一種新的地震危險性表達方法研究＊

張萌潘華

（中國北京 100081 中國地震局地球物理研究所）

引言

地震危險性分析是結構抗震設計、震害損失預測和抗震設防標準決策的重要依據，是工程抗震中最基礎的工作.地震危險性是指某一場點在未來一段時期內可能遭遇的地震作用的大小和頻次，它反映的是該場點面臨的客觀自然環境，即通常所說的地震環境，可用地震烈度或地震動參數來表示（胡聿賢，2006）.地震危險性分析方法一般分為兩種：確定性方法和概率性方法.由于地震發生的機制、傳播路徑和場地條件等環節都存在較強的不確定性，當前的科學水平還難以進行精確的預測，因此現在大多采用概率法進行地震危險性分析.

概率地震危險性分析綜合了場點附近所有可能發生地震的構造和發生不同震級地震的可能性，給出該場點的地震動超過某一閾值的可能性，結果一般用超越概率表示.若假定地震事件在時間和空間上相互獨立，即假定地震的發生是平穩泊松過程，則t年內地震動參數大于給定值a的超越概率為（Cornell，1968；McGuire，1976）

式中 λ （a）為地震動超越a的地震的年發生頻率，可表示為

式中，vs為潛在震源區中地震的年平均發生率，f（rr|m）為m級地震的空間概率密度函數，fm（m）為震級m的概率密度函數.式（1）的計算結果為t年內場點地震動參數超越a的概率，針對一系列的值計算得到相應的Pe（xa）的離散數據點，表達了場點的地震危險性.通常將這一系列離散點繪制成連續的曲線，稱為地震危險性曲線或超越概率曲線.通過地震危險性曲線可以得到所需要的不同超越概率下的地震動參數值，如地震動峰值加速度（peak ground acceleration，縮寫為PGA），用于場地未來特定時段遭遇地震動大小的評價，或用于工程抗震設計與抗震分析.

地震危險性曲線可以完整地描述一個場點的地震危險性，然而一個場點用一組數據來描述過于繁瑣，不便于實際的工程應用.當前國內外關于地震危險性曲線的應用，一般僅涉及地震危險性曲線上的個別點.例如， 《中國地震動參數區劃圖》（GB 18306——2015）（中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局，中國國家標準化管理委員會，2016）（以下簡稱“五代圖”）采用了50年超越概率10%的峰值加速度作為編圖指標； 《建筑抗震設計規范》（GB 50011——2010）（中華人民共和國住房和城鄉建設部，中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局，2010）采用50年63%，10%，2%三個超越概率水平的地震動參數；美國2018版國家地震危險性區劃圖采用50年超越概率10%，5%，2%地震動參數（Petersenet al，2014）；美國建筑抗震設計規范采用50年超越概率2%地震動參數作為設計地震動（FEMA，2009；ASCE，2010）；歐洲地震危險性區劃中給出的是50年超越概率10%對應的PGA （Giardiniet al，2014）.

隨著社會經濟的發展和對地震風險防范意識的強化，對地震危險性的需求也急劇增加.在編制地震區劃圖時，開始考慮增加超越概率水平尤其是低超越概率水平，以適應更廣泛的應用需求如地震保險等業務.隨著基于性態的抗震設計理念的出現和發展（Bommer，Pinho，2006），對地震危險性考慮的靈活性與多樣性導致對多概率水準的需求迅速增長；重大工程的抗震設計也對多概率水平的地震危險性表達提出需求，如核電站地震概率風險分析中往往要求提供年超越概率水平10?4甚至更低的地震動參數.現行地震區劃圖的單一超越概率水準的表達方式難以滿足當前對多概率水準地震危險性的需求，因此，迫切需要尋找一種精度較高、概率水平范圍較廣并且方便應用的方式來表達地震危險性.

鑒于此，本文建議使用一種基于新函數形式擬合地震危險性曲線的“特征系數法”，從而達到比較完整而精準地表達地震危險性的目的.首先回顧現在常用的幾種地震危險性曲線的擬合方式；隨后使用“五代圖”的地震活動性模型和地震動衰減關系對全國的地震危險性進行計算，根據得到的地震危險性曲線對新函數的擬合效果進行檢驗，并與極值函數的擬合效果進行對比；最后對該函數中表征危險性曲線形狀的關鍵參數即“特征系數”k的物理意義進行討論.

1 地震危險性曲線的擬合方式

由于離散的地震危險性數據過于繁瑣不便于應用，而單一超越概率水準的地震動又無法滿足各領域對地震危險性的需求，因此使用函數對地震危險性曲線進行擬合成為近年來一種比較流行的做法.主要的擬合方法有分段直線擬合和冪函數擬合（極值函數擬合）.下面分別對這兩種擬合方法進行簡單介紹.

