加筋板封閉矩形聲腔的聲振耦合特性研究

程傳峰，金明，王項如，王園，朱英霞，王健，盤朝奉

（1.246001 安徽省 安慶市 安徽新富新能源科技有限公司；2.246001 安徽省 安慶市 安徽環新集團股份有限公司；3.212013 江蘇省 鎮江市 江蘇大學 機械工程學院；4.212013 江蘇省 鎮江市 江蘇大學 汽車工程研究院）

0 引言

加筋板封閉聲腔結構在工程領域中有著大量的應用，如車輛乘座室及其電動汽車液冷板箱、船舶艙室、飛機乘座艙等。在這些加筋板結構與封閉聲場構成的聲振耦合系統中，板結構不僅要與封閉聲場進行耦合，還要與筋進行耦合，導致對耦合系統理論模型進行構建和求解變得比較困難。因此，大量的學者對此類聲振耦合系統進行簡化研究，包括平板結構與封閉矩形聲場構成的經典耦合模型。對于此簡化的聲振耦合模型，國內外有大量的研究報道，包括板的模態密度和阻尼變化對矩形聲場的影響[1-2]，板結構與矩形聲場間的耦合特性[1-3]，板的彈性邊界約束對耦合系統自由振動和動態響應的影響[4-5]，以及聲腔聲場的主動控制研究[6-8]等。而對于加筋板結構與封閉聲場間耦合的理論研究報道較少，僅有于士甲[9]等提出先利用ANSYS 獲得加筋板結構的模態信息，然后再結合能量模態分析法計算加筋板結構與矩形聲場所構成耦合系統的動態響應；以及Ma[10]等利用模態疊加法和聲振耦合理論建立了雙層加筋板與板間矩形隔腔間聲振耦合模型，研究了此結構隔聲的主動控制。且上述兩文獻均用耦合系數來表示加筋板結構與聲腔聲場間耦合強度，但耦合系數只能反映聲振耦合在接觸面處的模態匹配程度，不能反映真實的耦合強度[1-2]。

加強筋與平板間的耦合會改變板的模態特性，從而對與板結構耦合的封閉聲場產生影響。對于筋與平板間耦合，高雙[11]等采用里茨能量泛函變分原理對加筋薄板的模態進行求解，并與其它理論結果進行對比分析；Dozio[12]等基于模態疊加法研究了有限尺寸加筋薄板的自由振動特性；Lin 分別基于模態疊加法[13]、傳播波法[14]研究了激勵形式和激勵到筋的距離對加筋板結構動態響應的影響，研究表明激勵到筋的距離和板的振動響應密切相關。此外，還有微分求積法[15]、改進的傅里葉級數法[16-17]等用于筋與板間耦合分析。由上述文獻研究可知，加筋對板結構與矩形聲場間耦合強度的影響，以及激勵到筋的距離對與板結構耦合的封閉聲場響應的影響，國內外鮮有這些方面的報道。

本文對加筋板結構與封閉矩形聲場間的聲振耦合特性進行詳細研究，首先利用模態疊加法建立加筋板結構的理論模型；然后利用聲振耦合理論建立加筋板結構與聲腔聲場間耦合模型，并通過軟件仿真驗證所構建理論模型的準確性?；跇嫿ǖ穆曊耨詈夏Ｐ脱芯苛思畹郊訌娊畹木嚯x對耦合系統中板振動能量和聲腔聲場能量的影響。此外，推導了反映加筋板結構與矩形聲場間耦合強度的傳遞因子計算公式，研究了板實施加筋對耦合強度的影響。

1 模型建立

設矩形聲腔z=Lz處為加筋彈性壁面，其余為剛性壁面，板的邊界實施簡支約束。加強筋位于板的一側，并設筋與板之間為不可滑動的線連接，在連接處xb存在相互作用的線力Fc和線力矩Me，如圖1 所示。矩形聲腔內聲場波動方程和基板的振動微分方程分別為[10]

圖1 結構-聲耦合系統模型Fig.1 Structure-acoustic coupled model

式中：p，c0——矩形聲腔內聲場聲壓和聲場聲速；D，ρ，h，w——板的彎曲剛度、密度、厚度和振動位移；fp——作用在板上（x0，y0）處的點力。

對于加強筋，其彎曲、扭轉振動微分方程分別為[12]

式中：v，θ——加強筋的彎曲位移和扭轉角度；Eb，Ib，ρb，Ab——筋的楊氏模量、截面慣性矩、密度和橫截面積；Gb，Jb，Ip,b——筋的剪切模量、圣維南扭曲常數、極慣性矩；fbx——作用在加強筋的ybx處點力。

矩形聲場p 可通過模態疊加法擴展得到[2]

解法六：由函數圖象的對稱性可知函數圖象上與對稱軸距離相等兩點的函數值相等，即：，則在中，任取可求出a=-1.

