預測HL-2A 托卡馬克臺基結構的MHD穩定性數值研究*

2022-12-05 11:14孫梓源王元震2劉悅

物理學報 2022年22期

孫梓源王元震2) 劉悅?

1)(大連理工大學物理學院,三束材料改性教育部重點實驗室,大連 116024)

2)(核工業西南物理研究院,成都 610041)

基于HL-2A 實驗參數,利用TOQ 程序構建了具有不同臺基結構的平衡,在BOUT++三場模塊下對臺基磁流體力學(magnetohydrodynamics,MHD)穩定性進行數值模擬研究.線性模擬表明,減小臺基高度、增大臺基寬度、減小臺基電流能夠提高臺基MHD 穩定性,利用色散關系理論,對上述現象進行解釋.在MHD穩定性的前提下,預測了不同臺基寬度對應的最高臺基高度,對數據進行擬合,得到可以預測臨界臺基高度的公式,并在此基礎上結合動理學氣球模(kinetic ballooning mode,KBM)理論,同時預測了臺基高度和寬度.本文也研究了臺基結構對MHD 不穩定模式的影響,線性模擬表明,臺基高度能夠微弱影響不穩定模式的徑向模展寬;非線性模擬表明,不穩定模式的前期增長主要受單一主導模的影響,模式增長到一定大小會發生臺基坍塌,爆發邊緣局域模(edge localized mode,ELM),ELM 尺寸的演化與主導模幅值的演化同步,總體來說具有較大線性增長率的平衡在非線性模擬中具有更大的ELM 尺寸和更廣范圍的臺基坍塌.

1 引言

高約束模式(H 模),作為托卡馬克中一種較高參數的運行模式,從1982 年德國ASDEX 裝置的實驗中首次發現以來,已被廣泛研究,因其具有較好的約束性能,被ITER 確定為標準放電方案[1?3].H 模最典型的特征是在等離子體邊界區域存在邊界輸運壘(edge transport barrier,ETB),即在該區域存在較高的溫度和密度梯度,形成一個類似于臺基結構,被稱為臺基區[4].臺基區較大的等離子體梯度存儲大量的自由能,容易激發各種MHD 不穩定性,包括剝離模、氣球模、剝離-氣球模和電阻氣球模等[5?7],其中最重要的是電流驅動的剝離模與壓強梯度驅動的氣球模耦合而成的剝離-氣球模,這種不穩定性是大型ELM 爆發的主要原因[8].爆發ELM時,臺基坍塌,同時向外噴發粒子和熱流,這些粒子和熱流有可能會使面向等離子體的材料和組件嚴重損壞[9].根據爆發頻率的高低、加熱功率的大小、能量損失的大小、模結構以及是否出現前兆震蕩等可將ELM 分為Type I,Type II,Type III,Type IV和grassy ELM等[10].

理論研究發現,s-α模型和j-α模型可以判斷平衡的剝離-氣球模不穩定性[5].當壓強梯度一定時,增大電流容易造成剝離模不穩定;而壓強梯度較大時,容易造成氣球模不穩定;如果壓強梯度和電流都超過穩定性閾值,兩種模式會耦合成剝離-氣球模,可能會爆發具有較大能量損失的Type I ELM[11];因此臺基結構和臺基電流與邊界MHD穩定性密切相關.目前有很多程序能夠計算邊界MHD 穩定性,也有些模型能預測臺基結構,例如ELITE[12],GATO[13],MISHKA[14]和BOUT++[15]等程序能計算邊界MHD 穩定性,EPED 等模型能預測臺基結構[16].使用ELITE 程序能夠計算得到剝離-氣球模的MHD 穩定性邊界,比如在DIII-D等裝置上發現壓強臺基高度與臺基寬度接近線性相關[17],在確定臺基寬度的前提下預測了臺基高度[12].EPED 模型在使用ELITE 計算剝離-氣球模的前提下,考慮了動理學氣球模,同時考慮這兩種不穩定模式時能夠同時預測臺基高度和寬度[18],李凱[19]在EPED 模型的基礎上發展了REPED 模型,預測了EAST 裝置真實位形下H 模放電的臺基結構.本文使用的BOUT++是一個大型流體模擬程序框架,已經發展了三場[20]、四場[21]、五場[22]、六場[23]等模塊,這些模塊既能判斷理想MHD 穩定性,又加入了抗磁效應、E×B漂移、電阻、高階電阻等非理想效應,可以進行線性和非線性的模擬研究[24].