1.1 分段直線擬合

根據地震區劃圖上給出的單概率水平地震動參數，相當于地震危險性曲線上的一個點，用簡單的比例系數由該基準點外推其它超越概率水平的地震動參數值，這也相當于對地震危險性曲線的一個簡單的定量化表述.例如，我國“五代圖”以50年超越概率10%的地震動作為基本地震動，其1/3為50年超越概率63%的多遇地震動，其1.6——2.3倍為50年超越概率2%的罕遇地震動，其2.7——3.2倍為年超越概率10?4的極罕遇地震動（高孟潭，2015），這相當于定量化給出了具有一定不確定性范圍的地震危險性曲線.在《建筑抗震設計規范》（GB 50011——2010）中，以地震區劃圖給定的50年超越概率10%的峰值加速度作為設計基本地震動，其0.35倍為50年超越概率63%的多遇地震動加速度，而罕遇地震加速度與設計基本地震加速度比例在不同基本烈度分區不一樣：在6度區（相應地震區劃圖0.05g分區）為2.5；7度區（0.10g分區）為 2.2；7度強區（0.15g分區）為2.1；8度區（0.20g分區）為 2.0；8度強區（0.30g分區）為1.7；9度區（0.40g分區）為1.55 （中華人民共和國住房和城鄉建設部，中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局，2010），這就相當于在不同地震動分區給出了不同的地震危險性曲線.

這一方法默認地震危險性曲線可以由多段線性的公式來表征，也即基準點與比例控制點之間的關系曲線是近似線性的，可由線性插值外推相應概率的地震動，即

式中，P1，P2和P3分別為多遇地震動、基本地震動和罕遇地震動對應的超越概率，a1，a2和a3分別為多遇地震動、基本地震動和罕遇地震動的峰值加速度，k1和k2為比例系數.

這種方法在控制點上具有統計學意義，可以滿足地震區劃圖或抗震設計規范這類重于面廣、量大、關鍵點控制的相關應用的要求.但是現有的研究表明，這種按不同加速度分區乘以不同比例系數外推得到的設計地震動并不符合實際的危險性情況（高孟潭，盧壽德，2006）.

1.2 冪函數擬合

Cornell （1968）最早從地震危險性分析的理想化模型中推斷出年最大地震動峰值加速度服從極值Ⅱ型分布，則地震動的超越概率可以表示為

式中，k0和k為根據地震危險性曲線擬合得到的參數，其中k被稱為特征系數或形狀參數，它反映了地震危險性曲線的形狀.

當超越概率較低時，Kennedy 和 Short （1994）給出了式（4）的近似表達式，即

該式認為地震危險性曲線服從冪函數形式.由于該擬合方法形式較為簡單，因此得到了比較廣泛的應用.Eurocode8 （European Committee for Standardization，2004）中推薦的地震危險性表達方法就是建立在冪函數基礎上（Grantet al，2007；Crowleyet al，2009），即

式中a475為重現期475年的地震動，0.002 1＝1/475即為重現期475年地震動對應的年超越概率.由式（6）可知，對于任意一個場點，若已知基本加速度a475和特征系數k，即可求出任意給定峰值加速度所對應的超越概率或重現期，也可以求出任意給定超越概率或重現期所對應的加速度.這種方法只通過兩個參數即可將一條地震危險性曲線表達出來，極大地方便了地震危險性曲線的應用.

使用極值函數或冪函數擬合危險性曲線不失為一種很簡便的方法，但是擬合的重現期范圍非常有限.Kennedy和Short （1994）認為地震危險性曲線僅在超越概率水平相差10倍的兩個點之間符合冪函數分布，例如年超越概率10?4——10?5區間內.基于極值Ⅱ型分布或冪函數擬合危險性曲線實質上都假設地震危險性曲線在雙對數坐標下近似直線.

圖1是使用式（6）對中國某城市PGA年超越概率曲線進行擬合的結果，其中計算值為實際地震危險性計算值.如果曲線符合極值Ⅱ型分布，那么在雙對數坐標下計算點應近似呈直線分布，但從圖中可以看出，實際的計算點并不符合直線關系.極值擬合精度較高的范圍大約在年超越概率 2×10?2——10?3，即重現期50——1 000年之間，而且在該有效范圍內危險性曲線也并不是嚴格的直線分布.這種在一定重現期范圍內進行擬合的方法可以滿足某種特定目標的抗震設計需求，但在較廣范圍內整個超越概率曲線并非近似意義上的直線分布，因此這種擬合方法是一種比較粗略的估計.

