基于“情境—問題—思維”視角的數學深度教學

胡連成 (江蘇省徐州市豐縣華山鎮華山初級中學 221744)

我國近40年基礎教育的發展，體現了以“雙基”為代表重視學科價值到以培養“核心素養”為標志、強調育人價值的發展歷程，注重促進學生可持續發展、終身受益的必備能力和關鍵品格的養成．具體到數學學科的教學，體現為從注重知識、方法層面的教學提升到學科思維層面的深度教學，重視在問題解決中發展批判性思維、反思性思維和創造性思維等高階思維，進而實現品格養成和文化浸潤，實現立德樹人的教育目的．

數學深度教學強調從“幫助學生學會數學地思維”的教學轉向“通過數學學會思維”的教學，數學教師的主要責任就是“以深刻的思想啟迪學生”．深度教學追求的是學生全身心深度參與學習和主動深度思考問題，以實現從具體的學科知識教學到學科思維層面的教學，并由具體的數學方法和策略轉向一般性思維策略的學習，使學生通過合作互動學習，真正成為學習的主人．[1]

1 “情境—問題—思維”之數學深度教學三部曲

數學深度教學應始于情境問題的引領，教學中要創設指向數學本質的問題情境，激發學習內部動機．數學深度教學應基于問題鏈的深度探索，教學中要注重學生問題意識的培養，在核心問題的引領下生成系列問題鏈，實現對問題主動深度探索．數學深度教學應成于理性思維的培養，教學中注重學生思維內化和外顯的充分實現，在思辨中培養理性思維，在思維發展中實現自覺學習．本文以蘇科版教科書八年級上冊“3.1勾股定理”第1課時的教學片斷為例，加以闡述．

1.1 深度教學應始于情境問題的引領

問題情境是一個有多重含義的概念，由于學者對問題情境的關注視角不同，對問題情境的認識可分為“情境指向”和“問題指向”兩種視角[2]，前者關注基于情境產生的一系列問題，后者關注情境引發的心理困境和探究氛圍．本文認為，問題情境是指創設與教學目的、內容體系及學生認知結構、認知心理相關聯，能引發認知沖突，形成核心問題，促進主動思考的學習探究氛圍．把學生置身于研究新的未知問題情境中，學生會感到此問題既熟悉但又不能單純利用已有知識和方法去解決，從而產生“悱憤”之感，促進學生主動探究．

數學深度教學注重通過營造問題情境，引發學生認知沖突，激發主動探索的欲望，實現以自我提升為目的的認知驅動．情境創設應基于學生的知識結構、認知心理，關注學習“最近發展區”，把控好“已知區”和“未知區”合理間距，引發適度認知沖突，形成核心問題．情境設置是否合適，取決于情境所生成的問題是否能夠激發學習內部動機、揭示數學本質、引領思維發展．

蘇科版教科書八年級上冊第3章《勾股定理》分為三部分，分別是“3.1 勾股定理”“3.2 勾股定理的逆定理”“3.3 勾股定理的簡單應用”．“3.1 勾股定理”共有2課時，其內容分別為通過數學活動探索勾股定理和掌握勾股定理的經典證明．本課時是本章第一課，起著統領全章教學的作用，教學中要注重知識的內部關聯性和數學思想方法的一致性，以促進學生完成知識、方法的意義建構．

·教學片斷1 創設情境引發思考

問題1這是1955年希臘發行的一枚郵票(圖1)，以紀念兩千多年前古希臘著名數學學派——畢達哥拉斯學派．請同學們仔細觀察，你有哪些發現？

圖1

生1：圖案中有三個正方形和一個三角形．

生2：三個正方形分別包含了9個、16個和25個小正方形．

生3：如果把小正方形邊長看作單位1，圖案中3個正方形的面積分別為9,16,25．可以發現兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積，說明直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

師：你確認是直角三角形嗎？

生3：我用量角器進行了度量，應該是直角三角形．

生4：度量存在誤差，并不能說明它一定是直角三角形．

師：如果不能確認是直角三角形，你該如何思考問題？

生4：應該按照直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分類討論哪類三角形具備“兩邊的平方和等于第三邊的平方”.

師：從哪類三角形開始思考？

生4：從特殊三角形、也就是直角三角形入手．

教學分析問題是數學的心臟，如何讓學生在數學情境中自然地發現問題、提出問題，是我們教學中的首要任務．我們要從學生實際出發，創設合適情境，引發學生發散式思考，在學生觀察、猜想、分析和比較中自然生成問題，教師的作用體現在及時引導學生在提出的眾多問題中抽取出核心問題，引領后續探究．本案例是學生在觀察思考中生成核心問題：“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”