基于模態疊加理論，基板振動位移w（x，y，t）和加強筋振動位移v（y，t）、扭轉角度θ（y，t）可分別擴展為[12]

式中：φij（x，y）=φi（x）φj（y），φi（x）=sin（iπx/Lx），φj（y）=sin（jπy/Ly）；Wij，Vj，θb,j——對應的基板振動位移模態幅值、筋振動位移和扭轉角的模態幅值。

對于矩形聲腔內聲場，考慮其邊界條件，利用聲模態函數的正交性和第二格林定理，并引入模態損耗因子可得

將梁的彎曲和扭轉運動方程式（3）和式（4）代入式（2），再代入基板和梁的模態振型函數式（7）、式（8）和式（9），然后方程兩側乘以板的模態振型函數，并對板面進行積分，利用模態振型的正交性，以及基板和加強筋在接觸處轉角和位移連續性條件[12]

通過式（18）可得到矩形聲腔內聲場聲壓模態幅值，將此聲場模態幅值代入式（14）即可得到加筋板的振動位移模態幅值。然后將求得的矩形聲場和加筋板振動位移的模態幅值分別代入式（5）和式（7）即可得到聲場聲壓和板振動位移。

2 理論計算與分析

如圖1 所示，設簡支約束加筋板的尺寸為：Lx=0.78 m，Ly=0.91 m，聲腔高度Lz=0.55 m?；搴穸萮=0.003 m。筋是截面為Ab=0.003×0.036 m2的矩形?；搴徒畈牧暇鶠殇X，密度ρ=2 770 kg/m3，楊氏模量為E=71 GPa，泊松比為μ=0.33。設聲腔聲場和板的模態損耗因子分別為0.001 和0.01。在板（0.1，0.8）m 處作用一幅值為1 N 的法向簡諧點力fp，且分析過程中點力保持不變。

本文用于矩形聲場、基板、筋間耦合計算的模態個數上限分別取為L1×L2×L3=5×5×5，I=J=10，J=10。為驗證準確性，用商業軟件對聲振耦合系統進行建模仿真，設筋位于基板xb=Lx/4 m 處。圖2 為兩種方法計算的點力激勵下聲腔內場點1（0.1，0.1，0.1）m，2（0.39，0.455，0.275）m 處的聲壓級，可知結果吻合較好，說明此理論模型是準確的。

圖2 解析法和數值法結果對比Fig.2 Comparison of analytical and numerical results

2.1 加筋板結構與矩形聲場間模態耦合特性

2.1.1 耦合系數

模態耦合系數是聲腔聲場模態和加筋板結構模態在接觸面上的匹配程度[1-2]。板實施加筋后，其模態振型變得比較復雜，使得加筋前后板的耦合選擇性發生變化。因此這里推導了加筋板結構與矩形聲場間模態耦合系數公式，定義第l1l2l3階矩形聲場模態和第ij 階加筋板模態間的耦合系數為

表1 為加筋板結構（xb=Lx/4 m）與矩形聲場間的耦合系數，可知加筋板結構與矩形聲場間的耦合系數在Y 軸向仍然滿足只有模態序數之和為奇數時，其耦合系數才不為零。而在由于加筋改變模態振型的X 軸向，其模態序數之和為偶數時，加筋板模態和矩形聲場模態間也有可能存在耦合，如聲腔模態（0，0，0）和板模態（2，1）、聲腔模態（1，0，0）和板模態（1，1）等在加筋后其耦合系數變為非零。

2.1.2 傳遞因子

平板結構與矩形聲場間可用傳遞因子反映模態間的耦合強度[1-2]。由于平板結構與矩形聲場間傳遞因子公式不再適合于加筋板時情況，因此本文推導了加筋板結構與矩形聲場間傳遞因子公式。定義第l1l2l3階矩形聲場模態和第ij 階加筋板模態間的傳遞因子為：

表2 為加筋板結構（xb=Lx/4 m）與矩形聲場模態間的傳遞因子，相較于平板與矩形聲腔間耦合，可得

（1）加筋后更多的板模態與聲場模態間產生了耦合，如聲場模態（1，0，0）和板模態（1，1）、（5，1）、（1，3）間傳遞因子均不為零，對應表1中它們間的耦合系數在板實施加筋后亦不為零；但加筋后新出現耦合間傳遞因子均較小，如表2所示。

表1 加筋板與矩形聲場間模態耦合系數,xb=Lx/4 mTab.1 Coupling coefficients between modes of rectangular cavity and ribbed plate,xb=Lx/4 m

表2 加筋板結構與矩形聲場模態間傳遞因子，xb=Lx/4 mTab.2 Transfer factors between modes of ribbed plate and rectangular cavity,xb=Lx/4 m

（2）傳遞因子越大，耦合越強，對應耦合前共振頻率差越??；例如聲腔模態(0,1,0)和板模態(3,2)間傳遞因子加筋前后分別為0.084 和0.859，對應耦合前共振頻率差分別為45.84，10 Hz。