圖1 某城市 PGA 危險性曲線與極值函數的擬合Fig.1 Results of the PGA hazard curve fitting the extreme value function for a city

2 特征系數表達方法

由圖1可知，隨著超越概率水平的逐漸降低，曲線逐漸出現了收斂的趨勢，即斜率越來越大.這主要是由于斷層的發震能力有限，體現在參與危險性計算的潛在震源區都有一個震級上限.結合地震動衰減關系可知，在距斷層某一距離產生的地震動不可能無限大，所以得到的危險性曲線將在低超越概率段出現收斂的趨勢.因此，對危險性曲線的擬合須基于一種非線性函數，以便準確地反應實際的曲線形狀.{}

假設地震危險性曲線在雙對數坐標中滿足指數分布，即 lnPA≥a和 lna應滿足

式（8）即為本文給出的擬合地震危險性曲線的新函數形式，其中k0和k1根據地震危險性曲線擬合得到.由式（8）擬合的和 lna的結果見圖2.對比圖1和圖2可以看出，指數擬合在擬合效果上有了明顯的提升，擬合精度較高的范圍大約在年超越概率 4×10?2——2×10?5，即重現期 25 年到5萬年.

圖2 某城市 PGA 危險性曲線與新函數的擬合Fig.2 Results of the PGA hazard curve fitting the new function for a city

為了便于該函數形式在實際中的應用并與現行的“五代圖”更好地進行銜接，將式（8）轉化為

式中， P GA475為“五代圖”給出的50年超越概率10% （重現期475年）對應的峰值加速度，k反映了危險性曲線的形狀，在本文中被稱為“特征系數”.與基于極值Ⅱ型函數擬合［ 式 （6）］ 類 似，指數函數擬合［ 式 （9）］ 也 是由兩個參數即一個分位數PGA475和一個特征系數k來控制.與之不同的是，這種形式可以將 lnP和 lna在雙對數坐標下表現為指數形式而非直線形式，更符合實際的危險性曲線，從而提高危險性曲線擬合的精度.

3 實例分析

為了檢驗本文給出的新函數擬合危險性曲線的效果，計算了我國大陸地區0.2°×0.2°間隔的2萬4 043個網格場點的基巖處的PGA危險性曲線，在概率危險性計算時采用了為“五代圖”建立的潛在震源區方案（周本剛等，2013）、地震活動性模型（潘華等，2013）和地震動衰減關系（俞言祥等，2013）.使用式（9）對每個場點的地震危險性曲線進行擬合，其中特征系數k根據最小二乘法確定.圖3表明所有2萬4 043個計算場點的特征系數k的范圍為0.18——0.55，主要集中在0.3——0.4之間，并且近似服從均值為0.34的正態分布.

圖3 全國 0.2°×0.2°間隔 2 萬 4 043 個場點特征系數k的頻數分布Fig.3 Distribution of the frequency of the characteristic coefficient k for the national 24 043 sites with interval of 0.2°×0.2°

為了更直觀地評價特征系數法的擬合效果，定義了相對殘差Res來反映在某一超越概率水平處的擬合效果，即

式中， P GAfit和 P GAcal分別為PGA的擬合值和計算值.相對殘差 R es越小說明在這個超越概率水平的擬合效果越好，反之則越差.

圖4給出了特征系數法擬合方法在5個超越概率水平（50年63%，50年10%，50年5%，50年2%和50年0.5%）下的相對殘差Res分布.從圖中可以看出，相對殘差 R es在10%以下的點分別占所有場點數量80%以上，在3個低超越概率水平段（50年5%，50年2%和50年0.5%）更是幾乎全部場點都在10%以下；而相對殘差Res在5%以下的點基本占所有場點一半以上，在3個低超越概率水平段（50年5%，50年2%和50年0.5%）相對誤差在5%以下的點都占所有場點數量90%以上.因此可以認為特征系數法擬合地震危險性曲線的效果良好，能比較完整地描繪地震危險性曲線.

圖4 特征系數法的擬合殘差 Res統計對比Fig.4 Statistical comparison of fitting residuals for shape parameter method at 24 043 sites

表1和圖5給出了我國四個城市（北京、上海、蘭州和成都）使用特征系數法擬合PGA危險性曲線的結果.從表1中可以看出，這四個城市在給定的超越概率水平處計算值與擬合值相差不大，擬合的相對殘差 R es幾乎都在5%以下；從圖5中可以看出擬合曲線與實際的計算值十分接近，擬合精度較高的范圍約在年超越概率5×10?2——10?4（重現期20年——1萬年）.這個擬合范圍不僅涵蓋了我國抗震設計規范中提出的三級設防水準，甚至可以滿足“五代圖”中提出的年超越概率10?4即萬年一遇的極罕遇地震動.

