電力系統小干擾穩定分析的最小特征軌跡法

黃 偉，張清波，許 昊，吳司敏，甘德強

（1. 云南電力調度控制中心，云南 昆明 650011；2. 浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027）

0 引言

我國電網當前呈現交直流混聯及新能源高滲透率的發展趨勢，為電力系統小干擾穩定分析帶來新的挑戰［1］。面對日益復雜的電網，電力系統小干擾穩定分析需從以下3 個層面進行考慮：第一，系統中的控制器（如電力系統穩定器PSS（Power System Stabilizer）和調速器）參數的變化對系統穩定性的影響；第二，系統工況變化（如機組出力連續變化）對系統穩定性的影響；第三，系統模型的變化（如重要元件的投退）對系統穩定性的影響。目前，以PSS 設計為核心的第一層面的問題已被較好地解決［2］，而第二、三層面的問題仍需深入研究。

依據穩定性分析方法及判據的不同，電力系統小干擾穩定分析大致包括5類［3］：基于狀態空間系數矩陣特征值分析的方法，常見的方法包括阻尼轉矩法［4-5］、留數法［6］、靈敏度分析等；基于傳遞函數矩陣分析的方法，包括廣義Nyquist 判據［7］、μ分析［8］、多回路穩定裕度km法［9］、H∞控制［10］等；基于Lyapunov判據的分析方法［11-12］；基于Mickhailov 定理的多項式分析方法［3］；基于代數判據，如Routh-Hurwitz 判據等。方法雖多但優劣各異，有些方法未推導穩定裕度解析表達式，還有些方法無法分析任意回路對穩定性的影響。

本文提出一種基于廣義Nyquist 判據的電力系統小干擾穩定分析方法：最小特征軌跡法。該方法根據簡潔形式的轉子回路模型得到回差矩陣的最小特征軌跡偏離原點的距離，即系統穩定裕度。推導了最小特征軌跡的近似解析表達式，從而量化了各個控制回路對系統穩定裕度的貢獻。所提方法具有比較嚴密的理論基礎，通用性較強，適用于電力系統超低頻和低頻振蕩分析，并且有望被應用于更加復雜的電力系統穩定分析問題。通過仿真算例進一步驗證了所提方法理論分析的正確性和工程實用性。

1 小干擾穩定分析的反饋系統模型

小干擾穩定分析Heffron-Phillips 模型［13］如附錄A 圖A1（a）所示。圖中：GM(s)為原動機-調速器傳遞函數矩陣，HPSS(s)為PSS 傳遞函數矩陣，M為發電機慣性時間常數矩陣，KD為阻尼系數矩陣，T'd0為直軸暫態開路時間常數矩陣，GEX(s)為自動電壓調節器的傳遞函數矩陣，I為單位陣，以上矩陣均為對角矩陣；K1—K6為與元件參數及運行工況相關的系數矩陣；ΔPe1和ΔPe2分別為通過K1和K2的電磁轉矩增量；ΔPm為機械轉矩增量；Δω為轉速增量；Δδ為轉子角增量；ΔE'q為發電機暫態電勢增量；ΔEfd為勵磁電壓信號增量；ΔUPSS為PSS 輸出信號增量；ω0為同步轉速；s為拉普拉斯算子。

為方便后文推導，對圖A1（a）所示模型進行簡化。將GM(s)和HPSS(s)的輸入由Δω調整為Δδ，可得到圖A1（a）的等效框圖，如圖A1（b）所示。將圖中這種以ω0/[s(sM+KD)-1]為前向通道、其余部分為反饋通道的模型稱為轉子回路模型。在轉子回路模型中，將虛線框中以Δδ為輸入、ΔPe2為輸出的部分定義為GQ(s)。為了方便后續的分析，首先通過簡單的等效變換，將GQ(s)分解為不包含HPSS(s)的GQ1(s)和包含HPSS(s)的GQ2(s)，形成簡潔形式的轉子回路模型，如圖1所示。圖中存在如下關系式：

圖1 簡潔形式的轉子回路模型Fig.1 Rotor circuit model in concise form

上述簡潔形式的轉子回路模型更清晰地將多機系統分解為1個前向通道和3個反饋通道的形式，在后文中將使用該形式的模型開展穩定分析。

2 基于最小特征軌跡的穩定裕度

本節將基于簡潔形式的轉子回路模型并根據多輸入-多輸出MIMO（Multi-Input Multi-Output）系統的廣義Nyquist 判據，推導出基于最小特征軌跡的穩定裕度近似解析表達式。