HL-2A 托卡馬克在2009 年首次實現了偏濾器位形下ELMy H 模放電運行[25],針對HL-2A裝置,已有很多實驗和模擬工作開展了對臺基MHD 不穩定性的研究.在實驗工作上,發展了多個緩解ELM的方法,如低雜波驅動、超聲分子束注入、共振磁擾動和雜質注入等[26?28];在模擬工作上,Tang等[29]利用BOUT++六場模塊解釋了密度梯度可以觸發ELM 期間的準相干模,Wu等[30]利用剝離-氣球模理論對等離子體垂直擺動過程中的ELM 特性進行了研究.然而對于HL-2A 裝置,臺基結構影響MHD 穩定性的研究仍然較少,因此針對實驗和模擬的需求,本工作將基于HL-2A的實驗參數,給出大量的具有不同臺基結構的臺基剖面,利用BOUT++中的MHD 程序做穩定性的線性掃描,得到了在不同臺基寬度下臺基高度的極限值,并對數據進行擬合,得到了臺基寬度和臨界臺基高度的關系式,最后在此基礎上結合了動理學氣球模理論,同時預測臺基寬度和高度;針對觸發MHD 不穩定性的臺基結構,也進行了非線性模擬研究,對產生ELM的演化過程進行了分析.另外,本工作模擬得到的數據將會整合到HL-2A的集成模擬平臺中,促進HL-2A 集成模擬工作的開展.

本文首先介紹了本工作采用的模型及參數設置介紹,對具有不同臺基結構的平衡進行了MHD穩定性分析,并結合動理學氣球模理論得到了可以預測HL-2A 臺基高度和寬度的方法,對于MHD 不穩定的平衡,也對ELM的演化進行了分析和總結.

2 模型

選取了HL-2A 托卡馬克H 模放電的一般實驗參數為基礎進行研究.主要參數包括:大半徑R0=1.65 m,小半徑a=0.4 m,等離子體中心的環向場B0=1.27 T.為了便于模擬,忽略x點,圖1是忽略了x點后的等離子體邊界區域,即本文的模擬區域,并且在模擬中,分形面以外的區域被近似為真空,等離子體電流近似為零.

圖1 模擬區域內的歸一化極向磁通分布Fig.1.Normalized poloidal magnetic flux in the simulated region.

基于實驗參數,首先利用TOQ 程序根據構建了大量的不同臺基結構和臺基電流的平衡,它們具有不同的臺基高度Pped、臺基寬度Δped和邊界安全因子q剖面,臺基部分的壓強剖面被設置為

其中,ae用于確定臺基的高度,ωe用于確定臺基的寬度,常數const 用于確定邊界處的壓強,ψ是歸一化的極向磁通,ψe用于控制臺基的位置.

利用BOUT++程序中的三場模塊對平衡的MHD 穩定性進行了模擬,三場模型包括渦度方程(2)、能量方程(3)和歐姆方程(4)[15,24,31]:

在方程組(2)—(4)中,帶有上標“～”的物理量是擾動量,帶有下標“0”的物理量是平衡量,其中

對于物理量F,?//F=B?//(F/B),而[f,g]=b0·(?f×?g)是泊松括號項,此外還有:

(5)式中的右端第2 項為抗磁項,考慮此項時需要保持等離子體平衡流為0,即:

因此:

在理想MHD 模擬中,不考慮抗磁效應,此時:

同時在理想MHD 模擬中,電阻η、高階電阻ηH、熱擴散系數χ//、離子平行黏度μi,//和泊松括號項都為零.在非線性模擬中,加入了抗磁效應、電阻(倫奎斯特數S= μ0R0vA/η=108)、高階電阻(高階倫奎斯特數和離子平行黏度其中vA為阿爾芬速度,阿爾芬時間τA=R0/vA≈0.41 μs,這些非理想效應的加入,有利于數值收斂.為了提高模擬效率,在線性模擬中,當環向模數為n時,1/n的環向范圍被模擬,初始擾動的環向模數也被設置為n;在非線性模擬中,1/5的環向范圍被模擬,初始擾動的環向模為混合模.線性模擬的網格點數為260× 64× 17,非線性模擬的為260× 64× 65.

