一類平面數字限制集的維數

董家梅，席玉佩

(湖北大學數學與統計學學院, 應用數學湖北省重點實驗室, 湖北 武漢 430062)

0 引言及主要結果

F0?F1?…?Fn?Fn+1?…,

其中F0=[0,1]2, 且對任意n∈, 如果n∈Ej, 則對Fn中的每個方塊以Fj方式生成Fn+1.令

設Q∈D, 用s(Q)、|Q|依次表示方塊Q的邊長、直徑. 記

(1)

其中n(k)=Pj當且僅當k∈Ej,ε(k)=εj當且僅當k∈Ej.則Dn內包含Nn個邊長為δn的內部兩兩不交的坐標方塊. 記

(2)

定理1設F=F({Fj},{Ej})為平面數字限制集, 則

記

其中對集合A,#A表示集合A的元素個數, 則

帶入上述定理1及(2)式得下面推論.

推論1設F=F({Fj},{Ej})為平面數字限制集, 則

稱度量空間X是s-齊性的, 如果存在常數C≥1, 使得對任意0

dimA(X)=inf{s≥0:X是s-齊性的},

稱之為X的Assouad維數[2].

記

(3)

其中Nk,δk如(1)式定義. 本研究得到了平面數字限制集F=F({Fj},{Ej})的如下Assouad維數公式.

定理2設F=F({Fj},{Ej})為平面數字限制集, 則

dimA(F)=t*.

記

代入上述定理2及(3)式得下面推論.

推論2設F=F({Fj},{Ej})為平面數字限制集, 則

1 預備知識及引理

本節先回顧定理證明中用到的維數的記號及定義(參考文獻[3，6]). 同時給出定理證明中用到的引理.

設集X?Rd,s>0.定義

dimH(X)=inf{s:Hs(X)<∞}=sup{s:Hs(X)>0}

為X的Hasudorff維數. 我們將用下面質量分布原理估計定理1中集合F的Hausdorff維數的下界(文獻[3]).

引理1[3]設集X?Rd, μ是X上的質量分布,s>0, 若存在c>0,δ>0, 使得

μ(U)≤c|U|s

對所有滿足|U|≤δ的集成立, 則dimH(X)≥s.

設δ>0, 記Nδ(X)表示直徑不超過δ的覆蓋X的集合的最少個數, 定義

為X的上盒維數. 定義

為X的s-維予填充測度, 其中稱球族{Bi}={B(xi,ri)}為X的δ-填充(也可以用坐標方塊族作填充), 如果i≥1,xi∈X,ri≤δ, 且Bi∩Bj=φ(i≠j).令

為X的予填充維數. 下面引理說明予填充維數恰是集合的上盒維數(文獻[6]).

定義

為X的填充測度, 令

dimP(X)=inf{s:Ps(X)<∞}=sup{s:Ps(X)>0}

為X的填充維數. 下面引理說明集合的局部結構滿足一定條件時, 其填充維數與上盒維數相同(文獻[3]).

引理 3[3]設集X?Rd是緊集, 若對任意與X相交的開集V有

2 定理1的證明

本節分三步證明定理1.

定理1的證明第一步, 證明dimH(F)=s*.

先證dimH(F)≤s*, 由(2)式, 對于任意t>s*, 存在{ni}, 使得

所以dimH(F)≤t.由t的任意性得dimH(F)≤s*.

再證dimH(F)≥s*, 由(2)式, 對于任意tk0時,

(4)

(5)

則U至多與9個k級方塊相交. 從而由(4)式和(5)式得

其中c依賴于min{ε1,ε2,…,εm}.由引理1得dimH(F)≥t, 由t的任意性知, dimH(F)≥s*.

第三步, 證明dimP(F)=s*.

3 定理2的證明

(6)

定理2的證明先證dimA(F)≤t*.對任意s>t*, 由(6)式, 存在M(s), 使得當n>M(s)時, 有

進而任意n>M(s), 任意k≥1有

n(k+1)×…×n(k+n)≤(ε(k+1)×…×ε(k+n))s

(7)

任給集U滿足R:=|U|<δM(s), 存在k0≥M(s), 使得

(8)

任給r>0, 設A?U∩F為r-分離集, 對r, 存在k1≥k0+M(s), 使得

(9)

從而U至多與9個k0級構成方塊相交, 進而至多與9n(k0+1)×n(k0+2)×…×n(k0+k1+1)個k0+k1+1級構成方塊相交, 且每個k0+k1+1級構成方塊內至多含有A中的一個點, 結合(1)、(7)～(9)式得

#A≤9n(k0+1)×n(k0+2)×…×n(k0+k1+1)

≤9N2(ε(k0+2)×…×ε(k0+k1))s

其中N=max{P1,P2,…,Pm}.所以dimA(F)≤s, 由s的任意性, dimA(F)≤t*.

再證 dimA(F)≥t*.對任意s

n(kl+1)×…×n(kl+ml)≥(ε(kl+1)×…×ε(kl+ml))s

(10)

#A=n(kl+1)×n(kl+2)×…×n(kl+ml)

≥(ε(kl+1)×ε(kl+2)×…×ε(kl+ml))s