高三數學綜合測試

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

1.已知集合P={x|x≥1,x∈N},Q={x|2x≤8},則P∩Q=( )

(A){x|1≤x<4}(B){x|1≤x<3}

(C){1,2} (D){1,2,3}

3.若將整個樣本空間想象成一個1×1的正方形,任何事件都對應樣本空間的一個子集,且事件發生的概率對應子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示( )

(A)事件A發生的概率

(B)事件B發生的概率

(C)事件B不發生的條件下事件A發生的概率

(D)事件A，B同時發生的概率

4.已知實數m,n, 函數f(x)=x2+mx+n, 滿足f(2)f(3)≤0, 則m2+2mn的最大值為( )

(A)a6<1 (B)a7>1

(C)a8>1 (D)a9>1

7.恰有一個實數x使得x3-ax-1=0成立,則實數a的取值范圍為( )

8.已知四面體D-ABC中,AC=BC=AD=BD=1,則三棱錐D-ABC體積的最大值為( )

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分)

(A)f(x)是偶函數

(B)f(x)在(0,+∞)上單調遞減

(C)f(x)是周期函數

(D)f(x)≥-1恒成立

(A)x<0且y<-1

(B)m的最大值為-3

(C)n的最小值為7

(D)n·2m<2

(C)f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*)對一切x∈[0,+∞)恒成立

(D)函數y=f(x)-ln(x-1)有3個零點

(A)函數f(x)是奇函數

(C)函數f(x)是以2為周期的周期函數

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

14.六名考生坐在兩側各有一條通道的同一排座位上應考,考生答完試卷的先后次序不定,且每人答完試卷后立即離開座位走出教室.則其中至少有一人交卷時為到達通道而打擾其他尚在考試的同學的概率為______.

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知?ABC的外心為O,M,N為線段AB,AC上的兩點,且O恰為MN中點.

(1)證明:|AM||MB|=|AN||NC|;

(1)若點M是ED的中點,求證:CM∥平面ABE;

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)若bn=an+n,試求數列{bn}的前n項和Tn.

(1)求實數a,b的值;

(2)判斷f(x)的單調性,并用定義證明;

(3)當x∈[1,2]時,2+mf(x)+2x>0恒成立,求m的取值范圍.

(1)求f(x)的解析式;

(3)是否存在實數a,使得函數F(x)=f(x)-a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2021個零點？若存在,求出a和對應的n的值;若不存在,請說明理由.

22.(本小題滿分12分)已知函數

f(x)=xe3x.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)若對任意的x>0,f(x)-lnx≥(a+2)x+1恒成立,求實數a的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題

1.D;2.B;3.A;4.B;5.C;

6.A;7.B;8.C.

二、多項選擇題

9.AD; 10.ABD; 11.ACD; 12.ABC.

三、填空題

四、解答題

同理可知x2y2=AO2-ON2.因此x1y1=x2y2,可得|AM||MB|=|AN||NC|.

(2)由(1)知x1y1=x2y2=2,由余弦定理知

又CM?平面ABE,BN?平面ABE,所以CM∥平面ABE.

(2)取AD的中點O,連結OC,OE,易得OE⊥AD,OC⊥AD.

因為-a-2=-3,而定義域[-a-2,b]關于原點對稱,所以b=3.

證明任取x1,x2∈[-3,3],且x1

f(x1)-f(x2)

因為-3≤x10,2x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

解法1(分離變量法)

解法2(二次函數法)

綜上,得m的取值范圍是(-∞,-1].

當a>1或a<-1時,y=f(x)的圖象與直線y=a在[0,nπ]上無交點.

當a=1或a=-1時,y=f(x)的圖象與直線y=a在[0,π]僅有一個交點,故此時由y=f(x)的圖象與直線y=a在[0,nπ]上恰有2 021個交點,可得n=2 021.

22.(1)因為f′(x)=(xe3x)′=e3x+3xe3x=(1+3x)e3x,所以f′(0)=1.又f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x.

當x∈(0,x0)時,h(x)<0,g′(x)<0,g(x)

①

②

于是由a+2≤3,得a≤1,即實數a的取值范圍是(-∞,1].