基于接觸有限元的斜齒輪副嚙合動態響應及頻譜特性分析

陳彥齊，黃修長,2，華宏星,2

（1.上海交通大學 振動沖擊噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

齒輪傳動裝置是機械傳動系統中的關鍵設備之一，被廣泛運用于航空、船舶等領域。隨著實際運用要求的提高，對齒輪的振動噪聲水平以及傳動系統的動態特性提出了更高的要求。齒輪嚙合過程中由于嚙合沖擊、轉速波動、時變嚙合剛度、輸入波動、基礎振動等因素具有強烈的非線性特征。發展準確的齒輪系統的建模及計算方法，研究齒輪系統的動態特性及影響規律，對明確齒輪系統的振動機理及齒輪系統減振降噪具有重要意義。

針對齒輪系統的較為常用的建模方法是集中參數法。Tuplin[1]提出了采用質量-彈簧模型模擬齒輪模型，以嚙合剛度等效齒輪間的嚙合作用，成為集中參數法建模的理論基礎。王峰[2]基于集中質量法建立了人字齒輪的12自由度模型，模型中考慮了時變剛度、嚙合沖擊以及齒面摩擦等因素，研究結果表明，嚙合剛度激勵占振動的主要成分。集中參數法將軸與軸承的剛度直接等效為彈簧，未能考慮包含軸、軸承在內的轉子系統的動力學特性。常樂浩[3]采用子結構法推導了平行軸齒輪傳動系統通用建模方法，較之于前人工作添加了箱體單元，采用Newmark積分法與傅里葉級數法分別求解，驗證了該建模方法的有效性以及相較于集中質量法建模的優越性。Ouyang等[4]建立了考慮時變剛度與接觸非線性特性的齒輪-滾子-軸承系統動力學模型，結果表明齒輪傳動系統產生的動態激勵是高速條件下的主要振動源。

隨著有限元商業軟件的發展，逐步采用有限元軟件如ABAQUS、ANSYS 等建立了完整的齒輪傳動系統有限元模型，具有更高的準確度，在建模過程中不需人為考慮非線性因素，求解更為簡便，并且能得到齒輪副在嚙合過程中的動態接觸力等實驗難以測得的量。Chen等[5]通過有限元方法研究了行星齒輪外圈厚度對嚙合剛度的影響，并與集中參數法結合求解得到齒輪系統的動態響應，發現會出現調制現象，但未對調制現象做出詳細解釋。Stoyanov等[6]通過ABAQUS建立了行星齒輪的有限元模型，并計算得到各齒輪中心的響應，表明接觸有限元方法對了解系統動態特性的有效性。吳勇軍等[7－8]基于ANSYS軟件建立了齒輪-軸-軸承耦合系統的動力學模型，求解得到了系統的動力學特性，結果表明轉子系統響應中不僅包含嚙合頻率及其倍頻，還包含齒輪系統平均等效頻率、彎曲振動固有頻率等成分。張濤等[9]在齒輪副的基礎上，引入軸與軸承，采用ABAQUS軟件對人字齒輪進行動力學仿真，研究了系統阻尼、輸入轉速等因素對齒輪沖擊嚙合特性的影響。Ericson等[10]通過接觸有限元對行星齒輪彈性體進行仿真，仿真結果與實驗結果較為吻合，結果表明采用有限元方法能夠獲得集中參數法沒有的模態，且彈性體振動與嚙合力激勵高度耦合。曹茂鵬等[11]采用有限元方法對直齒面齒輪動態嚙合力進行仿真，得到了動態嚙合力的時域變化結果，研究了轉速等因素對嚙合力的影響。上述研究大都集中于驗證有限元軟件方法的計算正確性，在時域方面開展齒輪系統的動態響應規律分析，在頻域方面未對齒輪系統的頻域特征做出詳細分析，通常頻率分辨率較低、頻譜特征不夠豐富、頻譜圖中僅有嚙合頻率及其倍頻的峰值、邊頻帶等特征被忽略的研究，不能詳細分析齒輪系統的振動機理。

