L2空間中一個不等式的最優常數和取等條件問題

賴寶鋒,陳明玉

(泉州師范學院 數學與計算機科學學院，福建 泉州 362000)

眾所周知，柯西不等式是分析學中最基礎和最重要的不等式之一，其離散形式[1]為：

(1)

其中：ai,bi都是實數，i=1,2,…,n，n為正整數(包括n=∞).不等式(1)取等號當且僅當存在實數λ，使得a=λb，或b=λa，其中：a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn).

柯西不等式還有如下廣泛運用的積分形式[1],即：

(2)

其中：f(x),g(x)∈L2(Ω).不等式(2)取等號當且僅當存在實數λ，使得f(x)=λg(x),a.e.x∈Ω,或g(x)=λf(x),a.e.x∈Ω.

不等式(1)和(2)的證明可見文[1-4].不等式(1)和(2)可視為一般的內積空間中關于內積的柯西-布涅科夫斯基不等式的特例，見文[5-7].柯西不等式有許多的加強與推廣，見文[8-10]等.

現在，來研究一類與柯西不等式有關的問題.先引入如下例子：

對任意函數f(x)∈L2[0,π]，由柯西不等式，有

(3)

(4)

因此，

(5)

不等式(5)取等號當且僅當不等式(3)和(4)都取等號.由柯西不等式取等號的條件知道，這又等價于存在實數λ,μ，使得f(x)=λcosx,a.e.x∈[0,π],且f(x)=μsinx,a.e.x∈[0,π].

但cosx,sinx在L2[0,μ]中是線性無關的，故這又等價于：f(x)=0,a.e.x∈[0,π].

由此，并不能斷言π就是不等式(5)中的最優常數.

類似地，由柯西不等式，有

(6)

(7)

因此，

(8)

不等式(8)取得等號當且僅當不等式(6)和(7)都取得等號.由柯西不等式取等號的條件知道，這又等價于存在實數λ,μ，使得：f(x)=λ,a.e.x∈[0,1]且f(x)=μx4,a.e.x∈[0,1].

不等式(5)和(8)是對前面的不等式經過運算得到的，所帶的估計常數一般難以保證是最優的.美國數學月刊2022年4月刊也提出了如下類似的問題12318[11].

求sup{A2(f)+B2(f):f∈Sa}和sup{A2(f)+B2(f)+C2(f):f∈Sa}.類似的例子還有很多，需要對這類問題的解決建立一個統一的法則.

1 主要引理

則L2(U)就成為一個無窮維的歐氏空間.在L2(U)中，稱f(x)=g(x)，如果f(x)=g(x),a.e.x∈U.

歐氏空間中，有如下的正交分解定理.

引理1[7]設V為歐氏空間，W是V的有限維子空間，則W存在唯一的正交補空間W⊥，使得

V=W?W⊥.

引入Rayleigh商及相關結論.

(i)R(x)的最大值和最小值分別為：

其中：λmax(A)和λmin(A)分別為A的最大和最小特征值.

(ii)當且僅當x為λmax(A)所對應的特征向量時，R(x)取得最大值；當且僅當x為λmin(A)所對應的特征向量時，R(x)取得最小值.

2 結論與證明

f(x)=(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))B-1y,

不等式取得等號，其中：y為BABT的最大特征值所對應的特征向量.

(ii)如果λmin(BABT)>0，則

且當且僅當f(x)∈W⊥，不等式取得等號.

(iii)如果λmin(BABT)=0，則

且當且僅當f(x)=(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))B-1y+g(x),不等式取得等號，其中：BABTy=0，g(x)∈W⊥.

(iv)如果λmin(BABT)<0，則

且當且僅當f(x)=(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))B-1y,不等式取得等號，其中：y為BABT的最小特征值所對應的特征向量.

證明W=L(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))，則W為L2(U)中的m維線性子空間.由引理1，W存在唯一的正交補空間W⊥，使得L2(U)=W?W⊥.

任取0≠f(x)∈L2(U)，定義泛函

作f(x)的正交分解

其中：c1,c2,…,cm∈R,g(x)∈W⊥.于是，

其中：

又由于

故

G為m階實對稱正定矩陣，故存在m階實可逆矩陣B，使得G=BTB，故

由引理2，

λmin(BABT)yTy≤yTBABTy≤λmax(BABT)yTy,

故

(9)

(10)

當且僅當BABTy=λmax(BABT)y時，不等式(9)取得等號.當且僅當BABTy=λmin(BABT)y時，不等式(10)取得等號.

(i)A不是半負定的，故其合同矩陣BABT也不是半負定的，故λmax(BABT)>0.因此，

(11)

聯合不等式(9)和(11)，得到

J(f)≤λmax(BABT).

(12)

不等式(12)取等號當且僅當不等式(9)和(11)都取等號，這又等價于y為BABT的最大特征值所對應的特征向量，且g(x)=0.因此，

(13)

且當且僅當

f(x)=(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))B-1y,

不等式(13)取得等號，其中：y為BABT的最大特征值所對應的特征向量.故(i)成立.

(ii)如果λmin(BABT)>0，則

(14)

不等式(14)取得等號當且僅當y=0.

聯合不等式(10)和(14)，得

J(f)≥0,

(15)

且不等式(15)取得等號當且僅當不等式(10)和(14)都取得等號，這又當且僅當y=0.因此，

(16)

且不等式(16)取得等號當且僅當f(x)∈W⊥.故(ii)成立.

(iii)如果λmin(BABT)=0，由不等式(10)，

(17)

且不等式(17)取得等號當且僅當BABTy=0.因此，

(18)

且不等式(18)取得等號當且僅當

f(x)=(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))B-1y+g(x).

其中：BABTy=0，g(x)∈W⊥.故(iii)成立.

(iv)如果λmin(BABT)<0，則

(19)

聯合式(10)和(19)，可以得到

J(f)≥λmin(BABT).

(20)

不等式(20)取得等號當且僅當不等式(10)和(19)都取得等號，當且僅當y為BABT的最小特征值對應的特征向量，且g(x)=0.因此，

(21)

且不等式(21)取得等號當且僅當f(x)=(ρ1(x),ρ2(x),…,ρm(x))B-1y.其中：y為BABT的最小特征值所對應的特征向量.故(iv)成立.

綜上所述，定理1成立.

3 數值算例

cosx,sinx在L2[0,π]中是線性無關的，其Gram矩陣為

L2[-a,a]中線性無關的函數1,x的Gram矩陣為

故

L2[-a,a]中線性無關的函數1,x,x2的Gram矩陣為

因此，