模擬中使用了沿磁力線的坐標系(x,y,z)[32],x,y,z分別為徑向、極向、環向坐標,環向和極向為循環邊界,徑向的邊界條件為

徑向內邊界:

徑向外邊界:

3 模擬結果

3.1 線性模擬結果

首先固定安全因子q剖面不變,改變臺基的高度和寬度.臺基高度參數規定為臺基環向比壓其中Pped表示臺基頂部的壓強,臺基寬度參數規定為在ψ坐標下的歸一化臺基寬度?ψ=?ped/a,其中a為等離子體小半徑.

上文提到,線性模擬的網格點數為260× 64×17,為證明選取的分辨率對線性模擬足夠精確.對于臺基寬度和高度分別為?ψ=0.088,βt=6.0×10?3的平衡,不同分辨率的網格被生成,該平衡的壓強、平行電流以及安全因子剖面如圖2所示.將徑向nx,極向ny和環向nz的網格點數分別設定為:36,68,132,260,516;32,64,128,256,512 以及17,33,65,129,257.改變n x時,n y和n z固定為64和17,改變n y時,n x和n z固定為260和17,改變n z時,n x和n y固定為260和64,計算環向模數n=15 時的線性增長率,結果如圖3 所示,其中γ/ωA代表歸一化線性增長率.從圖3 可以看出,相對于每組最大分辨率,選擇分辨率為260× 64×17 計算得到的結果誤差均小于0.3%,所以該分辨率對于線性模擬足夠精確.

圖2 臺基高度 βt=6.0×10?3,臺基寬度?ψ=0.088 時的壓強(a)、平行電流和安全因子(b)剖面Fig.2.Pressure(a),parallel current density and safety factor profiles(b)with pedestal height βt=6.0×10?3 and pedestal width ?ψ=0.088.

圖3 利用不同分辨率的網格得出的線性增長率Fig.3.Linear growth rates corresponding to different resolutions.

圖4是臺基高度和寬度不同時對應的臺基區壓強、平行電流以及安全因子剖面.臺基高度βt的取值為2.0×10?3,3.0×10?3和4.0×10?3;臺基寬度?ψ取值為0.066,0.077,0.088,0.099和0.110,在圖4(b)和(c)中可以看到,隨著臺基高度的增大或者臺基寬度的減小,對應自洽的平行電流剖面升高.

圖4 臺基高度 βt為2 .0×10?3,3.0×10?3和4 .0×10?3,臺基寬度 ?ψ為0.066,0.077,0.088,0.099和0.110 時的壓強(a)、平行電流和安全因子(b)(c)剖面Fig.4.Pressure(a),parallel current density and safety factor profiles(b)(c)with pedestal heights βt of 2.0×10?3,3.0×10?3 and 4 .0×10?3,and pedestal widths ?ψ of 0.066,0.077,0.088,0.099 and 0.110.

計算具有不同臺基結構平衡的理想MHD 穩定性,結果如圖5 所示,發現隨著臺基高度的增大或寬度的減小,線性增長率增大,這是因為改變臺基的高度和寬度相當于改變了臺基梯度,在s-α模型中,壓強梯度增大會增大氣球模的不穩定性[33],并且在壓強梯度變大的同時,等離子體電流也隨之增大,這些都會導致臺基區等離子體的自由能增大,從而使增長率變大.為解釋該現象,在Huuang等[34]研究的基礎上加入電流驅動項,推導得到了理想剝離-氣球模的色散關系,推導過程見附錄A.其中,n是環向模數,k//是平行波矢,k⊥是垂直波矢,對于本文所研究的剝離-氣球模,k//?k⊥.由(16)式可知,與? P0和? J//0成正相關.增大臺基高度,減小臺基寬度時,不僅? P0增大,而且對應的平行電流梯度? J//0也增大,? P0驅動氣球模,而? J//0驅動剝離模,所以改變臺基結構對剝離模成分和氣球模成分都有影響.(16)式也可以說明,氣球模成分與環向模數n成正比,而剝離模成分與環向模數n成反比,圖5 中總的剝離-氣球模的線性增長率γpb(n)∝n,這說明氣球模和剝離-氣球模主導的中高n模增長率較大,而剝離模主導的低n模增長率較小.

