簡單隨機游動格林函數的估計①

梁 靜

(淮南師范學院金融與數學學院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

O.Schramm在[1]里引入SLE(隨機Loewner發展)，三角形網格中的點滲流[2]，環刪除隨機游動SLE[3][4]，一致生成樹[3]，以及調和測度[5]，均已運用SLE描述其極限情形。眾所周知，簡單隨機游動的尺度極限是布朗運動，且在二維平面內是共形不變的。我們需要的是誤差不依賴于邊界的光滑性，可以將結果推廣到更加廣泛的領域內。[6]中給出了誤差的范圍，本文在其基礎上通過表示出作為領域內徑的冪更精確的誤差，給出了簡單隨機游動的格林函數的優化估計。

1 預備知識

在這一節中給出本文涉及的一些定義、記號以及一些基本事實，更詳細的請參見[7][8][9[10]等。

D是一個邊界包含曲線的領域，gD(x,y)表示布朗運動的格林函數。如果x∈D，則稱gD(x,·)為D{x}上唯一的在?D上極限為0的調和函數。gD(x,y)=-log|x-y|+O(1)

一個D∈D*(D*為包含原點的若當領域)上布朗運動的等價格林函數可表示為gD(x,y)=E*[log|BTD-y|]-log|x-y|，對于不同的點x,y∈D，其中TD=inf{t:Bt?D}。特別地，如果0∈D,gD(x)=Ex[log|BTD|-log|x|]x∈D

假設Sn為Ζ2上的簡單隨機游動，A為Ζ2上的一個子集，

τA=min{j≥0:Sj?A}，

則

表示A上的隨機游動的格林函數。

GA(x)=E*[a(SτA)]-a(x)x∈A

引理1(強逼近)存在常數c<∞，在概率空間(Ω,F,P)上分別定義一個二維布朗運動B和二維簡單隨機游動S且B0=S0，使得

引理2(Beurling反射定理)存在常數c<∞，使得如果γ:[a,b]→C是條滿足|γ(a)|=r,|γ(b)|=R,0

2 簡單隨機游動格林函數的估計

(3.1)

其中gA(x)=gA(0,x)=-log|fA(x)|為A中布朗運動的格林函數，且

為了證明此定理，需要以下結果

(3.2)

由文獻[9]及命題1可得命題2

(3.3)

引理3 存在常數a，使得對每個n，在同一個概率空間(Ω,F,P)上可以定義一個布朗運動B和簡單隨機游動S，使得如果A∈An，1

τA′=inf{t≥0:dSt(x)≤2clogn}

考慮以下事件

引理4 存在常數c，使得如果A∈An，|x|≤n2，那么

證明：對于任意n，如引理3中定義B，S。令

注意到

對于log|SτA|同理可得

如果x=0，有關系式

GA(x)=1+GA(e)=a(1)+GA(e) |e|=1

代入即可得定理1。