數學深度教學要善于通過情境謀勢，形成認知沖突，基于學生的內在需求，生成具有開放度的核心問題，以引發學生的發散思維和深度思考．

1.2 深度教學應基于問題鏈的深度探索

數學深度教學要在核心問題的引領下，通過一般化、特殊化、類比、逆向等思維方式形成問題鏈，以引發學生思維碰撞，將思維引向深入．問題鏈的設計與實施需要把握三個關鍵點：以數學內部關聯為邏輯起點、以數學思維方式為方法指導、以教學功能任務為基本定位．在實踐教學中，常常是多種數學思維共同指導下形成具有一定開放性的問題鏈．[3]

基于問題鏈的深度教學需要正確處理問題預設與生成關系．預設是課堂教學的基本特性，是教師課前基于對教材整體把握和學情了解，而對教學目的、任務、過程形成清晰、理性的靜態思考和規劃，把一節課所蘊含的知識、方法和思想用問題的形式加以呈現的過程．生成是學生學習的重要特點，是學生基于自身理解基礎上形成新問題、新觀點、新思路，是一種動態發展的過程．對于如何處理二者的關系，要認識到預設的目的不是讓教師的知識和技巧出彩，而是要讓學生的思維發光，要讓預設與生成共同指向學生的思維發展．教學中應通過情境引發認知沖突，使學生在主動思考中自然生成問題．教師在這一過程中因勢利導，通過設問、追問和反問，使預設與生成渾然天成，通過對問題“靜靜地思考”與“充分地表達”，促進學生對問題的深度探索．

·教學片斷2 問題變式促進深度思考

基于核心問題“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”的引領，遵循一般化和特殊化等思維方式進行如下問題變式．

問題1你能計算圖2中以直角三角形三邊構造的三個正方形的面積嗎？

圖2 圖3

學生表示不會計算以AB為邊的正方形面積．

問題2如圖3，如果添加了網格線，你能計算圖中三個正方形的面積嗎？

學生對于“斜正方形”的面積計算存在困難，引導其類比另兩個正方形面積計算方法，利用“割”或“補”的方法“化斜歸正”，求其面積．

問題3請同學們在方格紙上任意畫一個格點直角三角形，并分別以這個三角形的三邊向外作正方形，求其面積，你有什么發現？

學生通過畫出不同的直角三角形并計算相關面積，進一步體會三個正方形面積之間的等量關系．教師再借助幾何畫板演示直角三角形的形狀變化時，正方形面積之間的數量關系沒有變化，進一步體會“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”．

問題4通過以上過程，是否可以說明直角三角形一定具有這種性質？

多數學生認為可以說明，部分學生提出：雖然較多的直角三角形具備了這種性質，但不能說明所有的直角三角形都具備這種性質．也就是說，還缺乏一般化的證明．于是引出了問題5的思考．

問題5如果直角三角形三邊分別為a,b,c，能否證明我們發現的結論？請結合圖4加以說明．

圖4

類比“圖3”的方法，通過“割”或“補”的“化斜歸正”方法可以證明結論成立．通過一般化證明說明直角三角形具有性質“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”．

問題6銳角三角形和鈍角三角形是否也具備這樣的性質？

通過對上述一系列問題的思考，利用一般化證明說明了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，通過舉反例的方法說明銳角三角形和鈍角三角形不具備這種性質．在這種思維碰撞和反思中，學生主動提出了問題7，這也是本節課學生思維發展的亮點之體現．

問題7如果一個三角形兩邊平方和等于第三邊的平方，這個三角形一定是直角三角形嗎？

本問題是從結論的反面思考，體現了數學逆向思維運用．由于它是“3.2 勾股定理的逆定理”的探索內容，故本課沒有展開討論，而是讓學生課后思考、嘗試解決．一節課從問題開始，又以新問題結束，在問題探索中知識得以掌握、問題意識得以強化、理性思維得以發展，較好地體現了問題鏈的有效驅動作用．

教學分析在核心問題“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”引領下，對三角形分類討論.在對直角三角形的思考中，遵循從特殊到一般的思維順序進行探索，從借助網格線計算相關面積，到計算學生畫出的更多直角三角形相關面積，再到計算無網格線一般三角形面積，構成了一般化思維下的問題推廣鏈．借助于方法類比，從直角三角形思考拓展到銳角三角形和鈍角三角形，形成了類比思維引領下的類比問題鏈(具體教學流程如圖5)．

圖5

由于本課是本章起始課，統領著本章教與學，故教學實踐中，需要把握好問題探究的深度和廣度．在問題5的探索中，本課僅限于利用“割”或“補”之“化斜歸正”的計算方法加以簡單證明，勾股定理經典的證明方法及其蘊含的轉化思想在第二課時進行探索；問題7是對核心問題的逆向思考，具體的探索分析后續進行，本課僅作問題啟發，以體現探索過程完整性和思維嚴謹性．以上7個問題是在核心問題的引領下，學生在主動思考的基礎上所提出的系列問題，體現了一般化、特殊化、類比、逆向等不同的思維引領下問題鏈的引領和驅動．問題情境教學中教師的作用在于因勢利導，讓學生心中想法順利表達，引發更多學生產生更多理性思考，實現“預設與生成齊飛、情境與問題共舞”的教學理想境界．