圖5 理想MHD 線性增長率(a)臺基高度 βt 分別為2.0×10?3,3.0×10?3和4.0× 10–3,臺基寬度 ?ψ=0.110;(b)臺基高度 βt=3.0×10?3,臺基寬度 ?ψ分別為0.066,0.077,0.088,0.099和0.110Fig.5.Linear growth rates with different pedestals:(a)Pedestal heights βt are 2 .0×10?3,3.0×10?3 and 4 .0×10?3,while pedestal width ?ψ is 0.110;(b)pedestal height βt is 3.0×10?3 while pedestal widths ?ψ are 0.066,0.077,0.088,0.099 and 0.110.

中等環向模數(n≈ 15)的模同時具有剝離模成分和氣球模成分,兩者耦合為剝離-氣球模,可能會造成較大能量損失的Type I ELM[11],為了預防這種ELM的產生,定義了相對于剝離-氣球模穩定的臨界平衡,即在n≤15時γpb=0的平衡.如圖6所示,臨界平衡的臺基高度隨臺基寬度的增大近似線性增大,這是因為增大臺基寬度,臺基不穩定性減小,臨界臺基高度增大.

圖6 臨界臺基高度 βt 隨臺基寬度 ?ψ的變化Fig.6.The critical pedestal heights βt corresponding to different pedestal widths ?ψ.

選取具有不同臺基高度和寬度的平衡,計算n=15模式的理想MHD 不穩定性,得到了不穩定性模式對應的模結構(擾動壓強),包括徑向一維模結構和二維模結構,如圖7 所示.圖7(a)是固定臺基寬度?ψ=0.066,臺基高度不同時的歸一化徑向模結構;圖7(b)是固定臺基高度βt=4.0×10?3,臺基寬度不同時的歸一化徑向模結構.從圖7(a)中可以看到,壓強擾動的均方根峰值位于壓強梯度最大的位置,隨著臺基高度的增大,線性增長率增大,同時模的徑向展寬也有微弱增大的趨勢;當臺基寬度增大時,壓強梯度最大值的位置左移,從圖7(b)中觀察到,壓強擾動均方根峰值也隨之左移.在圖7(c)中,主要發生不穩定性的位置位于模擬域外側壞曲率磁場處,同時模結構比較細密,呈現剝離-氣球模的典型結構.

固定臺基寬度?ψ=0.066、臺基高度βt=4.0×10?3,當q剖面不同時,平衡的剖面分布如圖8 所示.在圖8中,q1—q5五個安全因子剖面對應的q95值分別為2.15,2.38,2.62,2.86和3.10,圖2—圖7中模擬選擇的平衡的安全因子剖面為圖8(a)中的q3.重復之前尋找臨界平衡的過程,得到了基于剝離-氣球模理論的臨界臺基高度隨臺基寬度的變化,如圖9(a)(PBM(q1—q5))所示.對于具有不同的q剖面的平衡,計算得到的臺基高度幾乎都與臺基寬度線性相關,因此將數據其擬合成βt=k?ψ+b的形式,發現斜率k與安全因子值q95成負相關,而截距b的數值相對較小,將其作為與q95二次相關的擬合修正量,如圖9(b)所示.擬合結果如(17)式、(18)式所示,給定臺基寬度?ψ和邊界安全因子值q95,可以預測臨界臺基高度βt:

圖7 (a)臺基高度 βt 分別為3.0×10?3,4.0×10?3,5.0×10?3和6 .0×10?3,臺基寬度 ?ψ為0.066,n=15的歸一化徑向模結構;(b)臺基高度 βt=4.0×10?3,臺基寬度?ψ 分別為0.066,0.077,0.088和0.099,n=15的歸一化徑向模結構;(c)臺基高度 βt=4.0× 10?3,臺基寬度?ψ=0.066,n=15的歸一化二維模結構Fig.7.(a)The normalized radial mode structure of n=15 when pedestal heights βt are 3.0×10?3,4.0×10?3,5.0×10?3and 6 .0×10?3,while pedestal width ?ψ is 0.088;(b)the normalized radial mode structure of n=15when pedestal height βt is 4 .0×10?3,pedestal widths ?ψ are 0.066,0.077,0.088 and 0.099 respectively;(c)the normalized two-dimensional mode structure of n=15 when pedestal height βt is 4 .0×10?3 and pedestal width ?ψ is 0 .066.

