雙圓弧諧波剛輪刮齒加工原理及刀具設計

莫帥 王賽賽 羅炳睿 岑國建

摘要：為提高諧波齒輪的加工精度和效率，提出一種適應雙圓弧諧波剛輪的刮齒加工原理和刀具設計方法.根據包絡理論求解諧波剛輪共軛齒廓，并采用最小二乘法擬合；通過構建刮齒加工坐標系和前刀面坐標系求解刮齒刀具共軛面和前刀面模型，并用NURBS曲面擬合；根據牛頓迭代法求解前刀面與共軛面交點獲取切削刃數據，導入CAD軟件建立刮齒刀具數學模型.在此基礎上，分析不同前角和后角對刮齒刀具齒廓誤差的影響，結果表明：由于前角和后角，刮齒刀具切削刃實際齒廓和理論齒廓產生一定偏差，該齒廓偏差從齒頂到齒根逐漸增大，并隨著前角和后角的增大而增大.

關鍵詞：齒輪加工；齒輪刀具；諧波傳動；刮齒工藝；三次B樣條曲面

中圖分類號：TG721文獻標志碼：A

Machining Principle and Cutter Design of Double-arc Harmonic Rigid Gear Skiving

MO Shuai1，2，4，WANG Saisai1，2，LUO Bingrui1，2，CEN Guojian3

（1. School of Mechanical Engineering，Tiangong University，Tianjin 300387，China；2. Tianjin Modern Electromechanical Equipment Technology Key Laboratory，Tianjin 300387，China；3. Ningbo Zhongda Leader Intelligent Transmission Technology7 Industry Co.，Ltd.，Ningbo 315301，China；4. Jiangsu Wanji Transmission Technology Co.，Ltd.，Taizhou 225400，China）

Abstract：In order to improve the machining accuracy and efficiency of harmonic gear，this paper proposes a skiving machining and the tool design method for double-arc harmonic rigid wheels. Based on the envelop theory，the conjugate tooth profile of the harmonic rigid wheels is solved，and the least squares method is used to fit it. The conjugate surface and rake surface are solved by constructing the skiving machining coordinate system and rake face coordinate system，and NURBS surface is used to fit. The rake and conjugate surface are intersected by Newton interative method to obtain the cutting edge data，and the mathematical model of skiving tool is established by importing the data to CAD software. On this basis，the influence of different rake edge angles and back edge angles on tool profileerror is analyzed. The results show that the skiving tool has a certain deviation between the actual tooth profile and the theoretical tooth profile due to the rake edge angle and back edge angle，and this deviation increases gradually from the tooth tip to the tooth root with the increase of rake angle and back angle.

Key words：gear cutting；gear cutters；harmonic drive；skiving process；three-times B-splines （NURBS ）surface

在諧波傳動中，齒輪的齒形設計及加工工藝對其傳動特性有較大影響.隨著科學技術的發展，國內外學者對諧波齒輪做了大量分析研究[1-4]，辛洪兵[1]和王家序等[4]指出雙圓弧齒形的諧波減速器具有良好的傳動質量.由于齒形復雜，諧波齒輪制造工藝受到極大限制，王仕璞等[3]提出以具有正前角的滾刀加工諧波柔輪，并建立刀具模型；Yoshino等[5]根據單元去除理論提出一種特殊齒形齒輪的插齒刀具設計方法.刮齒作為一種新型齒輪加工技術具有比插齒更高的精度和效率.目前，國內關于刮齒刀具設計方法的研究成果較少[6-15]，其中賈康等[7]基于展成加工原理，給出一種由刮齒前刀面與離散曲面相交構建切削刃的方法；Guo等[9]提出一種無理論誤差直齒刮齒刀具結構，并建立數學模型，為刮齒刀具參數優化提供參考.

刮齒加工技術尚未應用到諧波齒輪的加工中. 本文以偏離端面一定角度的平面作為前刀面，設計適應雙圓弧齒形諧波剛輪加工的刮齒刀具模型，降低刀具加工和磨削難度，使工件具有較小的刃形誤差，提高雙圓弧諧波剛輪的加工精度和效率.