表1 4個城市特征系數法擬合的地震危險性曲線相對殘差Res結果Table 1 Fitting results of the relative residuals for seismic hazard curves by the characteristic coefficient method for four cities

圖5 四個城市基于特征系數法擬合得到的地震危險性曲線Fig.5 Seismic hazard curves based on the characteristic coefficient method for the four cities

除PGA之外，本文還用式（9）對其它反應譜周期點的譜加速度危險性曲線進行了擬合.圖6給出了某城市在4個反應譜周期點（0.01，0.2，1，4 s）譜加速度危險性曲線的擬合結果，可以看出在這幾個周期點擬合效果良好.

圖6 某城市基于特征系數法的譜加速度危險性曲線擬合結果Fig.6 Results of fitting for the spectral acceleration hazard curve of a city based on the characteristic coefficient method

4 特征系數k與地震環境關系分析

一般來說，地震危險性曲線的形狀在一定程度上反映了這個地區的地震環境或地震活動性的強弱.例如，通過對美國部分城市地震危險性結果的分析，認為在地震活動性較強的城市如洛杉磯，PGA2 475與PGA475的比值為1.7，明顯低于地震活動性較弱的中部城市孟菲斯的5.1 （James，2002）；在對中國第五代區劃圖進行的相關統計中（高孟潭，2015）對中國大陸地區經緯度間隔0.1°×0.1°的約10萬個場點進行統計分析發現，PGA2 475與PGA475的比值在不同加速度分區之間基本保持一致，大約在1.9左右，并無加速度分區差異.這些研究均認為地震危險性曲線的形狀僅與單一概率水準PGA有關，而我們認為地震環境是一個比較復雜的概念，很難用單一的PGA來表征.本文試圖以特征系數k值表征危險性曲線形狀來討論不同地震危險性曲線的形狀與地震環境的關系.

本文選擇使用分解法來展示不同場點面臨的地震環境（McGuire，1976），從而尋找它與特征系數k值的關系.通過將某一場點特定的超越概率水平的PGA按距離進行分解，可以得到不同距離段對該PGA的貢獻.下面選取超越概率曲線形狀（k值）差別較大而基本設防烈度PGA475較為接近的兩個城市，拉薩和常德，進行具體的分析.

拉薩和常德的特征系數k分別為0.45和0.27，其對應的PGA475分別為0.17g和0.18g，相差僅0.01g，而PGA2 475分別為0.29g和0.42g，相差將近0.13g.兩個場點的PGA475較為接近，但是PGA50和PGA2 475卻相差比較大.圖7給出了兩個場點的PGA危險性曲線，可明顯看出兩個場點的危險性曲線的形狀存在顯著差異，拉薩場點k值較大，所以超越概率曲線比常德下降地更快.

圖7 拉薩和常德兩場點 PGA 年超越概率曲線對比Fig.7 Comparison of the annual PGA exceedance probability curves for the two sites in Lhasa and Changde

圖8給出了拉薩和常德按不同距離貢獻分解PGA475和PGA2 475的結果.從圖中可以看出：① 對同一場點來說，不同超越概率水平下PGA按距離分解的曲線形狀差別不大，基本趨于一致.如對拉薩的PGA475和PGA2 475貢獻主要來自40 km以外中遠距離的潛源，在近場40 km以內只有很小部分貢獻；而常德PGA475和PGA2 475的貢獻則主要來自近場30 km以內的潛源，基本不受30 km之外的潛源影響.因此可以認為影響拉薩PGA曲線的因素主要為遠場潛源，而影響常德PGA曲線的因素則主要為近距離潛源.② 對不同場點來說，對危險性貢獻的主要距離與表征危險性曲線形狀的參數即特征系數k有關.對k值較高（0.45）的場點拉薩來說，對危險性曲線的貢獻主要來自遠距離，而對k值較低（0.27）的常德來說，對危險性曲線的貢獻主要來自近場的潛源.也就是說，k值較高的場點周圍近距離地震活動性較弱，而遠距離地震活動性較強；而k值較低的場點預示著場點近距離范圍內應該有較強地震活動性的潛源.

