦旋量子液滴形成的嵌套渦旋模式的動力學特性.

2 理論模型

基于以上的研究背景,結合參考文獻[61]中的補充材料,系統的GP 方程組可以表示成如下形式:

其中nj=|Ψj|2(j=1,2),Ψ1,2代表兩組分BECs 的波函數,E=EMF+ELHY表示平均場的能量和LHY修正項的能量,具體可以表示為

將定態解和諧振子勢函數的表達式代入方程組(3),并對方程組在z方向上進行積分,可以得到降維后的準二維GP 方程組,形式如下:

式中,S1,2分別代表兩分量的渦旋拓撲荷數,μ表示化學勢,將表達式(7)代入方程組(6),可獲得徑向波函數?1,2滿足的徑向方程組,形式如下:

在數值模擬的過程中,關于穩定性的判斷,采用線性穩定性分析方法結合實時傳輸方法進行驗證.下文將介紹線性穩定性分析方法的具體思路[62,63].首先,假設擾動解的具體形式為

式中λ表示不穩定增長率,w1,2和v1,2表示不穩定增長率所對應的本征模式,m表示對渦旋拓撲荷數的擾動.將(9)式代入GP 方程組(6)并線性化后有:

其中F11—F44的具體表達形式詳見附錄部分.與一維線性穩定性分析不同的是,這里有對渦旋拓撲荷數的擾動,且在渦旋拓撲荷數擾動值至少取m=0,1,2,3 時,若不穩定性增長率λ沒有虛部出現,則說明此時的隱秘渦旋量子液滴解穩定,反之則不穩定.

3 結果分析

在上述模型中,采用虛時間方法[64]求解歸一化方程組(6)的定態解,并獲得了拓撲荷最大為S1,2=±4的穩定隱秘渦旋量子液滴,突破了窄囚禁條件下S1,2=±1 的限制.圖1 是隱秘渦旋量子液滴的典型例子,展示了S1,2分別為±3 和±4 時的隱秘渦旋量子液滴,其中圖1(a1),(a2),(c1),(c2)分別表示兩分量的密度分布,可以看出隱秘渦旋量子液滴的密度分布具有環形分布的特點.圖1(b1),(b2),(d1),(d2)分別展示了其對應的相位分布,可以清晰看出兩個分量的相位結構相反.同時,從密度分布圖可以看出,隨著拓撲荷和總粒子數的增加,隱秘渦旋量子液滴的內半徑逐漸增大.與文獻[60]中的結果一致,隨著總粒子數的增加,隱秘渦旋量子液滴密度分布也展現出“平頂型”的特征.

圖1 隱秘渦旋量子液滴的典型例子 (a1),(a2)總粒子數 N=2500 時,拓撲荷為S1,2= ±3 的兩分量密度分布圖;(b1),(b2) 分別對應其相位分布;(c1),(c2)總粒子數 N=30000 時,拓撲荷為S1,2= ±4 的兩分量的密度分布圖;(d1),(d2) 分別對應其相位分布.系統參數為g=10 和δg=0.5Fig.1.Typical examples of stable hidden vortices of QDs: (a1),(a2) Density patterns of the two components with(N,S1,2)=(2500,±3);(b1),(b2) the corresponding phase diagrams of the hidden vortices of QDs are in panels (a1) and (a2),respectively;(c1),(c2) density patterns of the two components with (N,S1,2)=(30000,±4);(d1),(d2) the corresponding phase diagrams of the hidden vortices of QDs are in panels (c1) and (c2),respectively.The other parameters are g=10 and δg=0.5.

