一類考慮電子煙的時滯戒煙模型

張子振，張偉詩

(安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

煙草煙霧中至少含有69種致癌物，長期暴露在煙草煙霧中，會引起體內關鍵基因發生永久性突變并逐漸積累，最后可能發展成為惡性腫瘤.二手煙中同樣含有大量有害物質與致癌物，不吸煙者吸入二手煙，也會增加吸煙相關疾病的發病風險[1].吸煙有害健康，盡快戒煙是對自己負責，同時也是對社會負責.

為了提高戒煙的效率，不同領域的學者都在各自的領域做出努力.因為吸煙行為在人群中具有一定的傳播性，生物數學領域的許多學者都指出其在傳播形式上可以看作成一種慢性傳染病，一個人吸煙可能會使周圍很多人染上吸煙.為此，國內外一些學者基于傳染病原理，通過構建微分方程模型，研究吸煙行為的動力學性質.C.C.Garsow等[2]首先提出了基本的PSQ戒煙模型；O.Sharomi和A.B.Gumel[3]在文獻[2]的基礎上又提出了考慮臨時戒煙群體的戒煙模型；R.Zaman[4]則提出了考慮偶爾吸煙群體的戒煙模型；G.Ullah等[5]在文獻[2-3]的基礎上，又提出了考慮復吸的戒煙模型；國內外一些學者又提出了隨機戒煙模型[6]和具有非線性發生率的戒煙模型[7]等.上述模型都對之后的戒煙模型的發展與完善起著積極的作用，但目前絕大多數戒煙模型還未考慮電子煙對吸煙行為的影響.

電子煙在初期的設計理念為“無煙香煙”.而隨著科技的發展，香煙中的尼古丁等成分被添加到電子煙產品中，在某種程度上甚至可以替代香煙，因此許多吸煙者將電子煙作為戒煙的“中轉站”，但電子煙同樣會對健康產生危害.為研究電子煙對吸煙行為傳播的影響，在文獻[2-5]的基礎上，并考慮到吸煙者和吸電子煙者都是需要經歷一定的時間周期才會對尼古丁的依賴逐漸減輕，即吸煙者和吸電子煙者戒煙是非瞬時的，提出了如下考慮電子煙的時滯戒煙模型：

(1)

其中：P(t)，S(t)，V(t)，Q(t)分別表示潛在吸煙者、吸煙者、吸電子煙者、戒煙者在時刻t的數量；Λ，β，α，δ，η，ε，μ為模型(1)的參數，具體含義見表1.本文主要研究τ對模型(1)穩定性的影響.

表1 模型(1)的參數及其含義

模型(1)的傳播流程圖如圖1所示.

圖1 模型(1)的傳播流程圖

1 基本再生數和吸煙平衡點

則可以得出矩陣F和矩陣V在無吸煙平衡點E0=(P0，0，0，0)處的雅可比矩陣分別為：

進而得到基本再生數為

2 局部漸近穩定性和Hopf分岔的存在性

模型(1)在吸煙平衡點E*=(P*，S*，V*，Q*)處的雅可比矩陣為

其中：m11=-(βS*+μ)，m12=-βP*，m14=ε，m21=βS*，m22=βP*-α-μ，n22=-δ，m32=α，m33=-μ，n33=-η，n42=δ，n43=η，m44=-(μ+ε).

相應的特征方程為

λ4+Γ3λ3+Γ2λ2+Γ1λΓ0+(Φ3λ3+Φ2λ2+Φ1λ+Φ0)e-λτ+(Θ2λ2+Θ1λ+Θ0)e-2λτ=0，

(2)

其中：

Γ3=-(m11+m22+m33+m44)，

Φ2=m22n33+m33n22+(m11+m44)(n22+n33)，

Φ3=-(n22+n33)，

Θ1=-n22n33(m11+m44)，

Θ2=n22n33.

當τ=0時，方程(2)變為

λ4+Δ3λ3+Δ2λ2+Δ1λ+Δ0=0，

其中：Δ0=Γ0+Φ0+Θ0，Δ1=Γ1+Φ1+Θ1，Δ2=Γ2+Φ2+Θ2，Δ3=Γ3+Φ3.

根據Hurwitz穩定性判據，方程(3)—(6)成立時，則當τ=0時，模型(1)是局部漸近穩定的.

L1=1>0，

(3)

(4)

(5)

(6)

當τ>0時，假設λ=i?(?>0)為方程(2)的解，代入方程(2)分離實部和虛部，可以得到：

(7)

根據方程(7)可以計算得到：

其中：

A10=Φ0(Θ0-Γ0)，A12=Φ0(Γ2-Θ2)+Φ1(Θ1-Γ1)+Φ2(Γ0-Θ0)，

A14=-Φ0+Φ1Γ3+Φ2(Θ2-Γ2)+Φ3(Γ1-Θ1)，A16=Φ2-Φ3Γ3，

A21=Φ0(Γ1+Θ1)-Φ1(Γ0+Θ0)，

A23=-Φ0Γ3+Φ1(Γ2+Θ2)-Φ2(Γ1+Θ1)+Φ3(Γ0+Θ0)，

A25=-Φ1+Φ2Γ3-Φ3(Γ2+Θ2)，A27=Φ3，

因此可以得到

?16+Η14?14+Η12?12+Η10?10+Η8?8+Η6?6+Η4?4+Η2?2+Η0=0.