2.1 基于最小特征軌跡的穩定裕度判據

由圖1 中簡潔形式的轉子回路模型可得系統的回差矩陣D(s)的表達式為：

式中：L(s)為開環傳遞函數矩陣。將s=jω代入式（4），根據廣義Nyquist判據，回差矩陣行列式det(I+L(jω))與坐標原點的距離即為穩定裕度；基于特征軌跡的Nyquist 穩定判據見文獻［14］?；夭罹仃囆辛惺脚c系統的特征軌跡關系見式（5）。

式中：k為機組編號；m為電網機組總數；λk(?)為矩陣的特征軌跡。由式（5）可知：系統的特征軌跡由回差矩陣I+L(jω)的特征值曲線組成；采用本文所提轉子回路模型，特征軌跡數目與機組總數相同。因此當電網有m臺機組時，m條特征軌跡圍繞原點的環繞次數決定了閉環系統右半平面的極點數。

設λmin(I+L(jω))為I+L(jω)所有特征軌跡中距離原點最近的特征軌跡。當系統處于臨界穩定狀態時，λmin(I+L(jω))非常接近原點，而其余特征值的模均較大，故采用λmin(I+L(jω))到原點的最短距離d{(0，0)，λmin(I+L(jω))}表示系統穩定裕度。又因為：

式中：λ-1(L(jω))表示距離點（-1，0）最近的L(jω)特征軌跡。

因此可通過計算λ-1(L(jω))到點（-1，0）的最短距離d{(-1，0)，λ-1(L(jω))}，來表示系統穩定裕度，并將d{(-1，0)，λ-1(L(jω))}所對應的特征值稱為最小模特征值或最小特征值。顯然，當λ-1(L(jω))=0時，閉環系統存在一個位于虛軸的特征值，此時系統處于臨界穩定狀態。

2.2 基于最小特征軌跡的穩定裕度近似解析表達式

最小特征值需要經過復雜的計算才能精確獲得，且難以直觀表現穩定裕度與電網參數的關系，不便于開展穩定分析。本節對矩陣L(jω)進行相似變換，得到一個對角占優矩陣，其最小模對角元近似等于最小特征值，避免了迭代計算最小特征值，同時能夠得到反映各個回路對最小特征值影響的解析表達式。由式（4）可知：

由于M、KD均為對角矩陣，故可將(jωM+KD)-1分解為：

將式（8）代入式（7）后可得：

為便于分析，將式（9）的各個分式分別定義為K1相關回路LMK(jω)、阻尼相關回路LKD(jω)、勵磁相關回路LGQ1(jω)、PSS相關回路LGQ2(jω)以及原動機-調速器相關回路LGM(jω)，并將除LMK(jω)以外的另外4個分式之和表示為ΔL(jω)，即：

則有：

為簡化表述，除特殊說明外，后文中所有出現的頻率響應矩陣或者由頻率響應矩陣決定的其他矩陣或變量均省略(jω)?？梢宰⒁獾絃MK為實數陣。由于一般情況下矩陣K1可對角化且LMK的特征值及特征向量通常為實數，對LMK進行特征分解后可得：

式中：Λ為特征值矩陣；U為右特征向量矩陣。將式（12）代入式（11）可得：

式中：SM為L的相似矩陣。由相似矩陣的性質可知：

至此，原問題轉化為計算L的相似矩陣SM特征值問題，即：

相似矩陣SM具有很明顯的對角占優特性。例如，一個6 機11 節點算例系統的相似矩陣對角元幾乎對應于SM也即L的全部特征值，這意味著相似矩陣的最小模對角元可作為系統穩定裕度。這是因為機電暫態模型中，假設KD≈0，矩陣LMK≈-ω0M-1K1/ω2，這在很大程度上影響了L的特征值。

而在相似矩陣SM中，ΔL為包含電力系統控制回路的頻率響應矩陣LGQ2、LGM的線性表達式，即：

假設相似矩陣SM第1 行第1 列元素SM，11即為最小模元素，根據上文分析，新的穩定裕度SM，11具有很強的單輸入單輸出SISO（Single-Input Single-Output）系統參數裕度特征［15］，數學關系簡單。下面將利用這一特點對原動機-調速器回路及PSS 回路對穩定裕度的影響展開分析。