圖8 臺基高度 βt=4.0×10?3、臺基寬度 ?ψ=0.066 時的壓強、安全因子(a)和平行電流(b)剖面Fig.8.Pressure,safety factor(a)and parallel current density profiles(b)with pedestal height βt=4.0×10?3 and pedestal width ?ψ=0.066.

當邊界區域的安全因子有明顯增大時,會導致邊界區域的磁剪切增大,等離子體電流也會隨之增大,如圖8(b)所示.在圖9(a)中看到,隨著邊界安全因子剖面的升高或邊界電流密度的增大,不穩定性增強,線性增長率變大,臨界臺基高度下降.

圖9 (a)不同安全因子的條件下,剝離-氣球模(PBM)穩定性限制下的臺基高度和寬度的關系,以及動理學氣球模(KBM)穩定性限制下的臺基高度和寬度的關系,兩者的交點即為臺基高度和寬度的預測值;(b)剝離-氣球模(PBM)穩定性約束擬合直線的斜率 k和截距b隨q95的變化Fig.9.(a)Relationship between the pedestal height and width under the stability constraints of peeling-ballooning mode(PBM),and relationship between the pedestal height and width under the stability of constraint of kinetic ballooning mode(KBM),the insterection of the two is the predicted value of pedestal height and width;(b)the slope k and intercept b of the fitting lines with the stability constraints of peeling-ballooning model(PBM)vary with q95.

根據剝離-氣球模的穩定性理論,只能在確定臺基寬度的前提下預測臺基高度,為了同時預測臺基高度與寬度,需要另外引入臺基寬度的約束條件,動理學氣球模(kinetic ballooning mode,KBM)理論目前被認為是可靠的約束條件[18],該理論認為,歸一化臺基寬度?ψ與臺基極向比壓的 1/2次方即線性相關[35],即:

其中G是比例系數,與碰撞率v?,環徑比ε以及其他參數存在弱相關關系,根據理論分析,設置此系數為0.1[35].經過推導,得到基于KBM 理論的約束邊界表達式(20),推導過程見附錄B.

根據HL-2A 托卡馬克H 模放電的一般實驗結果,將等離子體電流Ip設定為160 kA,同時將其他一般性參數,即第2 節所敘述的參數代入(20)式,得到基于HL-2A 托卡馬克實驗參數的KBM 約束邊界表達式:

在圖9(a)中,動理學氣球模約束曲線(利用KBM 表示)與剝離-氣球模約束擬合直線的交點(利用星號表示),即為本文預測的具有不同安全因子剖面的臺基結構.由于時間所限,本文在對剝離-氣球模進行MHD 穩定性計算時保持了環向磁場B0不變,而在實際托卡馬克H 模放電時小半徑a,環向場B0以及等離子體電流Ip都會在本文選取的參數附近微小變化,如果想對HL-2A的H 模放電臺基結構進行更加精準的預測,需要在本文工作的基礎上微弱改變參數,進行大量的計算,這也是未來工作的重點.

計算平衡的理想MHD 穩定性,固定臺基寬度?ψ=0.066,臺基高度,安全因子剖面為圖8(a)中的q3,在考慮抗磁效應的條件下,設定離子密度分別為1.0× 1019,2.0× 1019,3.0× 1019,3.0× 1019,3.0× 1019,4.0× 1019,以及5.0× 1019m–3,計算了MHD 穩定性,結果如圖10 所示.可以看到,密度越小,抗磁效應對不穩定性的抑制作用越明顯,特別是環向模數較大時,這是因為離子抗磁頻率ωi=?b0×?Pi0·k⊥/n0eB0∝n/n0,即ωi與環向模數n成正比,與等離子體密度n0成反比.在(16)

圖10 在考慮抗磁效應時,具有不同離子密度的剝離-氣球模增長率,臺基高度βt=4.0×10?3,臺基寬度?ψ=0.066Fig.10.When the diamagnetic drift effect is included,linear growth rates of peeling-ballooning modes with different ion densities,while pedestal height βt=4.0×10?3 and pedestal width ?ψ=0.066.