圖8 拉薩和常德兩場點PGA危險性曲線分解結果對比橫坐標表示計算時離散化微元到場點的距離，縱坐標代表不同距離微元貢獻的百分比即概率密度函數PDF（a） 50 年超越概率 10% 的 PGA；（b） 50 年超越概率 2% 的 PGAFig.8 Comparison of the results of the PGA hazard curve decomposition at the Lhasa and Changde sitesThe horizontal coordinate represents the distance from the discretized microelements to the field point at the time of calculation，and the vertical coordinate represents the percentage of contribution from microelements at different distances， that is，the probability density function PDF（a） PGA for 10% probability being exceeded in 50 years； （b）PGA for 2% probability being exceeded in 50 years

這一結論與圖9所示的拉薩和常德周邊的“五代圖”潛在震源區分布情況一致.在拉薩周邊近場30 km內無潛在震源區，最近的一個潛源（1406號）在50 km之外，因此拉薩場點的地震危險性主要來自遠場約50 km之外活動性較強的潛源；而反觀另一個場點常德，本身處在一個較強的M7.0震源區內，附近200 km范圍內再無活動性較強的潛在震源區，因此遠處的潛源幾乎沒有貢獻，該場點地震危險性主要來自近場較強的潛源.

圖9 拉薩和常德兩場點潛在震源區分布Fig.9 Distribution of potential source areas at the sites of Lhasa and Changde

為了進一步驗證上述結論，我們選取了中國大陸地區特征系數k值較高和較低的兩組共計32個場點并分別對PGA475和PGA2 475按不同距離潛源的貢獻進行了分解.為了更直觀地衡量對場點危險性起主要影響的距離，對每個場點分別計算出與PGA475和PGA2 475對應的貢獻的期望距離，結果分別列于表2和表3.

表2 低 k 值場點期望距離計算結果Table 2 Calculated expected distances for low k-value sites

表3 高 k 值場點期望距離計算結果Table 3 Calculated expected distances for high k-value sites

表2列出的16個場點k值基本都在0.3以下，屬于k值偏低的地區，PGA475對應的期望距離在20——30 km之間，最大的是漳州的27.71 km，PGA2 475對應的期望距離基本不超過20 km，可以認為對這些場點危險性起作用的潛源主要來自近距離；表3列出的16個場點的k值基本都在0.4以上，屬于k值偏高的地區，而PGA475對應的期望距離在40——60 km之間，PGA2 475期望距離在35——50 km之間，與低k值組對比，可以認為對這組場點危險性有貢獻的潛源主要來自中遠距離.

上述結果說明，具有較低k值的場點危險性主要來自場點附近的潛源，表明該場點很可能位于周邊相對較強的潛在震源區內；而對具有較高k值的場點的貢獻則不僅依賴于近場，在整個有影響的距離范圍內的潛源都有貢獻，這表明該場點應該是處于較強的潛在震源區之外一段距離或者在周邊相對較弱的潛源內部.

5 討論與結論

本文采用一種新的函數形式擬合地震危險性曲線，該函數只需PGA475和反映曲線形狀的特征系數k兩個參數即可表征.使用“五代圖”基礎資料計算了全國2萬4 043個場點的地震危險性曲線用以對該函數的擬合效果進行檢驗，結果表明該函數能夠在較廣的重現期范圍內精確地描述地震危險性曲線，是一種簡便且精準的表達地震危險性的方法.另外，通過將特定超越概率水平的地震動按不同距離進行分解，探討了特征系數k與地震環境之間的關系.結果表明，危險性曲線形狀或特征系數k與危險性的貢獻距離有關，k值較低的場點危險性貢獻基本來自近場，而k值較高的場點中遠距離的貢獻是不能忽視的.

與分段直線擬合和極值函數（冪函數）擬合相比，使用本文給出的新函數擬合地震危險性曲線在精度和范圍上都有明顯的提升，是一種更好的地震危險性表達方法.在對地震危險性精度要求日益增長的情況下，本文提出的特征系數法能夠較為完整地表達地震危險性信息，從而使地震區劃圖的應用前景得到一定的擴展，能夠更好地滿足基于性能的抗震設計、地震風險評估、巨災保險等相關領域對詳細地震危險性信息的需求.

本文的研究認為具有較低k值的場點處于周邊環境中地震活動性相對較強的位置，而具有較高k值的場點處于周邊環境中地震活動性相對較弱的位置.也就是說在一定區域內地震活動性相對較強的地區，k值會較周邊地區明顯偏高.這表明在未來如果采用以k值分區形式進行地震區劃工作，應著重注意在區域范圍內的較高震級潛在震源區內部的場點，這些場點在不同超越概率水平下的比值比周邊地區偏高.

在未來的工作中，除了選擇適當的地震動參數（例如50年超越概率10%的PGA）之外，還需要對特征系數k的合理分區進行討論以便應用到地震區劃中.