郭守敬創制的景符在笛卡爾坐標系下的工作機理

原 杰

(1.邢臺學院資源與環境學院，河北邢臺 054001；2.邢臺社會治理研究院，河北邢臺 054001；3.邢臺市地信與遙感技術應用重點實驗室，河北邢臺 054001)

郭守敬(1231年—1316年)，字若思，邢州邢臺縣(今河北省邢臺市信都區)人。元朝著名的天文學家、數學家、水利工程專家[1]，官至太史令、昭文館大學士、知太史院事，世稱“郭太史”，著有《推步》《立成》等十四種天文歷法著作[2]。七個世紀之后的今天，郭守敬仍然是邢臺市的科技名片；他發明的景符在《元史·天文志》[3]中被記錄如下：

“景符之制，以銅葉，博二寸，長加博之二，中穿一竅，若針芥然。以方跂為趺，一端設為機軸，令可開闔，榰其一端，使其勢斜倚，北高南下，往來遷就于虛梁之中。竅達日光，僅如米許，隱然見橫梁于其中。舊法一表端測晷，所得者日體上邊之景。今以橫梁取之，實得中景，不容有毫末之差。至元十六年己卯夏至晷景，四月十九日乙未景一丈二尺三寸六分九厘五毫。至元十六年己卯冬至晷景，十月二十四日戊戌景七丈六尺七寸四分?！?/p>

在郭守敬取得偉大的成績之后的幾個世紀里，數學和物理學取得了長足的發展。法國哲學家、數學家、物理學家勒內·笛卡爾(René Descartes，1596—1650)，對現代數學的發展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父[4]。在笛卡爾幾何坐標系下，郭守敬創制的景符的工作機理，是本文研究重點。

一、方法

(一)中心直線和景符小孔坐標的數學表達

本文選擇郭守敬設計制造的四丈高表(見圖1a)為研究對象。以表為縱坐標，圭為橫坐標，圭和表的交點為原點，建立笛卡爾直角坐標系[5]。在圭表-景符測量系統中，經過景符最后定位后，每日正午的太陽中心(tx,ty)、橫梁中心(0,H)、景符中心(m,n)、和橫梁中心的影子(x,0)應該在一條直線(本文稱為“中心直線”)上。當日期固定后，當天的太陽高度角固定，設為θ，則我們可以給出該中心直線的表達式(見圖1b)：

圖1 文中用到的數學表達對應的圖。所有示意圖，均比實際角度要大

y=kx+H

(1)

其中，k=tan(180°-θ)=-tanθ。將所有的應變量都換算成以橫梁中心高度H為自變量的函數；在y=0，我們有圭表上橫梁中心的影子的橫坐標

(2)

此即為影長。景符中心的橫坐標

(3)

其中，景符中心的縱坐標n是“銅葉”“中穿一竅”的高度(簡稱“竅高”)。

因“銅葉”“一端設為機軸，令可開闔”，故其“竅”高度可以變化，變化范圍在“‘趺’高(hf)”(銅葉水平時)和“‘趺’高(hf)+‘銅葉’高(ht)的一半”(銅葉垂直時)之間(見圖1c右上)，即

(4)

其中hf≥0。如果竅的高度n變化，同時m(式(3))也相應變化，此時構成“往來遷就”的動作。

(二)橫梁光影特性的數學表達

在高等數學中業已證明[5]：在笛卡爾坐標系中，設有圓(x-a)2+(y-b)2=r2和圓外一點Q:(p,q)，則Q點和圓的切線的解析解方程滿足

(5)

式(5)的第一個式子對應太陽光斜射的情況，第二個式子對應太陽光直射的情況。按照元朝郭守敬實測的數據，前者可應用在北回歸線以北的任何時候的測量中；后者可應用在南北回歸線之間，且太陽直射當地的時候的測量[3]。

對于《元史·天文志》記載的北京實測的數據而言，按照小孔成像原理[6,7]，從“銅葉”中心引出的“和橫梁的圓截面相切的直線方程”符合第一個式子(見圖1c)，其對應的方程為：

(6)

和

(7)