式中,等式右邊的前兩項是壓強驅動項,即氣球模的驅動項,可以看出,氣球模成分的線性增長率(γb)正比于,減小離子密度和增大環向模數時,γb增大的幅度沒有離子抗磁頻率ωi增大的幅度大,抗磁致穩的相對效果更強,模式被抑制.由(A20)式知,不只是氣球模,如果抗磁效應足夠強,當γpb=ωi/2時,剝離-氣球模的增長率降為零[32].

3.2 非線性模擬結果

在非線性模擬中,考慮了離子的抗磁漂移,根據圖10的結果,為了避免抗磁效應過大,將離子密度設置為ni=5×1019m–3.邊緣局域模(ELM)尺寸被定義為芯部能量的相對損失[20]:

其中Rin和Rout分別是內模擬邊界和最大壓強梯度的徑向位置.當臺基結構和安全因子剖面不同時,ELM尺寸如圖11 所示,其中橫坐標表示歸一化的時間.

圖11 不同臺基結構和安全因子剖面的ELM 尺寸(a)臺基高度 βt 分別為2 .0×10?3、2.5 × 10?3和3 .0×10?3,臺基寬度?ψ分別為0.066,0.077和0.088,安全因子剖面為圖8(a)中的 q3;(b)臺基高度 βt=3.0×10?3,臺基寬度 ?ψ=0.088,安全因子剖面分別為圖8(a)中的 q3、q4和q5Fig.11.ELM size corresponding to different pedestal structures and safety factor profiles:(a)βt are 2 .0×10?3,2 .5×10?3 and 3.0×10?3,?ψ=0.066,0.077,0.088,while safety factor profile is the q3 profile in Fig.8(a);(b)βt is 3 .0×10?3,?ψ is 0 .088,while safety factor profiles are the q3,q4 and q5 profiles in Fig.8(a).

從圖11 中可以看到,ELM 尺寸與前面的線性不穩定性研究相互對應,即臺基寬度越窄,臺基高度越高,或者邊界安全因子剖面越高,線性增長率越大,對應的ELM 尺寸越大;并且可以將ELM的演化分為3個階段,即線性增長階段、臺基初始坍塌階段和湍流階段.圖12是擾動壓強在徑向和環向上的二維分布隨時間的演化,結合圖11 可以看到,在前期的線性增長階段,擾動范圍較小,擾動量持續增大,擾動壓強的分布如圖12(a)所示;當擾動量增大到一定幅值,大約t=100τA之后,擾動壓強的正值部分向外側移動,而負值部分向芯部移動,如圖12(b)和(c)所示,此時臺基剖面出現坍塌,ELM 尺寸迅速增大;之后進入湍流輸運階段,模式互相耦合,正負擾動繼續向兩側發展,ELM 尺寸增長的速度變緩,如圖12(d)—(f)所示.從圖11也可以看出,ELM 尺寸增長的越快,越早進入湍流階段.在圖13 中將臺基高度βt固定為3.0×10?3,顯示了最外中平面上歸一化擾動壓強均方根隨時間演化的徑向分布;從圖13(a)和(b)可以看到,在安全因子剖面相同時,臺基寬度較窄時擾動壓強消散的更快;而在圖13(b)—(d)中看到,在臺基寬度相同時,邊界安全因子剖面越高,擾動壓強消散的越快;同時對于消散更快的算例,擾動相對平衡位置向兩側擴張的范圍也有增大的趨勢;對比圖11 發現擾動大約在剛進入湍流階段時刻開始消散,所以對于ELM 尺寸增長越快的算例,擾動消散的也越快.

圖12 當臺基高度 βt=3.0×10?3,臺基寬度 ?ψ=0.088,安全因子剖面為圖8(a)中的 q4時,歸一化的擾動壓強在徑向 ψ和環向 ζ 平面隨時間的演化Fig.12.Evolution of pressure perturbation in the frame of normalized poloidal flux ψ and toroidal angle ζ with pedestal height βt=3.0×10?3 and pedestal width ?ψ=0.088,while safety factor profile is the q4 profile in figure 8(a).

