類鋰離子體系自旋四重態費米接觸項的精密計算*

魏向杰 孫鄧 王黎明? 嚴宗朝

1) (河南師范大學物理學院,新鄉 453007)

2) (Department of Physics,University of New Brunswick,Fredericton E3B 5A3,Canada)

費米接觸項與原子超精細結構常數有密切關系,往往對原子能級的超精細劈裂起主要貢獻.波函數在原點處的行為以及電子之間的關聯效應是影響費米接觸項計算精度的兩個主要因素.對于一般的原子體系來說,費米接觸項的高精度計算不是一件容易的工作.本文利用Hylleraas 坐標下的Rayleigh-Ritz 變分法求解了 鋰原子 和類鋰離 子體系(Z=4—10)自旋四 重態 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 的薛 定諤方程,得到的非相對論變分能量收斂精度達到10—13.根據所得到的高精度變分波函數,計算了這些體系的費米接觸項,并研究了原子核的有限質量對結果的影響.費米接觸項的精度達到了10—10.本文結果可以作為其他理論方法的參考基準,同時也為相關的實驗研究提供了參考數據.

1 引言

一直以來,少電子原子分子體系(氫原子、氦原子、氫分子離子等)的精密光譜研究為檢驗基本物理理論、測定基本物理常數(里德伯常數R∞、精細結構常數α等)、確定原子核的電荷分布半徑和磁矩分布半徑等提供了有效的方法[1-4].鋰原子以及類鋰的鈹離子(Be+)作為三電子原子體系,受到了理論和實驗研究者的廣泛關注.鋰原子精密光譜的一個重要應用是確定原子核的性質,如核電核分布半徑和磁矩分布半徑(Zemach 半徑)等.例如,Yan 和Drake[5]發展了鋰原子能級的精密計算理論和方法.根據他們的方法,鋰原子最低的三個能級(2S,3S 和2P)間的躍遷頻率的同位素移動的高精度理論計算值和實驗值的對比被用于確定鋰原子核同位素的電荷分布半徑,特別是具有“暈核”結構的11Li 的電荷分布半徑[4](這里的電荷分布半徑指的是相對于某個電荷半徑為已知的同位素的相對電荷分布半徑,目前的理論計算值的精度還不足以確定鋰原子核的絕對電荷分布半徑).對于鈹離子(Be+),也有類似的應用[4].Puchalski 和Pachucki[6]則發展了鋰原子超精細結構的高精度計算理論和方法,根據他們計算的鋰原子基態的超精細結構劈裂理論值與實驗值的比較發現,7Li 原子核的Zemach 半徑比6Li 的大40%,為原子核結構的研究提出了一個重要的問題.最近,基于鋰離子(Li+)的超精細結構的研究也得到了相似的結論[7].

超精細結構是原子精密譜研究的一個重要內容.對于原子體系的磁偶極超精細結構來說,其最主要的來源是費米接觸相互作用.因此,要想得到高精度的超精細結構劈裂,必須要把費米接觸項計算到足夠高的精度[6,7].對于類氫原子體系,費米接觸項(Fermi contact term,fc)可以由解析計算獲得;而對于含有兩個電子或更多電子的原子體系,fc只能通過數值計算得到,其數值精度嚴重依賴波函數在原點處的質量.除此之外,電子間的關聯效應也會對fc產生重要影響.通過使用全局化方法[8,9],可以降低fc對波函數在原點附近行為的依賴性;而通過使用Hylleraas 型變分波函數,則可以充分照顧到電子關聯效應對fc的影響[10].目前,利用全局化方法和Hylleraas 變分波函數,鋰原子基態(1s22s2S)非相對論fc的理論計算值的精度已經達到了10—8[6,11];對于鋰原子的其他幾個較低的自旋雙重態,fc的值也可以達到很高的精度[11].對于鋰原子的自旋四重態,Yan[12]用Hylleraas 變分波函數計算了 1 s2s3s4S,1 s2s4s4S和1s2s5s4S這三個態的fc,精度高達10—8;King[13]也做了類似的計算(包括1s2s6s4S),但是與Yan 的結果相比,精度稍差.Zhuo 及其合作者[14,15]用組態相互作用方法計算了類鋰離子體系(Z=7—10)幾個較低的自旋四重P 態(1 snlnl′4Po和1s2pnp4P)的費米接觸項以及其他超精細結構常數.對于fc,他們的結果的精度在10—5(通過和本研究小組的結果對比而發現).本文對鋰原子及類鋰離子體系(Z=4—10)的1s2s3s4S,1 s2s4s4S和 1s2s2p4P的費米接觸項做了計算,一方面彌補了在Z=4—6這個區域中相關數據的缺失;另一方面,對于文獻上已有的結果,在精度上有明顯的提高(1—3 個量級).除此之外,還研究了原子核的有限質量對fc的影響.本文所有fc的精度都在10—10以上,可以作為其他計算方法的基準,同時也為相關的實驗研究提供了有價值的參考數據.