兩式中已帶入橫梁和“銅葉”的相關參數，rh為橫梁的半徑。

令y1=0 和y2=0 ，我們得到橫梁外邊在圭尺上的投影

(8)

和

(9)

顯然，因為兩式都包括了可以變化的“銅葉”高度n(式(4))，所以x1和x2也是可以變化的。為了研究橫梁光影的特性，這里我們定義以下幾個變量：

1.描述影寬

Δx=x1-x2

(10)

此式正是郭守敬“實得‘橫梁’中景”的寬度，即“不容有毫末之差”的絕對大小。

2.描述圭表測量的相對精度[5]

(11)

此式正是郭守敬“不容有毫末之差”與橫梁影長的相對值。

3.描述橫梁影子對稱性(單位為1)

(12)

顯然，ry=1的時候，橫梁影子中心相對兩邊對稱。

(三)太陽光斑特性的數學表達

在正午時，太陽通過“銅葉”之后，成像為一個近似橢圓[7,8](見圖1b右上)，其短軸的長度(按照下述的“僅如米許”的測量標準)等于米粒長度[3]；其長軸方向的特性，描述了光斑隨景符高度調節時候表現的特征。在研究太陽的光斑的時候，這里假設一個虛太陽，其中心在(0，H)點；在此假設下，研究太陽在橫坐標上的投影的方法，和橫梁的研究方法相同(見圖1c)；除了太陽半徑rt有變化外，式(5)中其他參數不變。進一步，如何給出太陽在(0，H)點的視半徑rt，就成了解決問題的關鍵。從橫梁中心的影子(x,0)，引出一個視角度為0.5°(=0.25°×2)[7]的圓，其圓心在橫梁中心；并同時引出一條和橫梁上沿相切的線(見圖1d)。按照三角學知識[5]，我們有

(13)

在橫梁和圭尺組成的三角形中有

(14)

結合式(13)和(14)，因為L相等，我們有

(15)

根據式(5)、(8)和(9)，我們有太陽光斑的外邊的橫坐標：

(16)

和

(17)

同樣我們可以給出

1.光斑的大小，即水平長度：

Δt=t1-t2

(18)

郭守敬記錄的光斑“僅如米許”，按照現代小米的平均直徑1.2mm[9]計算，其對應的景表尺長度為0.0049尺(=0.12cm/24.525cm，24.525cm為現代計量單位下1景表尺[7]的長度)；該長度是景符在移動過程中，讀取相關數值和計算對應精度的一個重要限制性條件；“許”字，說明實際值與0.0049相比，可以有極微小的偏離。

2.光斑偏離圓形的度量方法為(單位為1)

(19)

顯然，當rt=1時，橫梁影中心平分光斑，此時光斑為圓形；同時達到“隱然見橫梁于其中”。

3.橫梁影子和光斑大小的比值(單位為1)

(20)

4.光斑右側寬度和左側寬度之比(單位為1)

(21)

二、計算結果

本文選擇《元史·天文志》[3]中記錄景符的相關信息，來恢復記錄的圭表測量值。參數選擇：高表的高度用40尺(4丈)，橫梁的半徑0.15尺，地理位置選擇北京，北京夏至日的太陽高度角用72.81637°，冬至日的太陽高度角用27.53035°。根據本文方法計算結果見表1和圖2、3；為方便對比，表內有效數字取小數點后8位；如無特別說明，前述定義的比例變量單位為1，長度單位為尺，長度小數點后的單位依次為寸、分、厘、毫(研究到毫的水平，就足以復原《元史》的記錄了)。

