雙向激勵下非線性壓電俘能系統的穩態響應分析

夏光輝, 康小方, 李 聰, 陳雷雨, 許慶虎, 滿大偉

(1.安徽建筑大學 土木工程學院,合肥 230601；2.安徽建筑大學 安徽省BIM工程中心,合肥 230601；3.安徽建筑大學 安徽省裝配式建筑研究院,合肥 230601)

隨著物聯網技術等為代表的高科技飛速發展，使得微機電系統和無線傳感系統、射頻識別、無線通訊、嵌入式系統等為代表的高新技術突飛猛進。越來越多的微型執行器、傳感器不斷涌現。為了給微電子器件提供自供電系統，采用壓電振動能量俘獲系統將環境中的動能轉換成電能為微電子器件提供能源是一種切實可行的途徑。近20年來，壓電俘能技術被廣泛研究和應用[1-2]。包括用于生物體運動的俘能技術[3]、建筑健康監測的分布式傳感器節點[4]、用于醫療的嵌入式或植入式傳感器節點[5]、汽車輪胎壓力監測系統[6]、無人飛行器以及物聯網智能家居系統[7-8]等。

在早期的數學建模中，大多數研究者都集中在使用振動俘能系統的線性模型[9-11]，同時研究者們也多使用了集總參數模型(單自由度模型)[12]。雖然集總參數模型通過簡單的方法給出了對問題的初步理解，但是它只局限于單一振動模式，缺少物理耦合系統的振型信息，準確的應變分布以及它們對電學響應的影響等。為了從外界環境中俘獲更多的振動能量，需要使壓電俘能器件的工作頻率接近環境振動頻率，也就是讓俘能器在接近共振的狀態下工作。而在接近共振的狀態下，俘能器件振動的幅度往往是比較大的。在這種振幅較大的情況下，俘能系統及其環境中的非線性因素將會對俘能器件的性能有明顯影響，所以必須加以考慮。預測壓電俘能器件在非線性共振現象發生時的工作狀態，對于其設計非常重要，其非線性分析是非常有必要的[13]。Stanton等[14-15]對一懸臂梁雙晶片壓電俘能器進行模型數值理論計算以及實驗分析，在幾何線性和無端部質量塊的情況下考慮了非線性壓電材料的本構方程[16-17]。由于在相當低的基礎加速度值的情況下非線性效應變得明顯，研究結果得出，在共振點附近運行的壓電俘能器的性能評估時有必要考慮材料非線性，包含適當非線性項的物理模型可以用來充分捕捉實驗觀察到的行為。Erturk等[18]對一個壓電磁彈性結構的極限環振蕩進行了非線性分析和實驗，在一個相對寬的頻率范圍內，此結構產生了一個數量級較大的功率輸出。Abdelkefi等[19]研究了考慮幾何非線性和阻尼非線性的參數激勵下的壓電式俘能器模型。根據激勵頻率，得出對于二次非線性阻尼較小值的情況下，存在一個與亞臨界分叉有關的跳躍。Daqaq等[20]對振動俘能的非線性研究進行了較為系統和全面的總結。Leadenham等[21]對雙晶片懸臂梁壓電俘能、傳感和驅動進行了詳細的理論分析和實驗驗證。由于上述的研究基本上都只是涉及單向激勵狀態，但是自然界中的振動源往往存在很多雙向以及多向振動，所以對于混合振動的研究在近幾年來引起了學者們的較高關注。Fang等[22]研究了懸臂式壓電俘能系統在參數激勵和外部直接激勵下的俘能性能，采用單模Galerkin方法和諧波平衡法求出頻率響應曲線的解析表達式，得出一些有意義的結論，但在他們的研究中未曾考慮非線性阻尼對壓電俘能系統俘能性能的影響。Xia等[23-26]研究了參數激勵和直接激勵下懸臂梁壓電俘能系統的非線性問題，得出大多數參數激勵系統具有初始閾值，低于初始閾值，參數激勵收斂到零穩態響應，沒有能量可以俘獲。對于參數激勵系統，阻尼系數和負載電阻對參數激勵下壓電俘能系統的初始閾值影響較大。

基于基礎激勵的多向性和實際環境中的低頻率環境，研究了參數激勵和直接激勵下附加端部質量塊懸臂梁壓電俘能系統的非線性問題。通過Hamilton原理對一個附加端部質量塊懸臂梁雙晶片壓電俘能系統模型的非線性偏微分方程進行理論推導和計算分析。此壓電俘能系統模型在固定基礎端受到水平和垂直的雙向激勵，假設此懸臂梁為軸向不可伸長的Euler-Bernoulli梁，此模型主要包含幾何非線性和阻尼非線性。利用Galerkin法將非線性偏微分方程降階得到參數激勵和直接激勵作用下附加端部質量塊懸臂式壓電俘能系統的機電耦合運動微分方程。為了研究壓電俘能系統在其主要的一階共振情況下的響應，采用多尺度法獲得了俘能系統的垂直位移、輸出電壓和輸出功率的解析表達式。得到其主要一階垂直位移幅值，輸出電壓幅值和輸出功率幅值。分析了不同激勵情況下，激勵相位等對壓電俘能系統俘能性能的影響。