基于ABAQUS商業有限元軟件，采用三維接觸有限元，建立了考慮軸及軸承剛度的一對斜齒輪副-軸-軸承系統動態嚙合有限元模型，發展對齒輪系統的一般性有限元分析方法。從多種工況下分析齒輪系統的動態響應，驗證該方法的有效性，并且相較于現有研究結果，得到較高頻率分辨率、較為豐富的頻域特征。

1 有限元模型建立

對斜齒輪副采用Solidworks軟件進行三維模型建模，斜齒輪副參數如表1 所示。然后進行有限元網格劃分，為得到高質量純六面體網格，將斜齒輪三維模型導入Hypermesh 進行網格劃分。

表1 齒輪副參數

將上述網格模型導入到ABAQUS，進行有限元仿真設置和計算。軸-軸承參數及運行仿真參數如表2所示。采用647 992個C3D8單元對齒輪進行建模、采28個B31梁單元對軸進行模擬、采用4個賦予剛度屬性的Wire 單元對軸承進行模擬。采用Dynamic/Implicit求解器進行求解，設置分析時間總長為1 s，時間增量步長設為自動調整，最小增量步長設置為1×10-8。將主動輪與從動輪設為接觸對，采用面-面接觸類型，齒輪接觸選用有限滑動接觸，并設置其接觸屬性的法向行為為硬接觸，在此不考慮齒面間的摩擦作用，因此切向設置為無摩擦。

表2 軸-軸承參數及運行仿真參數

在齒輪內孔面與軸的中點建立運動耦合約束，以對主動輪及從動輪的邊界條件及載荷進行控制；在從動輪中心添加扭矩，在主動輪中心添加轉速，以模擬齒輪系統運轉工況。為保證計算模型分析收斂，共設置2 個分析步，第一個分析步固定從動輪，主動輪轉動0.05 rad，保證兩個齒輪充分接觸；第二個分析步釋放從動輪的自由度，如前所述添加主動輪角速度與從動輪扭矩。

根據釋放從動輪自由度的個數，共劃分3 種工況：

(1)從動輪軸與從動輪內孔面耦合的節點只釋放繞軸旋轉自由度；

(2)對從動輪軸與從動輪內孔面耦合的節點不作約束，此時靠軸端的彈簧單元約束系統的自由度；

(3)對從動輪軸與從動輪內孔面耦合的節點不作約束，并且在此節點上添加大小為1 000 N的軸向靜推力。其中第一種工況齒輪旋轉中心只有旋轉自由度，是較為理想的工況，模擬軸、箱體、基座的剛度都較大的情況；第二種工況是一般性工況，考慮軸、軸承的剛度；第三種工況是研究軸向靜推力負載下齒輪系統動力學特性。系統有限元模型如圖1所示。

圖1 斜齒輪副-軸-軸承系統有限元模型

2 動態響應結果及分析

計算完成后，導出大齒輪中心的角速度、角加速度和齒輪副的動態接觸力。齒輪副在嚙合點處的加速度可作為評估齒輪系統的動態性能指標之一[10]，其定義為：

式中：rp、分別為主動輪的基圓半徑與角加速度；rg、分別為從動輪的基圓半徑與角加速度。仿真中，主動輪的角加速度為0，因此根據從動輪加速度即可評估系統的動態性能。

主動輪轉頻為20.0 Hz，從動輪轉頻為7.7 Hz，系統的嚙合頻率為340 Hz，理論角速度為48.550 5 rad/s，理想平穩狀態下齒輪的法向接觸力可用式(2)進行計算：

式中：Tm為負載扭矩，mn為法向模數；zg為從動輪齒數；αt為端面壓力角。將仿真模型參數代入公式進行計算，得到理論法向接觸力為2 419 N。

2.1 從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況

從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況下從動輪的角速度、角加速度及齒輪副動態接觸力時域結果如圖2所示。由圖2可知，由于時變嚙合剛度等非線性因素存在，時域結果存在明顯周期性波動與峰值，角速度的均值與均方根值都為48.550 8 rad/s。峰值的間隔周期約為0.05 s，與主動輪的轉動周期較為接近，伴隨明顯的沖擊現象。角加速度的均方根值為70.692 0 rad/s2，動態接觸力的均方根值為2 453.6 N。相較平穩狀態理論值增加1.4%，表明在從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況下，齒輪系統的非線性因素對于齒輪動態接觸力的影響不大。