表1 夏至日和冬至日，透過景符的光斑“僅如米許”時，計算獲得的結果

圖2 夏至日，景符高度從0增加到0.6尺的計算結果。每個圖中顯示了“如米許”光斑時候的數值。

圖3 冬至日，景符高度從0增加到0.6尺的計算結果。每個圖中顯示了“如米許”光斑時候的數值。

夏至日結果：橫梁中心的影子為12.36954597尺，和《元史》中記錄的數據相符。景符竅高沿中心直線“往來遷就”從0到0.6尺的高度上，尋找僅有米粒大小光斑的過程中，所有應變量都是線性地變化：影寬從0增加到0.005尺，相對精度從0增加到0.004，橫梁影子對稱性從0.99779減小到0.99775，光斑的大小從0增加到0.006尺，光斑偏離圓形從1.002700增加到1.002745，橫梁影子和光斑大小的比值從0.82107343減小到0.82107333，光斑右側寬度和左側寬度之比從1.00492增加到1.00501尺。當發現光斑為0.00489017景表尺時，竅高為0.506，影寬為0.00401519，相對精度為0.03246025，橫梁影子對稱性為0.99775841，光斑偏離圓形為1.00273688，橫梁影子和光斑大小的比值為0.82107335，光斑右側寬度和左側寬度之比為1.00498966。

冬至日結果：橫梁中心的影子為76.74000932尺，和《元史》中記錄的數據相符。景符竅高沿中心直線“往來遷就”從0到0.6尺的高度上，尋找僅有米粒大小光斑的過程中，所有應變量都是線性地變化：影寬從0增加到0.01尺，相對精度從0增加到0.014，橫梁影子對稱性從0.99387減小到0.99326，光斑的大小從0增加到0.025尺，光斑偏離圓形從1.01688增加到1.01714，橫梁影子和光斑大小的比值從0.3972221減小到0.3972212，光斑右側寬度和左側寬度之比從1.02368增加到1.02403尺。當發現光斑為0.00489614景表尺時，竅高為0.12，影寬為0.00194485，相對精度為0.00253434，橫梁影子對稱性為0.99335149，光斑偏離圓形為1.01693453，橫梁影子和光斑大小的比值為0.39722193，光斑右側寬度和左側寬度之比為1.02374088。

三、討論

結合前面的理論，并對比夏至日和冬至日的數據，我們發現：

1.在兩至日的北京，使用景符都能夠找到“僅如米許”的光斑，能夠計算出對應的影長，說明《元史》記載無誤，同時與理論相互佐證；

2.兩至日內的影寬，隨太陽高度角的變化而變化，并不是一個絕對值；太陽高度角越小，影寬越窄。計算獲得的影寬和現代(文獻[7]內表1記錄的冬至日附近)實際測量的0.00x(x表示對應的小數位，下同)尺水平吻合；

3.在現代科學下，測量相對精度都很高，在0.0x%水平及以下。測量相對精度隨太陽高度角的變化而變化，并不是一個絕對值；太陽高度角越小，相對精度越高；

4.橫梁影子對稱性為0.99x水平及以下，光斑對稱性在1.0x水平及以下，光斑右/光斑左的比例在1.0x水平及以下。它們都非常接近于1，但不等于1，說明整個光斑和橫梁體系在“僅如米許”時候，是一個非常接近于圓的橢圓。實際觀測中，在肉眼能區別的范圍內，可以認為光斑長軸方向始終是平分的，在達到“米許”的尺寸時，整個橫梁平分光斑；

5.橫梁影寬和光斑大小的比值，隨太陽高度角的增大而增大；說明在手動記錄橫梁位置的時候[3,10]，冬季需要用到比夏季更細的筆來記錄。

四、結論

本文結論如下：

1.郭守敬創制的景符在笛卡爾坐標系下的工作原理，即“一端設為機軸，令可開闔，榰其一端，…，往來遷就于虛梁之中。竅達日光，僅如米許，隱然見橫梁于其中”，可以用高等數學精確表達；

2.新的數學公式準確地復現了《元史》中記錄的至元十六年夏至日和冬至日的日影長度，發現用景符記錄橫梁位置的測量精度，在“不容有毫末之差”的“毫”水平上；

3.新的數學公式可以更深入且定量地研究橫梁的影寬、相對精度、橫梁影子對稱性、光斑的大小、光斑偏離圓形、橫梁影子和光斑大小的比值、光斑右側寬度和左側寬度之比等7個特征信息。這些特征信息都是太陽高度角和竅高的函數，意味著研究一年內每日的日影記錄時，需要有不同的特征信息來深入分析；為從新角度研究與景符相關的工作，提供了思路。作為例子，夏至日和冬至日的各個特征信息有明顯的區別。