把握元思維 拓展新思維
——從“K型圖”談起

趙瑩瑩 (江蘇省蘇州市南環實驗中學校 215007)

數學教育的重點是發展學生的數學思維[1]．這是數學教育的重要內容，也是培養學生形成理性思維的重要組成部分之一．要教好數學就必須要注意數學思維的培養，從而提高學生的數學能力．數學是一門抽象性很強的學科，數學思維的形成不同于其他思維能力(如形象思維)，不能一蹴而就，必須與直覺思維、邏輯思維、數學建模、聯想遷移、類比反饋、創新意識，甚至是信念情感態度等非智力因素結合在一起，才能得到良好的效果．

數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系[2]．筆者認為，不僅僅數學知識的學習要注重知識的“生長點”與“延伸點”，數學思維的培養也需如此，只有在把握好學生的元思維的前提下，才能通過目標意識，逐步接近真正的解題思路，拓展新思維，從而解決更難的問題．

“K型圖”是初中階段的常見模型之一，它在研究三角形的全等、三角形的相似、直角三角形中的三角函數和平面直角坐標系中的函數圖象等場合起著重要的作用.可以說，“K型圖”是一首洋溢在整個初中數學學習中的圓舞曲，從初一到初三都有它的舞臺．而學生對“K型圖”的理解往往停留在表面，沒有從根本上認識“K型圖”，導致后期面對需要從深層次理解應用的難題時沒有思路，無法解決．

1 關注“K型圖”的元認知，把握元思維

1976年,弗拉維爾將元認知表述為“個人關于自己的認知過程及結果或其他相關事情的知識”,以及“為完成某一具體目標或任務,依據認知對象對認知過程進行主動的監測以及連續的調節和協調”[3]．整個初中階段，第一次遇到“K型圖”模型是在全等三角形中：

如圖1，點D，A，B在一條直線上，∠D=∠B=90°，EA⊥AC，EA=AC．求證：AD=BC．

圖1

這個問題經過分析，學生很快就看出圖中△EDA和△ABC是兩個全等的三角形，只要證明出它們是全等的，那么“AD=BC”就能順利地證明出來了．

第一次遇到“K型圖”的數學模型，解決起來并不困難，但是從元認知的角度要將這個問題分析清楚才是關鍵．根據元認知理論，學生需要把握自己的認知的整個過程，而不完全是解決問題的結果．學生需要有意識地主動監測自己的思維過程，把握自己的思維的本質從何而來——“不全是利用全等，而是利用圖中有的一線三垂直找兩個角相等”的思維，用以明確解決這個問題的元認知，從而明白這個問題解決的本質．把握好學生的元思維才有助于解決好由這個問題延續的系列問題．

在引導學生分析后發現，從元認知出發，這其實是由于具有“一線三垂直”這個特征而形成的特殊圖形，從而也引出了“K型圖”模型的名稱．同樣，在解決問題的過程中，認清在解決“K型圖”模型時的元思維過程，把握好元思維，理清了元認知，就能解決以下較難的問題：

探究：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經過點C，且點A,B在直線l的同側，過點A,B分別作直線l的垂線，垂足分別為點D,E．求證：DE=AD+BE．

圖2 圖3

應用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經過點C，且點A,B在直線l的異側，過點A,B分別作直線l的垂線，垂足分別為點D,E．直接寫出線段AD,BE,DE之間的相等關系．

本題的探究部分，映入眼簾的就是“一線三垂直”.于是很容易想到利用AAS定理證明△ADC≌△CEB，也就是把握住自己的元思維——“一線三垂直可以找到兩個角相等，再找一條邊就能用AAS定理證明全等”，然后用全等三角形的對應邊等量代換后得到“DE=AD+BE”．本題的應用部分是將直線l進行旋轉后形成的圖形，但是“一線三垂直”這一元認知依舊存在，所以可以大膽地猜測△ADC和△CEB依舊全等.經過元思維模式的思考，依舊可以利用AAS定理證明△ADC與△CEB全等，但是由于旋轉后的位置不同，最后的結論為“AD=BE-DE”．

在初中許多知識點(圖形模型)的學習過程也是類似“K型圖”這一模型的學習過程的.所以，在學習新的知識點或者解決新的問題的時候，需引導學生關注自己對于新知識新問題的元認知，對元認知進行監控，促使學生把握好“K型圖”的初始元思維．

2 關注“K型圖”思維生長點，形成思維定勢

由于初二數學學習的內容和初一相比更深更難，學生會不由自主地被數學焦慮所圍繞，無法順利解決數學難題．特別在學習了軸對稱的相關知識后，“K型圖”這一類型的問題的難度會有所提升．在了解了初一學段K型圖問題解決的元認知后，在初二學段遇到K型圖問題的時候，有意識地利用元認知來關注“K型圖”的生長點，就可以給學生提供學習的方向，幫助學生克服數學焦慮，從而順利解題[4]．如下題：