1刮齒加工原理

刮齒加工方式與插齒類似，都是基于展成加工原理，區別在于切削的作用方式不同.插齒加工時工件和刀具做無間隙嚙合運動，同時插齒刀沿工件軸向做往復切削運動.刮齒加工示意圖如圖1所示，工件與刀具保持恒定的軸交角，同時做旋轉嚙合運動和軸向進給運動，工件和刀具由于強制嚙合而產生一系列微小溝壑，構成工件曲面.在機床作用下刀具沿徑向推進，最終完成齒輪的加工[9].

2諧波齒輪齒廓設計方法

2.1雙圓弧諧波柔輪齒廓方程

雙圓弧諧波柔輪齒廓如圖2所示，其基準形式為圓弧-公切線-圓弧.建立柔輪齒廓坐標系XOY，圓弧段圓心坐標O_a（x_a，y_a）、O_b（x_b，y_b），其中x_a=-c_a，y_a=h_a+h_f+d_al_a，x_b=πm/2+c_b，y_b=h_f+d_a+l_b.以柔輪單側齒廓為例，各參數取值如表1所示，表中r_a和r_b分別為凸圓弧和凹圓弧半徑，3為公切線傾角，l_f為公切線豎直距離，α為O_aB與水平方向的夾角.以齒廓弧長s為變量，建立公切線雙圓弧諧波柔輪的凸段齒廓、切線段齒廓和凹段齒廓的分段方程.

諧波柔輪凸圓弧BC段齒廓方程為：

諧波柔輪公切線CD段齒廓方程為：

諧波柔輪凹圓弧DE段齒廓方程為：

式中：l₁=r_b{π/2-arccos[（l_b+h_f）/2]-δ}-c_b.

2.2剛輪齒廓方程求解

諧波齒輪傳動過程中，柔輪因為波發生器的作用而發生變形，因此常用包絡法求解諧波剛輪齒廓[10].圖3為諧波齒輪傳動坐標系，在圖3中，當柔輪在諧波發生器的作用下沿原始曲線C^l運動時，齒廓曲線R^l的包絡即為所求剛輪齒廓G^l.

諧波齒輪傳動的基本設計參數如表2所示.其中柔輪徑向最大變形量w₀取0.5 mm，設柔輪和剛輪齒廓坐標分別為（x_r，y_r）（x_g，y_g）.

方程（4）為諧波柔輪齒廓坐標系向剛輪齒廓坐標系的轉換方程，式中包含未知變量φ與s.諧波齒輪在傳動嚙合過程中滿足嚙合方程（5），選取并離散s值，代入式（5）可求出對應的φ值.將求解得到的φ與s代入式（4），可得到剛輪齒廓坐標.

圖4通過坐標變換模擬柔輪與剛輪的相對運動，直觀反映出諧波齒輪傳動的嚙合特征，剛輪齒廓在柔輪的包絡中得到正確驗證.

為便于圖4的工藝實現，對剛輪齒廓公切線段以直線y=kx+b擬合，對圓弧段以圓形方程（6）擬合.

x²+y²+ax+by+c=0（6）

設剛輪齒廓點（x_i，y_i），令y=f（x，t_j），j=1，2，…，m.取精度為0.000 1，p（t_j）滿足式（7），各常數滿足式（8）.

將齒廓離散坐標點代入擬合公式，可得剛輪凸、凹圓弧段圓心坐標分別為O_g1（0.139 1，0.332 5）和O_g2（0.338 8，0.582 2）；半徑分別為r₁=0.693 7、r₂= 0.759 9；公切線段分別為k=-7.840 1、b=28.507 7.設齒廓方程為F（x，y），在z方向離散可得剛輪齒面坐標點云如圖5所示.工件齒面上任意點法失N的分量分別為：

3剛輪刮齒刀具幾何參數計算

刮齒刀具與其他齒輪加工刀具類似，都具有切削刃和前后刀面等結構要素[11].刮齒刀具結構如圖6所示.

3.1前刀面數學模型

在刮齒加工中，刀具與工件之間存在軸交角，因此采用與端面一定角度的平面作為前刀面，使刮齒刀具兩側刃切削角度相近，減小刃形誤差[12].

圖7為刮齒刀具前刀面坐標系.在圖7中，坐標系XYZ為前刀面坐標系，X_aY_aZ_a為輔助面坐標系，X₂Y₂Z₂為刀具運動坐標系.前刀面法向量在坐標系XYZ中可表示為n（0，0，1），根據式（10）可得，在刀具運動坐標系中的前刀面法向量為n₁（sinαcosβ，sinβ，cosβcosα）.