圖2 從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況下從動輪時域結果

對信號進行去均值處理之后采用傅里葉變換將時域結果變換至頻域，頻率分辨率為1 Hz，得到角速度、角加速度、動態接觸力的脈動量頻譜結果如圖3所示?？梢?，主要成分為主動輪轉頻20 Hz 及其倍頻；頻譜的突出峰值為340 Hz、680 Hz、640 Hz、720 Hz 等頻率，其中340 Hz 是該齒輪系統的嚙合頻率，680 Hz 為嚙合頻率二倍頻，其余頻率皆為主動輪轉動頻率的多倍頻。在從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況下，響應頻率主要由主動輪轉頻及其多倍頻與嚙合頻率及其倍頻組成。

2.2 從動輪中心不作約束工況

從動輪中心不作約束工況下的角速度、角加速度、齒輪副法向接觸力時域結果如圖4所示。

將圖4 與圖2 比較，當齒輪中心浮動，引入軸的剛度與軸承的剛度，角速度、角加速度及動態接觸力沒有呈現明顯的沖擊現象，依舊保持明顯的周期特性伴隨著波動幅值增加。在此工況下，角速度的均方根值為48.556 3 rad/s，與理論角速度相差0.005 8 rad/s，但中心固定時的角速度均方根值僅為0.000 3 rad/s。角加速度的均方根值增至143.695 4 rad/s2，反映系統的振動加劇。動態接觸力均方根值增至2 677.5 N，動態接觸力相較于靜態接觸力或中心固定工況下的接觸力增加了約258 N，增加了10%。3個物理量均能反映在引入軸剛度與軸承剛度之后，齒輪系統的振動加劇。

圖3 從動輪中心只釋放旋轉自由度工況下從動輪頻域結果

圖4 從動輪中心不作約束工況下從動輪響應時域結果

將時域結果進行傅里葉變換，頻域結果如圖5所示。為與中心只有旋轉自由度的工況進行對比，將幅值范圍與圖3 統一，其中嚙合頻率附近的幅值較大，此部分的頻譜圖如框線中的頻譜所示。由圖5(a)可知，300 Hz 以內存在主動輪轉頻20 Hz 及其多倍頻。與圖3(a)相比，400 Hz 及以上的頻率成分減少，嚙合頻率及其附近的幅值顯著增大。圖3(a)中嚙合頻率處的幅值大小為0.005，圖5(a)中嚙合頻率處的幅值增至0.03。此現象也同樣存在于角加速度與動態接觸力的頻譜中，較高頻段處的幅值減小，嚙合頻率及其附近頻段的幅值顯著增大。

除此之外，對比圖3 與圖5 可知，考慮系統的軸剛度及軸承剛度時，在嚙合頻率處的幅值大幅增加同時，會出現以從動輪轉頻為調制頻率的邊頻帶。如圖5(a)中的332 Hz是由嚙合頻率340 Hz減去從動輪轉頻所得，其幅值為0.01；353 Hz是由嚙合頻率加上從動輪二倍轉頻，其幅值為0.008；此現象同樣也存在于角加速度與法向接觸力的頻譜中。

圖5 從動輪中心不作約束工況下從動輪響應頻域結果

丁康等[12]發現齒輪嚙合過程中，會出現以嚙合頻率及其倍頻為載波頻率、齒輪的轉動頻率為調制頻率的調制現象并對其進行定性分析?？蓮姆嫡{制與頻率調制兩方面進行分析。從幅值調制的角度認為齒輪系統的動態響應如式(3)所示：

其中：Am是第m階幅值，fz是嚙合頻率，[1+am(t)]是與齒輪轉動頻率有關的調制信號，可以被表示為am(t)=βmcos(2πmfnt)，其中fn為從動輪的轉頻。利用積化和差公式將式(3)的第m階展開可得：