如圖4，等腰Rt△ABC中，∠C是直角，直線a，b，c分別通過A，B，C三點，且a∥b∥c．若a與b之間的距離是3，b與c之間的距離是2，則AB的長是多少？

圖4 圖5

在關注了學生元認知監控和思維的生長點后，解決問題時，“通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑，他們能夠鞏固知識,并培養他們的解題能力”[5]，才能克服“K型圖”帶來的數學焦慮．在這里，回歸到“K型圖”的“一線三垂直”，就能解決這一問題．

又如：如圖6，一次函數y=2x+b的圖象經過點M(1,3)，且與x軸、y軸分別交于A,B兩點．

圖6 圖7

(1)填空：b=；

(2)將該直線繞點A順時針旋轉45°至直線l，過點B作BC⊥AB交直線l于點C，求點C的坐標及直線l的函數表達式．(2021年蘇州市八年級陽光測評卷)

在這個問題中，凸顯了“K型圖”的“一線三垂直”的重要特征——“直角∠ABC”，并且由旋轉45°后得到的等腰直角△ABC可知，這也是一個可以通過構造“K型圖”解決問題的題目．如 圖7，先由直線解析式求出點A和點B坐標，再由構造的“K型圖”全等求出點C的坐標，從而求出旋轉后的l的解析式．

數學的思維是不斷發展的，形成自己的數學思維是一個長期的變化過程．所以，在形成“K型圖”模型的元思維后，關注思維的生長點，就能形成自己的思維定勢，也就是遇到相關特征的問題就能夠想到構造“K型圖”解決相關問題．

3 提煉“K型圖”的核心屬性，拓展新思維

進入初三學段學習了相似三角形后，“K型圖”又產生了新的演變．如下題：

(1)問題：如圖8，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD·BC=AP·BP．

圖8 圖9

(2)探究：如圖9，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．

第(1)題只要用“一線三垂直”的模型，兩角對應相等就能證明△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質解決問題．到了第(2)題，類比一線三垂直的模型并分析其原理，由于∠A=∠B，只要證明∠ADP=∠BPC就也能證明△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質解決問題．

從全等到相似，是感性思維到理性思維的飛躍，學生在解決這類問題時不能局限于“圖形”，而是要關注其本質，用理性來思考才能解決相關問題．只有關注“K型圖”的本質，從“一線三垂直”拓展到“一線三等角”后，才能順利地解決問題．

又如：如圖10，已知a∥b∥c，a與b之間的距離為3，b與c之間的距離為6，且a,b,c分別經過等邊三角形ABC的三個頂點，則此三角形的邊長為多少？

圖10 圖11

這是一道根本看不出可以用“K型圖”模型解決問題的題目，需要在提煉核心屬性后，進行數學聯想才能解決問題．本題沒有明顯的提示，但是根據“K型圖”的思維定勢，需要一個角為直角，如圖11，只要作等邊三角形ABC的邊上的高就能找到直角，然后就能化歸到“K型圖”的相關問題．

再如：如圖12，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(0,3)，B(1,0)，其對稱軸為直線l:x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m．

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖12，動點P在直線BC下方的拋物線上，連結PO，PC，當m為何值時，四邊形OPCE面積最大？并求出其最大值.

圖12 圖13

這是一道考查二次函數綜合運用的中考模擬卷壓軸題(選自2020年蘇州中考模擬卷)，最后一小題中涉及由三角函數求點的坐標.三角函數在初中學段的考查點往往結合直角三角形應用，而直角是“K型圖”的核心屬性之一，于是就可以構造“K型圖”來解決問題．

培根說：“數學是思維的體操．”“K型圖”只是初中數學學段中一個典型的模型，本文以“K型圖”為例，論述了在整體教學體系中學習這個知識點的思維過程．學生從初一在學習“全等三角形”中初遇“K型圖”開始，關注“K型圖”的元認知，并關注“K型圖”思維的“生長點”與“延伸點”，形成自己的“K型圖”元思維．一旦形成了自己的元思維，在初二再遇“K型圖”的時候，就能克服由于種種原因形成的數學焦慮，感受到“K型圖”從全等到相似這一感性思維到理性思維的飛躍，形成“K型圖”的思維定勢．最終，將“K型圖”的思維定勢運用到綜合題目中，從無到有，通過添加輔助線構造“K型圖”解題，把握“K型圖”的核心屬性，拓展新思維．以“K型圖”為例拋磚引玉，整體構建知識點的教學，培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力，培養學生的創新思維意識，打開學生數學思維的大門，克服數學焦慮，活化數學學習．