式中：B₁為前刀面向輔助面變換的矩陣；B₂為輔助面向刀具運動坐標系變換的矩陣.

在X₂Y₂Z₂坐標系中前刀面方程為：

x₂sinαcosβ+（y₂-r₁）sinβ+z₂cosβcosα=0（13）

3.2共軛面數學模型

3.2.1相對運動速度

刮齒加工坐標系如圖8所示.S₁-O₁X₁Y₁Z₁為工件坐標系，S₂-O₂X₂Y₂Z₂為刀具坐標系，S₀-O₀X₀Y₀Z₀和S_P-O_PX_PY_PZ_P為參考坐標系，i、j、k和i_p、j_p、k_p分別為坐標系S₀和S_P對應坐標軸的單位向量.加工運動時刀具以w₂轉動并沿z₁軸負方向移動，工件以w₁定軸轉動，共軛面與刀具齒面在M點共軛.

S₀和S_P的位置關系為：

k=sin γj_p+cosγk_p（14）

共軛點M在坐標系S_P中滿足式（15）：

解得v₁₂在S_P中的分量為：

式中：β₁和β₂分別為工件和刀具螺旋角；n₁和n₂分別為工件和刀具齒數；m為模數.

將式（9）、式（16）代入式（21），可解得S₁繞Z_P轉過的角度θ₁.齒面在M點嚙合時滿足：

整理得共軛面坐標點為：

[x_Py_Pz_P1]=M_P1[x₁y₁z₁1]^T（19）

式中：M_p1為S₁向S_P的變換矩陣.

三次B樣條曲面（Non-Uniform Rational B-

（a）主視圖

Splines，NURBS）具有良好的局部性質[14-15].為便于切削刃的求解，將共軛面擬合，在其上選取K×L個型值點，設參數u方向為F_i，j.

3.2.2共軛關系

共軛點在嚙合運動時滿足嚙合原理[13].

N_Pv₁₂=M_P1Nv₁₂=0（21）

根據自由端點條件（27）可求得u向控制點V_i，j，將其作為w方向的型值點，以同樣的方法求出B樣條曲面控制點p_i，j.當參數u和w掃過它的整個定義域時，等參數線描述成如圖9所示擬合曲面.

B樣條曲面擬合方程如式（28）所示.

3.3主刃和主后刀面模型

共軛面經三次B樣條曲面擬合，其中x₂=P₁（u，w）、y₂=P₂（u，w）、z₂=P₃（u，w）.前刀面方程為：

f（x₂，y₂，z₂）=0

x₂、y₂和z₂關系如式（13）所示.共軛面與前刀面交線方程為：

f（P₁（u，w），P₂（u，w），P₃（u，w））=P（u，w）=0

本文采用牛頓迭代法逼近共軛面，擬合點云與等值線P（u，w）=0的距離，獲得主切削刃.

將u、w均分為n份，擬合后的共軛面上每一個網格間距為Δu=Δw=1/n，矩形單元Δ_ij的4個頂點與前刀面交線方程對應函數值分別為P（u_i，w_j）、P（u_i，w_j+1）、P（u_i+1，w_j）、P（u_i+1，w_j+1）.主切削刃的求取就是計算共軛面網格單元邊與P（u，w）=0的交點，具體步驟如下：

1）將擬合后的共軛面點云代入交線方程并判斷每個網格頂點的符號（大于0記為“+”，否則記為“-”）.

2）若共軛面網格單元的頂點符號相同，則與等值線P（u，v）=0無交點，否則轉到3）.

3）對于兩端異號的單元邊，采用牛頓迭代計算交點，對于單元邊w_j-w_j+1，設P（u_i+1，w_j+1）為“-”，P（u_i+1，w_j）為“+”，交點（u_t，w_t）中u_t=u_i+1，w_t利用牛頓迭代公式（11）求取.

令w₁=w_j、w₂=w_j+1，設置迭代精度ξ=0.001，迭代至w_k+1-w_k<ξ時w_t=w_k+1.求出對應的u、w值代入x₂、y₂和z₂，可獲得交點如圖10所示.