1 俘能系統模型

1.1 幾何模型

圖1表示雙向激勵下壓電俘能系統的模型圖。梁由基層和上下兩層壓電層組合而成，假設壓電層與基層緊密結合，基層與壓電層之間的電極厚度可以忽略不計。梁的長度為L，寬度為b，厚度為hb=2tp+ts，ts為基層的厚度，tp為單層壓電層的厚度。采用雙晶串聯方式與外載電阻RL相連接。M為端部的質量塊質量，lM為質量塊的水平長度，hM為質量塊的縱向高度。

圖1中oxy為慣性坐標系，o′x′y′為局部坐標系，懸臂梁固定端的水平位移為wx(t)，垂直位移為wy(t)。s為沿著梁中性面處的坐標，其在x′方向為u(s,t)，在y′方向為v(s,t)。

1.2 數學模型

根據文獻[26]中的式(16)～(17)得到雙向激勵下壓電俘能系統機電耦合的無量綱運動方程如下

(1)

(2)

(a) 立面圖

2 近似解析解

為了獲得式(1)和(2)的解析解，首先利用Galerkin法將式(1)和(2)轉化為一組非線性常微分方程，然后采用多尺度法獲得機電耦合方程的解析解，研究壓電俘能系統非線性特性并分析穩態響應的穩定性。

在參數激勵和直接激勵下附加端部質量塊的懸臂式壓電俘能器的非線性機電耦合降階方程如下

(3)

(4)

其中：

(5)

(6)

我們采用多尺度法求解式(3)和(4)的解析解，假設取第一階主振型，n=1，基底受到諧和激勵為

(7)

(8)

(9)

其中：

μ=μ0,ηn=η0,χn=χ0

(10)

(11)

消除永年項，即令exp(iΩ0T0)的系數為零，得：

(12)

我們將復數A寫成極坐標的形式

(13)

式中,a，θ都為時間T1的函數。

將式(13)代入式(12)，進行實部和虛部的分離得到：

c8asin(2φ)

c8acos(2φ)

(14)

式中,φ=σT1-θ。

c1a+cQa2+c2a3+c3a5+c4sin(φ+ψ)+c8asin(2φ)=0

(15)

式中,

(16)

式(14)的φ為相位變化，從-π≤φ≤π。由式(15)第一式求出a的值，然后將a以及相應的φ值代入式(15)第二式求出σ。將求出的a，σ及相應的φ值代入式(10)和(11)，即可獲得無量綱位移響應和輸出電壓響應的解析表達式

(17)

(18)

式中,θ1=arctan(μ0/Ω0)。

穩態響應的輸出功率響應的解析表達式為

(19)

對于穩態響應的非平凡解，為了確定非平凡解是否穩定，通過在定常點(a0，φ0)上引入一個時變的無窮小擾動(δa(t)，δφ(t))，即：a=a0+δa(t),φ=φ0+δφ(t)可以求出定常點的穩定性。我們考察式(14)，它的Jacobi矩陣為

(20)

其中，

k12=-c4cosφ0-2c8a0cos(2φ0)

k22=c4sinφ0/a0+2c8sin(2φ0)

(21)

Jacobi矩陣的特征方程如下

(22)

Δ1=-(k11+k22)>0

Δ2=-(k11+k22)(k11k22-k12k21)>0

(23)

3 結果分析

利用前面導出的解析解，本章主要研究雙向激勵下非線性壓電俘能系統的穩態響應中相位的影響。文中所有圖形實線部分表示穩定解，虛線部分表示不穩定解。ρM為質量塊的密度，bM為質量塊的水平寬度。梁的幾何和材料參數為：

L=50 mm,b=20 mm,ts=0.2 mm,tp=0.2 mm,

m=96 g/m,Ys=20×109N/m2,Yp=60.9×109N/m2,

ρM=7 165 kg/m3,lM=5 mm,bM=20 mm,

3.1 單獨參數激勵和單獨直接激勵作用下相位的影響

當單獨參數激勵的時候，直接激勵為零，即δy=0，此時c4=0，包含相位項的系數為零，相位變化對壓電俘能系統無影響。

單獨直接激勵的時候，δx=0，從而c8=0。相位ψ變化對單獨直接激勵的穩態響應的位移幅值、輸出電壓幅值和輸出功率幅值幅頻響應曲線都沒有影響。

3.2 參數激勵和直接激勵同時作用下相位的影響

為了研究相位變化對壓電俘能系統的影響，分別研究了ψ變化的九種取值。

(a)

(a)

(a)

3.3 參數激勵和直接激勵同時作用下激勵幅值的影響

(a)

4 結 論

對雙向激勵下考慮幾何非線性和阻尼非線性的附加端部質量塊懸臂梁壓電俘能器數學模型進行理論推導，得出輸出功率的解析解表達式。研究了激勵相位和參數激勵幅值變化對壓電俘能系統性能的影響。具體結論如下：

(1) 單獨參數激勵或單獨直接激勵下，激勵相位的變化對此壓電俘能系統的穩態響應位移幅值、輸出電壓幅值和輸出功率幅值都沒有明顯影響。

(2) 在同時參數激勵和直接激勵下，激勵相位的變化對壓電俘能系統的幅頻響應有較大影響，雙向激勵下壓電俘能系統的相位變化響應周期是π。合適的相位取值，可以使壓電俘能系統的工作頻帶拓寬，提高壓電俘能系統的俘能性能。

(3) 固定直接激勵不變，選取合適的激勵相位，參數激勵幅值的增加，會顯著加強非線性軟化現象，并且使壓電俘能系統的穩態響應進入到一個雙峰狀態，從而使壓電俘能系統的俘能效率得到提高。