2.2 筋到激勵的距離對耦合系統動態響應的影響

設加筋后的板振動能量衰減級LTp[13]和矩形聲腔聲場聲勢能衰減級LEe分別為

式中：Tp，Ea——加筋板與矩形聲腔構成耦合系統中板振動能量和聲腔聲勢能[2]；Tp0，Ea0——平板與矩形聲腔構成耦合系統中各部分對應能量。

圖3、圖4 分別為耦合系統中基板振動和矩形聲場的能量衰減后及衰減前的曲線，橫坐標分別采用1/3 倍頻程和連續頻譜的形式。令筋在基板上布放位置分別為xb=0.1，xb=Lx/4，xb=3Lx/4 m，對應點力激勵加強筋上、點力距筋較近和較遠三種情況。由于加強筋位于 xb=Lx/4 m 和xb=3Lx/4 m時關于板是對稱的，可知兩加筋板的共振頻率一樣，模態振型對稱。由圖3 和圖4 分析可得：

（1）當點力作用在加強筋上時（xb=0.1 m），相較于平板，除了中心頻率63 Hz 處以外，矩形聲場和基板振動的能量級在整個分析頻段出現了衰減現象（正LEe和LTp值），如圖3（a）和（b）所示。此時加筋板的動態響應是由筋彎曲剛度所控制[13-14]，且筋的彎曲剛度是基板的4.6 倍，從而板振動和與其耦合的聲腔聲場的能量均在加筋后變小。由圖4（a）知，板控模態（2，1）的共振頻率從加筋前的56 Hz 變為加筋后的58 Hz，分別位于中心頻率50 Hz 和63 Hz 內，使得加筋后中心頻率63 Hz 處出現能量放大的現象。

圖3 聲場聲勢能衰減級和振動能量衰減級Fig.3 Attenuation level of acoustic potential energy and plate vibration energy

（2）加強筋位于xb=Lx/4 m 時，相較于平板，除中心頻率63，160 Hz 外，聲腔聲場和板振動的能量在200 Hz 以下其他中心頻率處出現了明顯的衰減現象；中心頻率200 Hz 范圍內的202 Hz對應板的1/4 彎曲波長λp/4=0.095 m，為點力到筋的距離；由文獻[13,14]可知，此時加筋板的振動響應是由筋的彎曲剛度所控制的，且筋的彎曲剛度遠大于板的，因此導致加筋后的板振動能量以及與其耦合的聲腔聲能量在此中心頻率下出現衰減現象；類似于筋位于xb=0.1 m 處，中心頻率63 Hz 處出現能量放大現象是由于加筋使板控模態（2，1）的共振頻率出現轉移導致的，如圖4（b）所示；但中心頻率160 Hz 處出現的能量放大現象是由加筋后板控模態（3，2）產生較大的聲勢能導致的，板控模態（3，2）加筋前后的共振頻率142，175 Hz均在中心頻率160 Hz范圍內。

圖4 加筋前以及不同加強筋位置時，矩形聲場聲勢能級Fig.4 Acoustic potential energy level with unribbed and ribbed of different locations

（3）當加強筋位于xb=3Lx/4 m 時，聲腔聲能量和板振動能量相對于平板時沒有在整個頻段連續出現能量衰減現象；這是因為此時點力到筋的距離遠大于板的1/4 彎曲波長，導致加筋板振動響應是由基板的彎曲剛度所控制；且加筋會使板控模態的共振頻率從一個中心頻率轉移到另外一個中心頻率范圍內，從而使加筋前后能量出現波動現象，如圖4（c）所示。相較于筋位于xb=Lx/4 m 時，雖然兩個加筋位置處板的自由振動特性一樣，但它們到激勵的距離不同，導致對應耦合系統的響應也不同。

3 結論

本文基于模態疊加法和聲振耦合理論構建了加筋板結構與矩形聲場間耦合模型，研究了加筋對聲振耦合特性和受激勵后動態響應的影響。結論如下：

（1）由于加筋導致的板結構與矩形聲場間耦合特性變化與筋的布放位置有關；在與筋平行的軸向，板結構與矩形聲場間模態耦合仍然具有選擇性，而在其它軸向耦合不再有選擇性；加筋后板結構與矩形聲場間耦合強度（傳遞因子）發生了改變，但由于耦合選擇性改變而增加的板結構與聲場模態耦合間能量傳遞較少。

（2）由于加筋而產生的矩形聲場聲勢能和加筋板振動能量的衰減程度與點力到加強筋的距離密切相關，當筋的彎曲剛度遠大于板的彎曲剛度，且點力直接作用在加強筋上或者點力到筋的距離小于板的1/4 彎曲波長時，聲腔聲勢能和板振動能量在所分析的大部分頻段都得到了衰減；反之則不會出現連續衰減現象。從而可為工程中的加筋板封閉空腔這類聲學結構設計時筋的合理布置提供了指導。