(8)

其中：

令?2=ζ，方程(8)變為

ζ8+Η14ζ7+Η12ζ6+Η10ζ5+Η8ζ4+Η6ζ3+Η4ζ2+Η2ζ+Η0=0.

(9)

X1(λ)=λ4+Γ3λ3+Γ2λ2+Γ1λ+Γ0，

X2(λ)=Φ3λ3+Φ2λ2+Φ1λ+Φ0，

X3(λ)=Θ2λ2+Θ1λ+Θ0.

則方程(2)變為

X1(λ)+X2(λ)e-λτ+X3(λ)e-2λτ=0.

(10)

在方程(2)的兩邊同時乘上eλτ，并同時求λ關于τ的導數，可以得到

因此

其中：

定理1對于模型(1)，當τ∈[0，τ0)時，模型(1)局部漸近穩定；當τ>τ0時，模型(1)失去穩定性，在τ=τ0附近產生Hopf分岔，并在有正平衡點E*=(P*，S*，V*，Q*)處產生分岔周期解.

3 基本再生數影響分析

基本再生數R0作為流行病動力系統中的一個重要閾值，其數值大小對于是否能有效控制疾病傳播異常關鍵.在第2節中，通過計算得到：當R0>1時，模型(1)存在吸煙平衡點，此時吸煙行為的傳播將會失控；當R0<1時，吸煙行為的傳播將得到有效控制.所以，控制基本再生數R0小于1，是模型(1)中如何控制吸煙行為的擴散需要重點考慮的問題.下面將對模型(1)中的參數對基本再生數的影響進行研究，從而得出能夠控制R0小于1的控煙參考策略.

假設模型(1)中的各參數取值范圍為：Λ=1，0<β，α，δ，η，ε，μ≤1.由R0的表達式

可以得到：

從上式可以得到，假設只考慮某一參數變化的影響，其他參數為常數并保持不變時，Λ、β的數值變化與R0呈正相關，α、δ、μ的數值變化與R0呈負相關，η、ε的數值變化與R0變化無關.即如果能控制Λ、β的數值減小或者α、δ、μ的數值增大，R0將會被控制在一定的范圍之內，這時有利于控制吸煙行為的擴散.

4 仿真示例

根據文獻[5，10-12]中參數取值，并考慮到模型(1)產生Hopf分岔的充分條件，選取以下參數值：Λ=1，β=0.14，α=0.485，δ=0.285，η=0.6，ε=0.54，μ=0.01.則可以得到模型(1)的如下示例模型：

(11)

因此，可以得到R0=17.948 7>0，用Matlab軟件可以計算得到示例模型(11)存在唯一吸煙平衡點E*=(5.571 4，29.688 7，23.604 9，41.135 0).進而計算得到?0=0.670 4，τ0=3.050 4.當選取τ=2.769 3∈(0，τ0)時，示例模型(11)是局部漸近穩定的，此時示例模型(11)的狀態軌跡與相圖分別如圖2和圖3所示.當選取τ=3.075 4>τ0時，示例模型(11)將失去穩定性，并在E*=(5.571 4，29.688 7，23.604 9，41.135 0)附近產生Hopf分岔，此時的狀態軌跡和相圖如圖4和圖5所示.

圖2 當τ=2.769 3時，示例模型(11)的狀態軌跡

圖3 當τ=2.769 3時，示例模型(11)的相圖

圖4 當τ=3.075 4時，示例模型(11)的狀態軌跡

圖5 當τ=3.075 4時，示例模型(11)的相圖

5 結語

電子煙“無毒”“無害”的觀念是錯誤的，并且電子煙不是安全的.研究發現，電子煙在使用初期可能會對戒煙有利，但沒有可靠證據表明利用電子煙來戒斷香煙是一種安全有效的戒煙手段.在控煙政策執行過程中，應及時糾正大眾對電子煙的錯誤看法，并將電子煙的防控與傳統香煙防控并行.

本文結合當下社會熱點與實際情況，進一步提出了考慮電子煙的戒煙模型，并引入吸煙者和吸電子煙者戒煙需要經歷的時間周期時滯，研究了一類考慮電子煙的時滯戒煙模型.首先計算出模型的基本再生數和吸煙平衡點，進而以吸煙者和吸電子煙者戒煙需要經歷的時間周期時滯為分岔參數，推導出模型局部漸近穩定和產生Hopf分岔的充分條件，并計算出模型產生Hopf分岔時滯臨界點，之后對模型的基本再生數進行定量分析，給出控煙參考策略.研究表明，當時滯取值足夠小時，模型處于理想的穩定狀態.此時，將有利于控制吸煙的流行傳播；而當時滯的取值一旦越過臨界點τ0，模型將失去穩定產生Hopf分岔，此時則不利于吸煙的流行傳播控制.同時，通過對基本再生數R0進行分析發現，控制潛在吸煙者的常數輸入率、潛在吸煙者與吸煙者的有效接觸率，提高吸煙者改吸電子煙的概率以及吸煙者本身的戒煙率，能有效控制基本再生數R0從而控制吸煙行為的傳播.