為進一步研究隱秘渦旋量子液滴的特性,定義其有效面積為

圖2(a)展示了隱秘渦旋量子液滴的有效面積與總粒子數之間的依賴關系.圖中黑色點虛線表示不穩定區域,紅色實線表示穩定區域,藍色的點表示穩定與不穩定區域的總粒子數臨界值Nth,其中穩定與不穩定的隱秘渦旋量子液滴的典型例子將在圖3 中展示.從圖2(a)可以看出,在穩定區域內,隱秘渦旋量子液滴的有效面積隨著總粒子數的增加而線性增大,其主要原因是: 當總粒子數足夠大時,其密度分布會展現“平頂型”,記峰值密度,若繼續增加總粒子數,峰值密度保持不變,此時峰值密度與有效面積的乘積即為總粒子數,即有N≈2Aeffnmax.根據已有數據分析,在δg=0.5 時,有峰值密度nmax≈0.0217,圖2(a)中紅色實線的斜率大約為2 3.87,即大約為1/(2nmax),因此很好地說明了有效面積與總粒子數之間的線性增大規律.

圖2 (a) 隱秘渦旋量子液滴的有效面積 Aeff 與總粒子數 N 之間的依賴關系,Nth 表示穩定與不穩定區域的臨界值,紅色實線表示穩定區域,黑色點虛線表示不穩定區域;(b) 藍色點表示固定 δg=0.5 時,臨界值 Nth 與拓撲荷 S1 之間的依賴關系;黑色“★”表示臨界值下的隱秘渦旋量子液滴的內半徑大小 Rin;(c) 固定 S1,2=±1 時,不同 δg 值下的臨界值 Nth;(d) 固定 S1,2=±1 時,化學勢 μ 與總粒子數 N 之間的依賴關系Fig.2.(a) The dependence of the effective area Aeff on the norm N of the hidden vortices of QDs,Nth is the threshold norm,red solid curve shows the stable region and the black dash curve shows the unstable region;(b) the blue dot represents the dependence of the threshold Nth on the topological charge S1 when δg=0.5,the black star represents the inner radius of the hidden vortices of QDs at the threshold norm;(c) the threshold norm Nth for hidden vortices of QDs with S1,2=±1 as a function of δg;(d) the dependence of the chemical potential μ on the total norm N with S1,2=±1.

在模擬的過程中發現,存在臨界值Nth,當總粒子數N ＞Nth時,隱秘渦旋量子液滴是穩定的,反之則不穩定.對穩定性的驗證采用檢驗本征值λ的不穩定增長率與實時傳輸相結合的方法.圖2(b)探討了固定 δg時,臨界值Nth與拓撲荷S1之間的依賴關系,從藍色點可以看出隨著拓撲荷數的增加,臨界值逐漸增加;同時也展示了臨界值下的隱秘渦旋量子液滴的內半徑大小Rin[見黑色“★”],可以看出隨著拓撲荷數的增加,內半徑Rin逐漸增大.圖2(c)展示了固定拓撲荷S1,2=±1 時,臨界值Nth與δg之間的關系,同樣可以看出隨著 δg的增加臨界值也增加.

進一步探究固定S1,2=±1 時,化學勢μ與總粒子數N之間的關系.從圖2(d)可以看出,μ-N之間的依賴關系滿足Vakhitov-Kolokolov 判據,即滿足 dμ/dN＜0;同時發現隨著總粒子數的增加,其化學勢μ→-0.0018 不變.下面給出其理論解釋.

當總粒子數足夠大,隱秘渦旋量子液滴形成時其密度分布具有“平頂型”的特征,此時可以采用Thomas-Fermi (TF)近似,即忽略動能項的影響,系統的能量密度可以表示為

此時系統的總能量為能量密度與有效面積的乘積,即有

(13)式也很好地解釋了當渦旋量子液滴的密度分布達到“平頂型”時,總能量隨著總粒子數線性增長.當總粒子數N一定時,系統將選擇nmax使得總能量最低,即有 dE/dnmax=0,可得

例如,取 δg=0.5,可得峰值密度nmax≈0.0217,從圖1 中的顯示色條可以看出此理論分析與數值結果一致.

根據方程組(8),可以得到在TF 近似下化學勢與峰值密度之間的關系為

結合 (14) 式,可知μ→-0.0018,與圖2(d)的數值結果一致.