2 理論方法

2.1 非相對論哈密頓量

在質心坐標系中,三電子原子體系的非相對論哈密頓量為[16](本文使用原子單位,即?=e=me=1)

其中,M代表原子核的質量,μ=meM/(me+M)代表電子的折合質量.(1)式中能量的單位是 2RM,而RM=(1-μ/M)R∞.原子核的有限質量對能量的影響通過能量單位 2RM(mormal mass shift)和(1)式中的最后一項(specific mass shift)體現出來.

2.2 三電子體系Hylleraas 型變分波函數

本文使用瑞利-李茲變分法求解體系的薛定諤方程,選擇三電子體系的Hylleraas 型基函數構造變分波函數.Hylleraas 型基函數是目前求解兩電子和三電子原子體系薛定諤方程的精度最高的基函數[17].把體系的變分波函數做如下展開:

而

其中,A表示三電子體系的反對稱化算符,?i(r1,r2,r3)表示基函數的軌道部分:

而

表示三個角動量函數耦合出的基函數的角向部分;χ(1,2,3)表示自旋函數,對于自旋四重態(S=3/2,MS=3/2),有

使用(2)式的變分波函數,根據瑞利-李茲變分法[17],可以得到廣義本征值方程:

其中H和O分別表示哈密頓矩陣和交疊矩陣.求解廣義本征值方程(7),即可得到體系的能量本征值和本征波函數的最佳近似值.為了提高變分能量的收斂率,參考Yan 的方法[12],根據以下條件把變分基底分為5 組:

每組基底的規模用下面的條件控制:

其中,jμ,jμν和Ωi均取非負整數.

2.3 費米接觸項與全局化方法

費米接觸項的定義為

其中σz是泡利矩陣.從(10)式可知,fc的數值精度對體系波函數在坐標原點處的取值有比較強的依賴關系,這在數值計算中是不利的.為了克服這一缺點,Hiller 及其合作者以及Drachman 發展了“全局化方法”[8,9].本文采用Drachman 的全局化方法[9],其主要思想是用一個等價的表達式代替δ函數的期望值,即

其中

不難發現,利用全局化方法計算得到的fc比直接利用定義(10)式計算在精度上可以提高1—2 個量級.

3 結果與討論

使用2.2 節中描述的變分基底,首先用瑞利-李茲變分法求解鋰原子和類鋰離子體系(Z=4—10)的 1 s2s3s4S,1 s2s4s4S 和 1 s2s2p4P 的薛定諤方程,得到了這些體系的變分能量和變分波函數.把變分基底的規模從N=210 (N表示基函數的數目)逐步擴大到N=27130,在每一組基底下,用牛頓法對5 組非線性參數進行充分優化,以得到盡可能低的變分能量.在N＜10000 的情況下,優化參數能夠帶來比較明顯的效果,但是,隨著變分基底的進一步增大,優化參數帶來的能量降低很有限.這時,主要靠增大基底的規模帶來能量的進一步降低.

表1 列出了鋰原子 1 s2s3s4S 態的變分能量(原子核質量取為無窮大)在不同基底下的值,從收斂序列可以確認變分能量的收斂精度達到了10—13.對于其他兩個態,變分能量也達到了相似的精度.表2列出了從鋰原子到Ne7+離子的 1 s2s3s4S,1s2s4s4S和 1 s2s2p4P 的變分能量,并與文獻上已有的結果進行了對比.相較于Yan[12]的結果,本研究組的結果在精度上提高了1—3 個量級;相較于Barrois等[18]的結果,則提高了5—6 個量級.精度提高的主要原因是使用了更多的變分基函數.

表1 鋰原子 1 s2s3s 4S 態的非相對論變分能量的收斂情況,核質量取為無窮大Table 1.Study of the convergence of nonrelativistic variational energies of the 1 s2s3s 4S state of lithium atom,suppose the mass of the nucleus is infinite.