圖13 固定臺基高度 βt=3.0×10?3,當臺基寬度和安全因子剖面不同時,外中平面處歸一化的擾動壓強均方根隨時間的演化Fig.13.Time evolution of the root-mean-square of pressure perturbation at the outer mid-plane with βt=3.0×10?3,different pedestal widths and safety factor profiles.

為了觀察各個環向模在非線性模擬中的演化,我們在環向進行了傅里葉分解,結果如圖14所示.結合圖11 看到,在ELM 爆發前,以n=15為首的中等環向模數的模首先迅速增長,而超過30的高n和低于10的低n的環向模幅值幾乎為0,我們把前期增長最快速的模,即圖14中n=15的模稱為主導模.通過觀察可以發現,圖14(a),(c),(d)和(b)的主導模的峰值逐漸增加,而在圖11中對應的ELM 尺寸也逐漸增加,因此主導模的峰值基本決定了ELM的尺寸.ELM 爆發后,主導模及中等環向模數的模的幅值下降,模式之間互相耦合,逐漸進入到湍流階段,其中n=0的帶狀流的發展明顯抑制了以主導模為首的其他環向模的增長,可以看到,圖14(a)中的抑制效果最明顯,圖14(d)中的抑制效果最不明顯,環向傅里葉分解結果與吳[6]等的研究結果相似.

圖14 不同臺基結構和安全因子剖面時擾動的環向傅里葉分解圖Fig.14.Toroidal Fourier analysis of the perturbation with different pedestal structures and safety factor profiles.

圖15是圖11對應算例的主導模的演化圖,即n=15的模隨時間的演化,其中圖15(a)中的算例具有相同的邊界安全因子剖面,即圖8(a)中的q3剖面,以及不同的臺基結構;圖15(b)中的算例具有相同的臺基高度βt=3.0×10?3和臺基寬度?ψ=0.088,以及不同的邊界安全因子剖面,即圖8(a)中的q3—q5剖面;與圖11 比較,ELM 尺寸的演化與主導模幅值的演化相一致,主導模的峰值大約出現在臺基初始坍塌階段的中期,同時,主導模在線性增長階段增長的越快,峰值越高,ELM 爆發的越快,尺寸也越大,因此可以通過主導模式的增長率判斷ELM爆發的快慢和尺寸的大小.

圖15 不同臺基結構和安全因子剖面的等離子體歸一化的主導模隨時間的演化Fig.15.Time evolution of normalized dominant toroidal modes with different pedestal structures and safety factor profiles.

根據圖11 中ELM 尺寸以及圖12 中擾動的隨時間演化情況,選取了具有不同臺基結構和安全因子剖面的算例,圖16 所示為t=195τA時的歸一化擾動壓強的二維分布,其中圖16(a)和(b)的臺基高度βt由2.0×10?3升高到 3.0×10?3,圖16(b)—(d)的臺基寬度?ψ由0.066 增大到0.088,圖16(d)—(f)的邊界安全因子剖面由圖8(a)中的q3升高到q5.可以看到臺基高度越高,臺基寬度越窄,邊界安全因子剖面越高,擾動壓強越有向平衡位置兩側微弱擴張的趨勢,對應的臺基不穩定性增強,在圖11中的體現為ELM的尺寸也增大,這些說明圖16與圖13 得到了相似的結論.圖17 所示為磁面平均的總壓強(平衡壓強與擾動壓強之和)同樣在t=195τA時的分布剖面,3 個算例具有相同的初始壓強剖面,根據圖11,它們均處于湍流階段,可以看到,當邊界安全因子剖面越高時,不穩定性越強,臺基坍塌的范圍越大,代表著擾動壓強向兩側擴張的范圍也越大.

圖16 當臺基結構和安全因子剖面不同時,t=195τA 時刻歸一化擾動壓強在徑向 ψ和環向 ζ 平面上的分布Fig.16.Pressure perturbation in the frame of normalized poloidal flux ψ and toroidal angle ζ with different pedestal structures and safety factor profiles at t=195τA.

圖17 固定臺基高度 βt=3.0×10?3和臺基寬度?ψ=0.088,當安全因子剖面不同時,非線性模擬中 t=195τA 時刻磁面平均的總壓強分布Fig.17.Fixed βt=3.0×10?3,?ψ=0.088,when safety factor profiles are different,the surface-averaged pressure profiles distribution at t=195τA in the nonlinear simulations.