當刀具刃磨后，前刀面在刀具運動坐標系中沿Z₂軸方向移動Δb，同時為保證工件全齒高，刀具工件中心距增大Δa，構成一個新的主刃，將所有主刃特征點擬合就構成主后刀面.

4刮齒刀具數字化設計

以雙圓弧諧波剛輪為例，設計刮齒刀具三維模型.工件參數為：模數m=0.5 mm，齒數z₁=102，螺旋角β=0，轉速n₁=1 000 r/min.刀具參數為：轉速n₂= 1 522.4 r/min，齒數z₂=67，速度v=0.1 mm/r.

刮齒刀具設計流程如圖11所示.參照3.1節內容求得前刀面方程；根據工件參數按照3.2節內容建立齒面方程.設γ=5°，計算得到共軛面坐標點云，并用三次B樣條曲面擬合；根據3.3節內容，設初始中心距a=8.75 mm，改變交點參數Δa = 0.1 mm，Δb = 2 mm，部分交點坐標數據如表3所示.利用式（30）擬合交點即得到切削刃.

將B樣條曲線擬合后的切削刃點云導入CAD軟件中構建刮齒刀齒面，通過曲面縫合構建單齒模型，將單齒實體陣列獲得刮齒刀具實體模型，如圖12 所示.

5刮齒刀具齒廓誤差分析

在《圓柱齒輪精度制第1部分：輪齒同側齒面偏差的定義和允許值》（GB/T 10095.1—2008）中，將漸開線齒廓誤差定義為實際齒廓偏離設計齒廓的量，該量在端平面內且垂直于漸開線齒廓的方向.區別于漸開線，雙圓弧齒廓刀具齒廓偏差Δf可看作齒廓對應點在其半徑方向與偏移齒廓的距離.圖13為齒廓誤差示意圖.圖13（b）中刮齒刀具剖面I-I端面齒廓對應圖13（a）中標準齒廓a，II-II端面齒廓對應標準齒廓b.齒廓b為齒廓a的變位齒廓，標準齒廓凸圓弧段點坐標為（x₁，y₁），對應齒廓b上坐標（x₂，y₂），圓心O_a2對應坐標（x_oa2，y_oa2）.以凸圓弧段為例，將齒廓b繞圓心O_a2逆時針旋轉Δθ得到齒廓3.在雙圓弧齒廓中忽略長度較小的公切線段，根據位置轉換關系可知，對應弧長s的點齒廓偏差Δf如式（32）所示，其中Δθ可根據B₁、B₂和圓心O_a1的坐標求得.

在實際齒廓中，由于前后角的存在，刮齒刀具切削刃上任意點對應端面齒廓變位量Δa不同，其關系如式（33）所示，其中Δl為弧長s對應點與齒廓頂點的垂直距離.將刀具刃磨參數代入齒廓誤差計算公式，可得切削刃上任意點齒廓偏差如圖14所示.刮齒刀具側刃齒廓偏差隨弧長s的增大而增大，最大齒廓偏差約為3μm.

Δa=Δl tan α_etan γ_e（33）

改變頂刃后角和前角，取側刃最大誤差值對應點計算前后角對齒廓最大誤差的影響，如圖15所示.由圖15可知，最大誤差隨前后角增大而增大，在對應范圍內，最大齒廓誤差小于15 μm.在實際切削過程中，雖然較小的前角和后角能有效降低齒廓誤差，但也會影響切削效率和刀具壽命.

6結論

1）提出一種諧波齒輪新型加工方法，根據曲面展成原理，通過改變傳統加工刀具切削刃與切削的作用位置，設計加工精度和效率更高的刮齒刀具加工諧波剛輪，優化了其加工工藝.

2）根據諧波傳動特性求解并擬合剛輪齒廓；由嚙合原理和刮齒刀結構特點構建坐標系，求解并擬合共軛面和前刀面模型；將前刀面與共軛面求交并擬合獲取切削刃數據，導入CAD軟件建立刮齒刀具數學模型.

3）該雙圓弧齒廓刮齒刀具設計及對應齒廓誤差計算方法，具有一定的通用性，進一步完善了刮齒刀具設計理論，可為其他雙圓弧齒廓齒輪加工刀具設計、誤差分析及修形等提供參考.