1.3 深度教學應成于理性思維的培養

基于問題情境的深度教學主要任務是促進學生思維的發展，實現學生深度思考，培養理性思維．從課堂教學的角度思考，學生的理性思維培養應體現在兩個階段，一是思維的內化階段，這是思考與領悟的過程，是獨立思考、積極建構、自主生成的過程，是思維的內隱階段，這時的思考往往還不成熟、似懂非懂，尚在混沌之間．此階段教學過程要重視具有“思維含量”的核心問題引領，并通過一般化、特殊化、類比和逆變等思維方式形成問題鏈，引領學生的深度思考．除此之外，還要重視教學“留白”技巧的運用，避免“講清”“問細”，要留出適度的時間和思維空間，讓學生在問題的引領下獨立地思考，嘗試解決和回答，進而發現新問題和新思路．在不斷的思考、嘗試、再思考的過程中完成對自己理解的知識和方法的初步建構．

學生的理性思維培養的第二階段是思維的外顯過程，這是交流、合作與辨析的過程，“任何理解對象只能在語言中才能展現自我，理解主體只能通過語言才能使理解真正發生．”[4]學生通過語言的表達與交流，當內化的知識與具體問題重新建立聯系時，當學生用語言力求清晰、合理、高效地闡述自己觀點時，需要對基于自我理解的知識重新梳理和建構．思維在外化的思辨過程中得以清晰化、可視化，進而又會引起新的思考．教學中要充分發揮學生主體性作用，采取合理激勵機制和“容錯”機制，使合作學習真正發生．鼓勵學生有條理地清晰表達自己觀點、方法，從而實現在“想清楚”的基礎上“講明白”．當學生思維表述不清或方法運用不當時，往往是學習思維難點和課堂教學亮點之所在，教師要在以上關鍵點處引導學生傾聽、回顧、梳理、反思，實現“錯著錯著就對了，聊著聊著就會了”的教學效果．在這個過程中，教師就是那個“挑起事端”，讓學生產生想法、產生認知矛盾、產生思維碰撞的人[5]．

當教學設計的開放性與課堂生成的精致化相得益彰時，當學生在理性思辨中完成意義建構時，當學生在學習交流中學會學習時，深度教學才能真正實現．

2 數學深度教學的基本特征

基于以上分析，深度教學具有以下特點．

2.1 指向數學本質的問題引領

學生的思維發展需要具有“數學味”的問題引領思維活動，教學過程是一種提出問題和解決問題持續不斷的活動．教師善于創設探究情境，形成認知沖突，使學生在思考中自然產生問題．教師要精心研讀教材，了解學情，站在學生的角度進行教學設計，實現學科知識的“教育學轉化”和“生本化表達”，使問題預設的科學性和問題生成的自然性渾然天成．教師及時引導學生對問題進行深度思考，透過現象看本質，在不斷的問題探索中收獲經驗、歸納規律、感悟數學思想，實現“用數學的眼光觀察問題、用數學的思維思考問題、用數學的語言表達問題”．

2.2 批判整合的主動建構

數學情境教學以情境問題為載體、以活動思考為主線展開學習，既關注結果更關注過程、既注重預設更注重生成、既注重合情推理又注重演繹推理．重視在已有知識結構的基礎上實現新知識的生成，重視學生對內化知識的表述與運用．經歷觀察猜想、類比歸納、推理論證的過程，使學生對問題作出自己的思考、判斷、解釋，實現知識的順應與同化，完成知識批判與整合，從而基于自我理解建構具有連續性和生長性的知識體系．

2.3 理性思辨的深度學習

以理性思維發展為目的的數學問題情境學習，具有批判理解、信息整合、反思建構、遷移運用的特點．通過情境問題的變式與拓展，在不斷的問題解決中，通過方法比較、歸納思考、討論交流，化“快想”為“慢思”，使靜思與辨思相結合、內化與外顯共作用，從而讓思考更全面、更清晰、更深刻、更合理．[6]教學中要注重對問題的追問和反問，使學生的思維從模糊走向清晰，從無序走向有序，從感性走向理性．教學中要注重引領學生對問題解決過程的回顧和反思，對知識的反思、方法的反思、聯系的反思、推理的反思、表述的反思，在反思中實現對知識的建構、方法的融合、思想的領悟，經歷“數學地思維”的過程，達成“通過數學學會思維”的目的，實現理性精神的培養．

數學深度教學是安靜的教學，注重學生的靜思和內化；數學深度教學是火熱的教學，注重交流與外化，使冰冷的美麗變成火熱的思考；數學深度教學是生成的教學，在主動探索中生成，在合作互動中建構；數學深度教學是理性的教學，在思辨中走向理性，在學習中學會學習．數學深度教學讓學習可見、讓思維發生、讓文化浸潤[7]，實現從知識教學到思維教學再到學科育人的飛躍．