圖3 分別展示了S1,2=±1 時,具有不同總粒子數N的隱秘渦旋量子液滴不穩定傳輸與穩定傳輸的典型例子,其分別對應圖2(a)中的點“A”和點“B”.圖(a1)—(a3)分別展示了總粒子數N=300

時,Φ1分量傳輸到t=0,t=7300和t=10000 時密度分布情況,顯然此參數下隱秘渦旋量子液滴是不穩定的;圖(b1)—(b3)分別展示了總粒子數N=1500 時,Φ1分量穩定傳輸到t=0,t=5200和t=10000時密度分布情況.圖3(a4),(b4)分別展示了渦旋拓撲荷的擾動值m=0,1,2,3 時擾動本征值λ的實部與虛部之間的關系,可以看出當擾動本征值的虛部為0 時,隱秘渦旋量子液滴傳輸穩定,反之當擾動本征值的虛部不為0 時,傳輸不穩定,表明線性穩定性分析的結果與實時傳輸的結果一致.

圖3 (a1)—(a3) N=300 時,Φ1 分量傳輸到 t=0,t=7300 和 t=10000 時密度分布情況,顯然此時傳輸不穩定;(a4)渦旋拓撲荷數的擾動值m=0,1,2,3時不穩定增長率 λ的實部和虛部的關系圖;(b1)—(b3) N=1500 時,Φ1分量傳輸到 t=0,t=5200 和 t=10000 時密度分布情況,顯然此時傳輸穩定;(b4)渦旋拓撲荷數的擾動值 m=0,1,2,3 時不穩定增長率 λ 的實部和虛部的關系圖Fig.3.(a1)—(a3) The density pattern of the Φ1 component with N=300 and t=0,7300,10000,which is obviously unstable;(a4) perturbation eigenvalues for the corresponding hidden vortices of QDs with N=300 and S1,2=±1 for different azimuthal index m=0,1,2,3;(b1)—(b3) the density pattern of the Φ1 component with N=1500 and t=0,5200,10000;(b4) perturbation eigenvalues for the corresponding hidden vortices of QDs with N=1500 and S1,2=±1 for different azimuthal indexm=0,1,2,3.

4 動力學

嵌套渦旋指的是在多組分系統中,每個組分攜帶不同的拓撲荷且嵌套在一起的渦旋結構.目前,對由隱秘渦旋量子液滴形成的嵌套渦旋尚未被研究,在這一部分主要探討兩個隱秘渦旋量子液滴之間形成的嵌套渦旋量子液滴.研究發現,較大拓撲荷數的隱秘渦旋量子液滴具有較大的內半徑Rin[參見圖2(b)中的黑色“★”],因此其內部具有較大的空間來嵌套外半徑較小的其他渦旋量子液滴.如果嵌入的渦旋量子液滴的外半徑與被嵌入的渦旋量子液滴的內半徑之間有足夠的空間,那么此兩個嵌套在一起的嵌套渦旋量子液滴可以穩定共存一段時間.

圖4 給出了嵌套渦旋量子液滴的典型例子,這里僅展示Φ1分量.圖4(a1)—(a3)和(c1)—(c3)分別展示了一組拓撲荷小的隱秘渦旋量子液滴(N=800,S1,2=±1),被嵌入到內半徑較大的隱秘渦旋量子液滴中(N=30000,S1,2=±4 和N=30000,S1,2=?4),結果表明其形成的嵌套渦旋量子液滴可以穩定共存且達到t=10000;圖4(a4),(c4)分別展示了嵌套渦旋量子液滴分別傳輸到 1 0000 時的相位分布,結果顯示其相位分布結構完好.圖4(b1)—(b3)和(d1)—(d3)分別展示了N=800,S1,2=±1的隱秘渦旋量子液滴被嵌到N=26000,S1,2=±4和N=26000,S1,2=?4 的隱秘渦旋量子液滴中的傳輸結果,可以看出當兩個隱秘渦旋量子液滴的內外半徑之間的距離較小時,形成的嵌套渦旋量子液滴是不能夠長時間穩定共存的,因相互吸引并最終融合在一起;圖4(b4),(d4)分別展示嵌套渦旋量子液滴傳輸到t=4500 和t=6400 時的相位分布.其密度分布和相位結構與初始狀態相比均發生了變化,反映了此時形成的嵌套渦旋量子液滴是不穩定的.