表1 和表2 中的變分能量都是在原子核質量取無窮大的假設下得到的,即在方程(1)中取μ/M=0.對于原子核質量取有限值的情況,可以通過直接對角化方程(1)中的哈密頓量來得到體系的能量,也可以用微擾法來處理有限核質量帶來的影響,即把方程(1)中的最后一項當作微擾算符來處理.為了得到各種同位素的能量,使用計算公式

其中,EM表示核質量為M的同位素的變分能量;ε0表示核質量取無窮大時體系系的能量;ε1,ε2和ε3分別表示一階、二階和三階質量極化系數;λ=-μ/M.質量極化系數可以通過微擾論計算得到.用微擾論計算了一階、二階和三階質量極化系數,數據列于表3.根據表2 和表3 中的數據,只要知道了核質量,就可以根據方程(13)計算出該同位素的非相對論能量.

表2 類鋰離子體系 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 態的非相對論能量,核質量取為無窮大 (原子單位)Table 2.Nonrelativistic energies of the 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1 s2s2p 4P states of lithium-like ions,suppose the mass of the nucleus is infinite (in a.u.).

表3 類鋰離子體系 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 態的質量極化系數(原子單位)Table 3.Mass polarization coefficients of the 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1 s2s2p 4P states of lithium-like ions (in a.u.).

根據變分法得到的高精度波函數以及方程(10)和方程(11),即可得到fc的數值.表4 列出了鋰原子的fc隨基底逐漸增大而收斂的情況.根據收斂序列,可以確定fc的收斂精度達到了10—10.表5 列出的是從鋰原子到Ne7+三個最低的自旋四重態的fc.這些結果的收斂精度普遍達到了10—10.與早期使用Hylleraas 變分波函數計算的鋰原子費米接觸項[12,21]相比,本研究組的結果在精度上提高了2—5 個量級.精度提高的原因有兩點: 一是在變分波函數中包括了更多的基函數;二是使用了Drachman 全局化方法[9],這種方法有利于加速結果的收斂.通過比較Zhuo等[14,15]使用組態相互作用方法計算的N4+,O5+,F6+和Ne7+的1 s2s2p4P 態的費米接觸項,發現他們的結果的精度在10—5左右.

表4 和表5 中的fc是在核質量取無窮大的情況下得到的,與核的有限質量對變分能量的影響類似,核的有限質量對fc的影響也可以通過質量極化系數表示為

表4 鋰原子 1 s2s3s 4S 態的費米接觸項的收斂情況,核質量取為無窮大Table 4.Study of the convergence of nonrelativistic variational energies of the 1 s2s3s 4S state of lithium atom,suppose the mass of the nucleus is infinite.

其中,表示無窮大核質量情況下計算得到的費米接觸項,表示有限核質量下的費米接觸項,表示費米接觸項的一階質量極化系數.方程(14)精確到O(λ).計算得到的費米接觸項的一階質量極化系數列于表6.根據表5 和表6 所列的數據可以看出,原子核的有限質量對fc的影響主要來自于即normal mass shift,質量極化效應的影響相對來說要小很多.

表5 類鋰離子體系 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和 1 s2s2p 4P 態的費米接觸項,核質量取為無窮大Table 5.Fermi contact terms of 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1 s2s2p 4P states of lithium-like ions,suppose the mass of the nucleus is infinite.

表6 類鋰離子1s2s3s 4S,1 s2s4s 4S 和1s2s2p 4P態的費米接觸項的一階質量極化系數Table 6.First-order mass polarization coefficients of Fermi contact terms of 1 s2s3s 4S,1 s2s4s 4S and 1s2s2p 4P states of lithium-like ions.

4 結論

本文利用Hylleraas 坐標下的瑞利-李茲變分法對鋰原子及類鋰離子(Z=4—10)的自旋四重態 1 s2s3s4S,1 s2s4s4S 和 1 s2s2p4P 的非相對論薛定諤方程進行了高精度求解,得到的變分能量的精度達到了10—13,并給出了變分能量的一階、二階和三階質量極化系數.與文獻上已有的結果相比,本文的結果在精度上提高了1—6 個數量級.使用高精度的變分波函數,計算了這些態的費米接觸項,fc的精度達到了10—10,是目前已有結果中最精確的.本文的結果可以作為其他計算方法參照的基準,也為以后要開展的相對論修正和QED 修正計算工作打下了基礎,同時也為相關的實驗研究提供了有價值的參考數據.