式(4)表明，除了嚙合頻率成分外，還會出現頻率為fz+fn與fz-fn的成分。

楊小青[13]提出齒輪動態響應的調頻現象可從齒輪的轉速波動對嚙合頻率的影響進行分析，將齒輪副的嚙合剛度以嚙合頻率為基頻進行傅里葉展開：

其中：K0為平均嚙合剛度，fz為嚙合頻率，ki和αi為第i階分量的幅值與相位。較為普遍的集中參數模型建模方法中假設嚙合頻率是一個在穩定轉速下計算出來的恒定值，但是由于齒輪實際上為彈性體，齒輪在轉動過程中包含摩擦、沖擊等非線性因素，如圖2、圖4 所示，從動輪轉速會存在波動。將轉速的波動成分以傅里葉級數形式表示，波動轉速表示如下：

其中：n0為理論轉速，fn為從動輪轉頻，考慮轉速波動時嚙合頻率計算公式為：

將式(6)與式(7)代入式(5)，可得到考慮波動轉速的嚙合頻率表達式：

將式(8)的第i階分量的相位記為Φi(t)，則Φi(t)表達如式(9)所示，對其相位進行求導，如式(10)所示，即可得到頻率表達式：

由式(10)發現考慮轉速波動時，除理論的嚙合頻率以外，嚙合剛度會出現與轉頻相關的頻率成分。通過對調制現象進行定性分析，說明了仿真結果中出現調制現象的合理性，同時也證明采用有限元方法能夠得到更詳細的頻率特征。

2.3 從動輪中心不作約束且添加軸向靜推力工況

從動輪中心浮動且在從動輪中心添加軸向1 000 N 靜推力工況下的角速度、角加速度、齒輪副法向接觸力時域結果如圖6所示。添加軸向靜推力之后的時域響應相較于沒有添加軸向靜推力的結果沒有明顯差異，呈現周期性波動特征。其角速度均方根值為48.557 4 rad/s，與理論角速度相差0.006 9 rad/s；其角加速度均方根值為153.968 5 rad/s2，相較于不添加軸向靜推力的工況增加10.273 1 rad/s2；動態接觸力均方根值增至2 680.8 N，相較于不添加軸向靜推力工況增加約3 N，可以忽略不計。

圖6 從動輪中心不作約束且添加軸向靜推力工況下從動輪響應時域結果

3種工況下各指標的時域結果比較如表3所示，從表中可以看出，引入軸及軸承的剛度之后，系統的振動加劇，各指標的均方根值都有所增加，其中角加速度與動態接觸力的增加較為明顯；添加1 000 N軸向靜推力對系統的動態響應特性影響較小。

表3 3種工況下各指標均值、均方值比較

將時域結果通過傅里葉變換至頻域，如圖7 所示。從圖7 可知，添加軸向力的頻譜圖與未添加軸向力的頻譜圖較為接近。與未添加軸向力的頻譜相比較，3個指標的頻率特征沒有明顯變化，保持以嚙合頻率為主，嚙合頻率附近出現以從動輪轉頻及其倍頻為調制頻率的調制現象。

圖7 從動輪中心不作約束且添加軸向靜推力工況下從動輪響應頻域結果

時域結果以及頻域結果都能表明，在從動輪中心添加大小為1 000 N 的靜推力對于齒輪系統的動態響應影響很小。

3 結語

基于接觸有限元方法，建立了齒輪副-軸-軸承耦合系統，發展了更精確地分析齒輪系統動態響應及特性的方法，研究了從動輪中心僅釋放旋轉自由度、從動輪中心不作約束、從動輪中心不作約束且添加軸向靜推力3 種工況下的動態響應，得出了以下結論：

(1)從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況下的系統角速度、角加速度、動態接觸力的波動要小于其余兩種工況，反映了在考慮軸、軸承的剛度之后系統的振動加劇，且存在較為明顯的周期性沖擊現象；添加1 000 N 軸向靜推力與未添加軸向靜推力相比對系統的動態響應影響不大；

(2)從動輪中心僅釋放旋轉自由度工況下的頻譜特征以主動輪轉頻及其倍頻為主；對從動輪中心不作約束時，頻譜特征呈現以嚙合頻率載波頻率，以從動輪轉頻及其倍頻為調制頻率的調制現象，并從幅值調制和頻率調制兩方面定性分析了頻譜出現邊頻帶的原因。