參考文獻

[1]辛洪兵.雙圓弧諧波齒輪傳動基本齒廓設計[J].中國機械工程，2011，22（6）：656-662.

XIN H B. Design for basic rack of harmonic drive with doublecircular-arc tooth profile [J]. China Mechanical Engineering，2011，22（6）：656-662.（In Chinese）

[2]董惠敏，董博，王德倫，等.基于瞬心線的諧波傳動雙圓弧齒形設計方法[J].華中科技大學學報（自然科學版），2020，48 （4）：55-60.

DONG H M，DONG B，WANG D L，et al. Double circular arc tooth profile design method of harmonic drives based on centrodes[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology （Natural Science Edition），2020，48（4）：55 - 60. （In Chinese）

[3]王仕璞，宋朝省，朱才朝，等.正前角雙圓弧諧波傳動柔輪滾刀設計與齒形誤差分析[J].西安交通大學學報，2021，55（1）：127-135.

WANG S P，SONG C S，ZHU C C，et al. Design and tooth profile error analysis of double-circular-arc harmonic flexspline hob with positive rake angle [J]. Journal of Xi'an Jiaotong University，2021，55⑴：127-135. （In Chinese）

[4]王家序，周祥祥，李俊陽，等.公切線式雙圓弧齒廓諧波齒輪傳動設計[J].湖南大學學報（自然科學版），2016，43（2）：56-63.

WANG J X，ZHOU X X，LI J Y，et al. Design of double-circulararc and common tangent tooth profile of harmonic drive[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2016，43（2）：56-63 （In Chinese）

[5]YOSHINO H，SHAO M，ISHIBASHI A. Design and manufacture of pinion cutters for finishing gears with an arbitrary profile[J]. JSME International Journal，1992，35（2）：313-319.

[6]TSAI C Y Mathematical model for design and analysis of power skiving tool for involute gear cutting[J] Mechanism and Machine Theory，2016，101：195-208.

[7]賈康，鄭帥，郭俊康，等.一種刮削加工切削齒刃形計算與加工運動仿真方法[J].機械工程學報，2019，55（1）：216-224.

JIA K，ZHENG S，GUO J K，et al. A method of cutter profile identification and machining motion simulation for skiving[J]. Journal of Mechanical Engineering，2019，55（1）：216-224 （In Chinese）

[8]CHEN X C，LI J，LOU B C. A study on the design of error-free spur slice cutter[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2013，68（1/2/3/4）：727-738.

[9]GUO Z，MAO S M，LIANG H Y，et al. Research and improvement of the cutting performance of skiving tool[J]. Mechanism and Machine Theory，2018，120：302-313.

[10] CHEN X X，LIU Y S，XING J Z，et al. The parametric design of double-circular-arc tooth profile and its influence on the functional backlash of harmonic drive[J]. Mechanism and Machine Theory，2014，73：1-24.

[11]李佳，婁本超，陳新春.基于自由曲面的剮齒刀結構設計[J].機械工程學報，2014，50（17）：157-164.

LI J，LOU B C，CHEN X C. Structural design of slice cutter based on free-form surface[J]. Journal of Mechanical Engineering，2014，50（17）：157-164. （In Chinese）

[12]馬恩旭.車齒刀結構設計和車齒加工誤差分析[D].重慶：重慶大學，2016：29-39.

MA E X Structure design of skiving cutter and error analysis of skiving processing [D]. Chongqing：Chongqing University，2016：29-39 （In Chinese）

[13]陳兵奎，高艷娥，梁棟.共軛曲線齒輪齒面的構建[J].機械工程學報，2014，50（3）：18-24.

CHEN B K，GAO Y E，LIANG D. Tooth profile generation of conjugate-curve gears [J]. Journal of Mechanical Engineering，2014，50（3）：18-24. （In Chinese）

[14]王磊，楊彬，張其林.非均勻有理B樣條曲面形狀優化方法[J].湖南大學學報（自然科學版），2012，39（7）：14-19.

WANG L，YANG B，ZHANG Q L. Shape optimization of nonuniform rational B-spline surface[J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2012，39（7）：14-19. （In Chinese）

[15] JIA Z Y，SONG D N，MA J W，et al. A NURBS interpolator with constant speed at feedrate-sensitive regions under drive and contour-error constraints[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2017，116：1-17