圖4 嵌套渦旋的典型例子 (a1)—(a3) N=800,S1,2=±1 和N=30000,S1,2=±4 嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(a4) 液滴傳輸到 t=10000 時的相位分布;(b1)—(b3) N=800,S1,2=±1 和N=26000,S1,2=±4嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(b4) 液滴傳輸到 t=4500 時的相位分布;(c1)—(c3) N=800,S1,2=±1 和N=30000,S1,2=?4 嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(c4) 液滴傳輸到 t=10000 時的相位分布;(d1)—(d3) N=800,S1,2=±1 和N=26000,S1,2=?4 嵌套形成的嵌套渦旋量子液滴;(d4) 液滴傳輸到 t=6400 時的相位分布Fig.4.Typical examples of the nested vortex QDs: (a1)—(a3) The hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside(N,S1,2)=(30000,±4),which has a larger inner radius;(a4)output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=10000;(b1)—(b3) the hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside (N,S1,2)=(26000,±4);(b4) output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=4500;(c1)—(c3) the hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside (N,S1,2)=(30000,?4);(c4) output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=10000;(d1) —(d3) the hidden vortices of QDs with (N,S1,2)=(800,±1) nests inside(N,S1,2)=(26000,?4);(d4) output pattern of the phase structure for the nested hidden vortices of QDs at t=6400.

5 結論

本文主要研究弱囚禁條件下玻色-玻色混合凝聚體中的隱秘渦旋量子液滴及其動力學特性.當橫向囚禁尺度相當窄時(遠小于1 μm),二維渦旋量子液滴是穩定的,同時也僅支持拓撲荷S1,2=±1的隱秘渦旋量子液滴的存在,此時系統中的LHY修正項由對數函數來描述.當撤掉囚禁,在完全自由的三維空間中,雖然能形成穩定的渦旋量子液滴,但是不能形成穩定的隱秘渦旋量子液滴.然而,實驗中大多數的二維囚禁系統,一般其橫向囚禁尺度遠大于1 μm (弱囚禁),此時LHY 修正項就不再由對數函數來描述,而是采用全三維空間中的LHY 修正項表達式,因此量子液滴將具有與窄囚禁下不同的非線性動力學特性.本文以此為出發點,采用虛時間方法獲得了弱囚禁下拓撲荷數達到S1,2=±4的隱秘渦旋量子液滴,其密度分布具有環形結構特征,并給出了不同拓撲荷數下的隱秘渦旋量子液滴的穩定與不穩定的粒子數臨界值Nth.研究表明: 在穩定區域內,隱秘渦旋量子液滴的有效面積隨著總粒子數的增加而線性增大;穩定隱秘渦旋量子液滴的化學勢與總粒子數之間的關系滿足Vakhitov-Kolokolov 判據,即滿足 dμ/dN＜0,并隨著總粒子數的增加趨于-0.0018 不變;文中結合量子液滴“平頂型”的特征,采用Thomas-Fermi近似對數值結果進行了驗證,其理論分析與數值結果一致.最后,本文利用兩個不同拓撲荷的隱秘渦旋量子液滴構造了新的復合渦旋模式,即嵌套渦旋;結果表明當嵌入的渦旋量子液滴的外半徑與被嵌入的渦旋量子液滴的內半徑之間有足夠的空間時,兩個嵌套在一起的嵌套渦旋量子液滴可以穩定共存.因此,量子液滴在弱囚禁條件下對隱秘渦旋的支持要優于完全自由和窄囚禁條件的量子液滴,其為隱秘渦旋的穩定存在提供了一個更寬松的環境.本文的研究結果為其他系統中實現隱秘渦旋量子液滴提供參考,并為渦旋量子液滴的實驗實現提供理論依據.

附錄

F11—F44的具體表達式如下: