管道有源噪聲控制中壁面分布次級聲源的空間分布優化

羅平展 張芳杰 徐健 李曉東?

(1 中國科學院噪聲與振動重點實驗室(聲學研究所)北京 100190）

(2 中國科學院大學北京 100049）

0 引言

有源噪聲控制技術已成功應用于管道中的低頻噪聲控制。相比于控制管道中的平面波，高階模式聲波的控制要求更高，是有源控制的難點問題[1]。由于控制高階模式聲波需要多個換能器，其中一個難點是設計次級聲源和誤差傳聲器等換能器在管道中的空間布放。已有文獻對控制管道中的高階模式聲波進行了一些探索，但是換能器的最優空間分布尚未得到闡明[2-3]?？紤]到實際應用中諸如風洞和地鐵等大型通風管道，為了保障暢通，要求換能器分布在管道側壁[4-5]。因此，本文主要研究次級聲源在被約束于管道壁面條件下的空間分布優化問題。

管道中次級聲源常被布放于管道截面。由于高階模式主要由管道截面特性所決定，當次級聲源合理分布在截面時，能有效控制各高階模式聲波。理論上使用N個次級聲源最多可以控制前N個模式聲波，即工作頻率上限逼近第N+1階模式聲波的截止頻率[2]。已有的研究工作表明，次級聲源布放在管道截面時能夠有效控制工作頻率范圍內的高階模式聲波，阻礙其通過截面傳播至管道下游，從而得到優異的全局控制效果[3,6-7]。這種位于截面的布放方式應用廣泛，對于在管道和腔體等出口處抑制噪聲輻射同樣有效[8]。因此，將次級聲源布放在管道截面上成為有源噪聲控制中的常見方案。

然而在部分應用中，由于實際條件限制使得次級聲源被約束在管道壁面。此時噪聲控制效果相比于次級聲源位于管道截面時通常有所劣化，表現出降噪量下降且工作頻率范圍顯著低于理論最優值等現象，更加凸顯了優化設計管道壁面上次級聲源空間分布的重要性[9]。已有研究工作針對壁面分布次級聲源的空間分布優化問題的研究尚不充分。Stell等[2]指出次級聲源的布放應當避開高階模式聲波的節線，以保證次級聲源能較好地激勵高階模式聲波。Zander等[10]針對2個次級聲源的簡單情形討論了軸向間距的選擇。Laugesen[11]考慮到在剛性壁假設下所有高階模式聲波在管道角落都能取到最大值，建議將次級聲源布放在管道角落處以提高控制效率。在仿真實驗中他還發現將次級聲源沿管道軸向展開，可以增加系統控制的魯棒性。Zhang等[12]對比了次級聲源與誤差傳聲器的徑向分布，發現當次級聲源和誤差傳聲器的數量較少時，在相對的平行壁面上布放它們可以更好地控制高階模式聲波。但是這些研究工作由于缺乏詳細的理論分析，沒有得到系統性的完整結論，難以成為次級聲源空間分布優化設計的具體指導準則。迄今為止，次級聲源被約束在管道壁面時對于控制高階模式聲波的局限性，以及優化設計次級聲源空間分布的原理和方法均未得到清晰徹底的解釋。

針對管道中高階模式聲波的有源控制問題，本文研究了次級聲源在管道壁面的空間分布優化問題。本文首先介紹了管道中次級聲源激勵高階模式聲波的理論模型；然后顯式推導了次級聲源空間分布對控制性能的影響，分析了次級聲源空間分布的優化準則；最后在最優控制策略下，通過數值仿真，驗證了次級聲源空間分布優化準則的有效性。

1 理論模型

1.1 管道中次級聲源激勵高階模式聲波建模

不失一般性，假設一無限長剛性壁面的矩形管道，其截面為S=Lx×Ly。次級聲源被約束在管道壁面，如圖1所示。建立直角坐標系，約定z軸方向為管道軸向，xy方向為管道周向。將次級聲源根據其振速分布建模為W(r′)，其中r′=(x′,y′,z′)表示聲源位置。矩形管道中的格林函數為G(r|r′)，其中r=(x,y,z)表示觀測點位置。為了表述簡便，在下文的推導中省去時間項eiωt。

圖1 壁面分布次級聲源示意圖Fig.1 The sketch of the boundary-located secondary sources

管道中次級聲源所激勵聲場聲壓根據格林函數可以表示成[13]

其中，ω為激勵頻率，ρ0為空氣密度，格林函數G(r|r′)可以表示為

其中，φn表示管道的高階模式聲波。對于四周為剛性壁面的矩形管道，φn滿足

對應的歸一化系數為

第n階模式聲波的波數k在各方向上的分量可以分別表示為

下文開始討論壁面分布次級聲源的空間分布對控制管道高階模式聲波的影響。假設次級聲源的分布范圍限于0≤z≤Lz范圍內的4個壁面。構造次級聲源分布Wm(r′)滿足

其中，δ()表示狄拉克函數的定義與式(4)中相同，即等于第m階模式聲波各方向上的波數。顯而易見，Wm(r′)代表了在管道壁面上空間頻率與第m階模式聲波的頻率相同的4個面聲源分別是這4個面聲源的強度。根據傅里葉變換的原理，壁面上任意有限的次級聲源的空間分布均能表示成不同Wm(r′)的疊加[14]。因此，通過研究Wm(r′)代表的次級聲源分布對高階模式聲波的激勵機制，可以推演得到任意有限分布的次級聲源對高階模式聲波的激勵。

不失一般性，只考慮向管道下游傳播的高階模式聲波，管道內的聲場可以分解成模式聲波疊加的形式[13]，即

次級聲源Wm(r′)在管道中所激勵的高階模式聲波，可以通過將式(6)代入式(1)中得到，對比式(7)，得到Wm(r′)所激勵的各階模式聲波的系數為

式(8)中包含了x、y和z三個方向的積分，彼此獨立，分別計算如下。

首先，次級聲源在x方向空間分布對于激勵高階模式聲波的貢獻可以寫成

其中，δmn為克羅內克函數，它的值僅當m=n為1，其他時候均為0。式(9)中x方向的積分表明，在x方向按分布的次級聲源，只激勵mx相關的高階模式聲波，不會對其他模式聲波產生影響。同時，管道中x方向上兩個相對的平行墻面上次級聲源的貢獻分別為X1和X-1?？梢粤?，則對于my為奇數的模式聲波，X1和X-1反向，X為0，此時只激勵my為偶數的模式聲波；同理，可以令，此時只激勵my為奇數的模式聲波。這可以解釋為，兩個沿x方向沿伸的平行墻面等同于y方向的兩點空間采樣，可以控制my相關的兩個模態，使得根據my的奇偶性可以區分和獨立控制相關模式聲波。

同理可得次級聲源在y方向的空間分布對于激勵高階模式聲波的貢獻為

式(10)中y方向的積分表明，在y方向按kmy分布的次級聲源，只激勵my相關的高階模式聲波，不會對其他模式聲波產生影響。同時，可以通過選擇amx和a′mx的符號來決定Y1和Y-1的值，以選擇性的激勵mx相關的奇數階或偶數階模式聲波。

最后，次級聲源在z方向的空間分布對于激勵高階模式聲波的貢獻可以寫成

其中，sinc(x)=sinx/x。式(11)表明壁面分布次級聲源無法對z方向上的模式聲波進行嚴格的獨立控制，必然會激勵各種高階模式聲波，這是壁面分布次級聲源控制高階模式聲波局限性的體現。但是應注意到，式(11)中關于Lz/2只有一個線性項，其他均為隨Lz的震蕩衰減的sinc函數。因此，當Lz增大時，線性項增大從而顯著大于其他sinc函數，使得在z方向上按照kmz分布的次級聲源在軸向的尺寸Lz較大時能顯著激勵z方向上波數為kmz的模式聲波。進一步考慮到，當x＞π時，有sinc(x)?1，因此一般要求壁面分布次級聲源的軸向尺寸Lz＞2π/min(knz-kmz)，其中min()表示在各種nz和mz的組合中選擇波數差的最小值。

將式(9)、式(10)和式(11)代入式(8)，得到壁面分布次級聲源激勵的高階模式聲波可以寫成

式(12)表明，壁面分布次級聲源在x方向和y方向，即在管道周向的空間分布對激勵高階模式聲波的貢獻會直接線性相加，再與z方向即管道軸向上空間分布的貢獻相乘，共同激勵高階模式聲波。當次級聲源在管道壁面上按照Wm(r′)分布時，主要激勵第m階模式聲波；同理，第m階模式聲波也主要由Wm(r′)分布的次級聲源激勵。次級聲源的空間分布頻率和激勵高級模式聲波存在對應關系，是對高階模式獨立控制的理論依據。為了形象展示壁面分布次級聲源在各方向上的空間分布對于控制高階模式聲波的貢獻，圖2給出了X、Y和Z對激勵第m階(mx,my)模式聲波的貢獻示意圖，其中第m階模式聲波的幅度被歸一化到1以方便比較。圖2表明，壁面分布次級聲源的空間分布對其控制性能非常重要。當次級聲源在合理優化空間分布后能近似獨立地控制管道中各高階模式聲波，從而實現較好的控制效果；但是若未被合理的布放，在激勵目標模式聲波時也將同時激勵其他模式聲波，無法實現獨立激勵各高階模式聲波，從而喪失對高階模式的控制效果。

圖2 壁面分布次級聲源Wm(r′)激勵(mx,my)模式聲波的示意圖Fig.2 Illustration of the mechanism of generating the(mx,my)mode by boundary-located secondary sources Wm(r′)

1.2 點聲源控制策略

在實際應用中，常以揚聲器作為有源控制系統的次級聲源。由于其尺寸相對聲波波長較小，此時次級聲源應被建模成點聲源。點聲源可以看作聲源連續分布W(r′)的空間采樣，因此在滿足采樣定律的條件下前文所得關于次級聲源空間分布的結論同樣適用。次級聲源最優驅動強度可以通過以最小化管道中聲能流為目標的全局控制策略得到。本小節介紹控制策略的推導，以便后文對比次級聲源空間分布對控制效果的影響。

為了表述方便，定義管道中的N個傳播模式聲波為a=[a1,a2,···,aN]T，M個次級點聲源的驅動強度為q=[q1,q2,···,qM]T，對應的空間位置為對式(8)在上述位置進行空間采樣，受激模式聲波與次級聲源的關系可以用矩陣的形式來表示：

定義N×M維阻抗矩陣Ω(r′)，其各元素為

根據式(14)的定義，將式(13)重寫為

下面討論以最小化管道中聲能流為目標的全局控制策略以及次級聲源最優驅動強度的求解[3]。管道中聲能流可以表示為

其中，Re()表示取復數的實數部分，Uz(r)是聲場在z方向上的粒子振速，*表示共軛。注意只有傳播模式聲波能傳遞聲能流。

定義一個N×N的對角矩陣，表示為

因此，式(16)中的聲能流可以寫成

選用下標p和s分別表示與初級聲源和次級聲源相關的參量。初級聲源的驅動強度、阻抗矩陣和激勵的模式聲波分別記作qp、Ωp和ap；同理，次級聲源的驅動強度、阻抗矩陣和激勵的模式聲波分別記作qs、Ωs和αs。選擇代價函數J為管道中初級聲源和次級聲源共同激勵的總聲能流與表示次級聲源強度的懲罰項之和[2]，寫成

其中，β為正實數，用來限制次級聲源的驅動強度大小[15]。取代價函數J對qs的導數為零，可得最優次級聲源驅動強度qopt為

2 仿真實驗與分析

下文通過數值仿真對比壁面分布次級聲源在前文所述控制策略下的各種空間分布對高階模式控制效果的影響，以驗證本文所提出的理論模型和結論的有效性。

仿真實驗中無限長矩形管道的截面積設為4.0 m×3.0 m(Lx×Ly)。管道中初級聲場由布放在(0.0,0.0,-10.0)m處的點聲源所激勵，仿真中聲波的頻率范圍設為30～210 Hz。在這個頻率范圍內，最多存在18個傳播模式聲波，對應的截止頻率為fn=c/2[(nx/Lx)2+(ny/Ly)2]1/2。它們的階數和截止頻率的具體取值如表1所示。

表1 管道中各階模式聲波的截止頻率Table 1 The higher-order modes in the duct and the corresponding cut-on frequencies

對于前18階模式聲波，其階數滿足nx≤4和ny≤3，即在x方向上不超過5個模式聲波，在y方向上不超過4個模式聲波。因此根據采樣定律，在x方向上和y方向上分別需要5個和4個次級聲源。在z方向上對于可能的多層分布次級聲源，其層間距和軸向尺寸分別記為ΔLz和Lz。為了方便比較，壁面分布次級聲源在各方向上都服從均勻分布。仿真中β始終設為矩陣最大特征值的1/1000以保證矩陣求逆魯棒性。為了與前文所述最小化管道聲能流的控制策略一致，本文采用管道中殘余的聲能流作為控制效果的評價標準，并將得到的聲能流做歸一化處理，其中0 dB對應1.0×10-12W。

圖3給出了x和y方向上壁面分布次級聲源的空間分布示意圖和相應的控制效果。其中，空間分布(1)～(4)分別對應前文中的X1、X、Y1和Y，即圖2(a)～圖2(d)。圖3所示的結果表明，在低頻段高階模式聲波數目相對較少時，各種空間分布的次級聲源均能取得較好的控制效果。這是因為在這些頻率范圍內壁面分布次級聲源對所有高階模式聲波均能實現獨立控制，從而取得了接近最優的控制效果。但是，圖3所示的壁面分布次級聲源對高階模式控制效果存在明顯的工作頻率上限。例如，對于圖3中的次級聲源空間分布(1)，其工作頻率上限為56.7 Hz，對應第3階(0,1)模式聲波的截止頻率。這是因為當頻率低于56.7 Hz時，管道中僅有第1階(0,0)和第2階(1,0)模式聲波?？臻g分布(1)為一個x方向上的線陣，可以獨立控制不同nx的模式聲波。當頻率高于56.7 Hz時管道中出現了第3階(0,1)模式聲波，而空間分布(1)所示的次級聲源無法獨立控制(0,0)和(0,1)兩個nx=0的簡并模式，導致控制效果顯著下降。而對于空間分布(2)，通過增加了一個x方向上的線陣，使得其可以獨立控制ny相關的兩個模式，因此可以同時控制(0,0)和(0,1)模式聲波，相應的工作頻率上限為(0,2)模式聲波的截止頻率113.3 Hz。此時空間分布(2)對應的次級聲源無法同時獨立控制(0,0)、(0,1)和(0,2)這3個nx=0的簡并模式。同理可以解釋空間分布(3)的工作頻率上限為42.5 Hz是因為無法獨立控制(0,0)和(1,0)模式，而空間分布(4)的工作頻率上限為85.0 Hz是因為無法獨立控制(0,0)、(1,0)和(2,0)三個簡并模式。

圖3 壁面分布次級聲源的空間分布與對應的噪聲控制效果Fig.3 The spatial distribution and the corresponding control performances of the boundary-located secondary sources

圖4給出了管道中單層和多層壁面分布次級聲源的空間分布示意圖和相應的控制效果。其中，空間分布(1)和空間分布(2)分別對應前文的X+Y和(X+Y)·Z，即對應了圖2(e)和圖2(f)。通過將x方向上和y方向上組合起來的單層壁面分布次級聲源，對高階模式聲波的控制效果更好。此時，其工作頻率的上限提升至141.7 Hz，對應第11階(2,2)模式聲波的截止頻率，因為(2,2)模式聲波在x和y方向上均有3個簡并模式而單層壁面分布次級聲源無法同時控制這些簡并模式。通過在z方向增加一層次級聲源，構成軸向間距ΔLz=1 m的雙層分布，相比于單層分布的次級聲源能夠在高于141.7 Hz以上的頻段取得20 dB以上的降噪量提升。該結果表明，次級聲源沿著管道軸向分布時能更好地控制高階模式聲波，在頻率相對較高和高階模式聲波數目較多時對于控制效果的改進更為明顯。

圖4 壁面分布次級聲源的空間分布與對應的噪聲控制效果Fig.4 The spatial distribution and the corresponding control performances of the boundary-located secondary sources

進一步研究壁面分布次級聲源的數量和間距對高階模式聲波控制效果的影響。首先討論次級聲源在管道周向上數目的影響。圖5中展示了管道周向上6個、14個和22個壁面分布單層次級聲源以及對應的控制效果。相比于周向上14個次級聲源，周向上僅有6個次級聲源時其工作頻率上限降至113.3 Hz，對應著(0,2)模式聲波的截止頻率。這是因為此時次級聲源在y方向上僅有2個次級聲源，根據空間采樣定律只能獨立控制ny=0和ny=1兩類模式聲波，當頻率超過113.3 Hz后(0,2)模式聲波開始在管道傳播時，壁面分布次級聲源將失去控制效果。但是，次級聲源在管道周向上的數目增加至22個并沒有提升控制效果。根據采樣定律這是因為22個次級聲源屬于過采樣，不能改善控制效果。

圖5 壁面分布次級聲源的周向上次級聲源數量對控制效果的影響Fig.5 The influence of the number of the single-layer boundary-located secondary sources in the circumferential direction on the control performance

接下來研究次級聲源在管道軸向上的數目和間距的影響。將壁面分布次級聲源在周向上固定分布為14個，即按照圖5(a)中空間分布(1)，層間距固定為ΔLz=1 m，軸向上不同層數的次級聲源對高階模式的控制效果如圖6所示。圖6中14×2表示在管道周向上有14個次級聲源，在軸向上共有2層，其余表述以此類推。圖6的結果表明，通過增加壁面分布次級聲源在管道軸向上的層數，擴大次級聲源在管道軸向上的分布范圍，能進一步提高控制效果，尤其在相對高頻段，高階模式聲波數目較多時控制效果提升更為明顯。當次級聲源的層數超過6層時，即軸向尺寸Lz超過5 m，壁面分布次級聲源對高階模式聲波的控制效果達到接近最優，實現近60 dB的降噪量。

圖6 軸向上不同層數的壁面分布次級聲源對高階模式控制效果Fig.6 The control performances achieved by different layers of boundary-located secondary sources

最后討論壁面分布次級聲源的軸向間距對控制效果的影響。本文提出的理論模型表明次級聲源分布的軸向尺寸較大時有利于對控制高階高階模式，因此通過使用雙層分布次級聲源并增加層間距也能起到增大軸向尺寸的效果。壁面分布的14×2雙層次級聲源不同軸向間距對高階模式聲波的控制效果如圖7所示。圖7的結果表明，采樣壁面分布雙層次級聲源并適當增大軸向間距同樣能夠獲得較好的控制效果，尤其在相對中高頻段增大軸向間距可以顯著提高控制效果。但應該注意到在軸向間距很大時可能在部分頻段出現降噪量下降的現象，例如對于軸向間距ΔLz=5 m相對于ΔLz=2 m在140 Hz左右對高階模式的控制效果反而出現了惡化。這主要是軸向間距過大導致在軸向上不滿足采樣定律，使得控制效果惡化。盡管如此，總體來看采用壁面分布雙層次級聲源并適當增大軸向層間距，能夠以相對較少的次級聲源實現對高階模式聲波的控制。

圖7 壁面分布雙層次級聲源的不同軸向間距對高階模式聲波的控制效果Fig.7 The control performances achieved by different axial spacings of the boundary-located double-layer secondary sources

本節的仿真實驗模擬了理論模型中所述幾種典型的壁面分布次級聲源的控制性能。仿真結果顯示，壁面分布次級聲源控制高階模式聲波的工作頻率范圍明顯受限于次級聲源的空間分布。其中，僅沿x方向分布的次級聲源，其工作頻率上限不超過(0,2)模式聲波的截止頻率；僅沿y方向分布的次級聲源，其工作頻率不超過(2,0)模式聲波的截止頻率；同時沿x和y方向分布的次級聲源的工作頻率上限則可以提高至(2,2)模式聲波的截止頻率。根據理論模型推理可得，這是因為次級聲源沿x和y方向的空間分布對高階模式聲波的貢獻只能控制mx和my相關的高階模式，且由于對于矩形管道在x和y方向只有兩面墻，使得在x和y方向最多控制兩個不同的高階模式。此時，在更高頻率段次級聲源對高階模式的控制性能主要取決于其軸向分布范圍。當次級聲源在管道軸向上范圍較大時，能顯著提高對高階模式聲波的控制效果。

在理論模型中通過將次級聲源的分布離散化，根據采樣定律也能得到次級聲源在各方向上的數量和間距對控制效果的影響。壁面分布次級聲源在管道周向上的數目及間距需要滿足采樣定律，但更多的次級聲源會導致過采樣，對提升控制效果沒有幫助。在管道軸向上，盡管壁面分布次級聲源在軸向間距過大時可能造成控制性能下降，但由于增大了軸向分布范圍因此整體上依然能提高控制性能。

3 結論

針對管道有源噪聲控制中的壁面分布次級聲源空間分布優化設計問題，本文提出了壁面分布次級聲源獨立控制高階模式聲波的理論模型，顯式推導了次級聲源的空間分布對于控制高階模式聲波的貢獻，分別指出次級聲源在管道周向和軸向空間分布的優化準則；然后通過將次級聲源空間分布離散化介紹了點聲源控制策略，并根據采樣定律分析了次級聲源的數目和間距對于控制效果的影響。通過對比多種次級聲源空間分布以及對應的控制性能，其結果表明為了優化壁面分布次級聲源的空間分布，需要在管道周向所有壁面布放足夠數量的次級聲源以滿足采樣定律，同時在軸向上增大間距來獲得較大的分布范圍。