3 原動機-調速器回路對穩定裕度的影響

基于第2 節推導的內容，本節將具體分析原動機-調速器回路對穩定裕度的影響。在相似矩陣SM中原動機-調速器分量為：

設V=(U-1)T為左特征向量矩陣，則式（17）可變為：

當SM，11為最小模對角元時，可以將其看作穩定裕度。根據式（16）及式（18），原動機-調速器系統對穩定裕度的影響體現在第1 行第1 列元素，的表達式為：

式中：vij為中第i個元素；lij為LGM，j中第i個元素；u1、v1分別為第一個特征值對應的右、左特征向量；“°”表示其左右兩側矩陣的Hadamard 積；sum（·）為矩陣中所有元素的求和函數。由式（19）可知原動機-調速器回路對SM，11的作用僅取決于最小特征值對應的特征向量u1、v1，與其他特征向量無直接關系。

將LGM代入式（19），由于LGM為對角矩陣，則有：

式中：GMi、Mi以及KDi分別為GM、M以及KD的第i個對角元。式（20）為原動機-調速器傳遞函數與穩定裕度關系的解析表達式。由于在低頻段和超低頻段最小特征軌跡基本平行并靠近實軸，弱阻尼時其在實軸以下，負阻尼時其在實軸以上。且一般情況下，u1、v1中各項為正實數，這意味著穩定分析中只需關注各原動機-調速器傳遞函數在虛軸上投影值的正負情況即可。如果GMi的相角滯后，且大于90°，則結合式（20）可以判斷原動機-調速器對應的分量在虛軸上的投影值為正，這意味著該分量使得最小特征值靠近原點，惡化穩定性。

以水電機組和火電機組為例，分析其調速系統對超低頻振蕩模式的影響。水電機組原動機-調速器模型GMh(s)如下：

式中：KP為比例系數；KI為積分系數；KD為微分系數；TG為伺服系統時間常數；TW為水流慣性時間常數；bp為永態下垂系數?；痣姍C組原動機-調速器模型GMs(s)如下：

式中：TGS=1/(KR)為調速器響應時間常數，R為調速器下垂系數，K為調速器積分環節增益；TCH為高壓蒸汽容積時間常數；TRH為再熱器時間常數；FHP為高壓缸產生功率在總汽輪機功率中占比。顯然，水輪機的相頻特性大幅滯后于汽輪機，如果調速器參數整定不當，則易產生超低頻振蕩。這與采用傳統的統一頻率模型獲得的結論［16］一致。

區域振蕩和局部振蕩的分析方法與超低頻振蕩類似，僅根據各機組GMi的相角即可判斷其對穩定性的影響：當GMi的相角滯后且超過90°時，將削弱系統穩定性；當GMi的相角滯后但是未超過90°時，可以增強系統穩定性。而在低頻段GMi的輸出有所降低，可忽略其影響。

4 PSS回路對穩定裕度的影響

本節重點分析了PSS 對穩定裕度影響。ΔL中與PSS相關的分量LGQ2表達式為：

式中：Hpvr為PSS輸出信號經過的前向通道的傳遞函數矩陣［17］。

設fi為矩陣(jωM+KD)-1Hpvr的第i個列向量，hi為各PSS的傳遞函數，可得：

相似矩陣SM中與LGQ2相關的分量的表達式為：

設fij為fj中 第i行 元 素，可 得PSS 對SM，11的 貢獻為：

式中：diag(HPSS)為由HPSS矩陣對角元組成的列向量；Fuv，i為式中相應元素之和。由式（26）可知，PSS對SM，11的作用可以由各PSS 傳遞函數線性相加得到。除分析作用外，式（26）還可以用作PSS 參數整定，此時Fuv的作用與留數類似，能夠據其推知PSS中應該補償的角度。

進一步證明利用最小特征軌跡法對PSS 參數進行整定與理想相頻特性法所得結果的一致性。由式（26）可知，最小特征軌跡法中PSS 對穩定裕度的貢獻可等效為各PSS 傳遞函數的線性疊加，故以1 臺PSS為例進行介紹?？紤]一個有3臺同步機的電網，那么PSS對該電網穩定裕度的影響為：

根據式（27），PSS 的參數應該滿足式（28）所示相角條件，使得最小特征軌跡“垂直下移”，盡量遠離復平面點實軸處的點（-1，0）。

式中：arg（·）為求相角函數。在超低頻振蕩和區域振蕩模式頻段，矩陣Hpvr嚴格列對角占優（即矩陣中每個主對角元素的模都大于與其同列的其他元素的模的總和），此時f11?f21+f31，又有向量u1、v1中的元素均為正實數，故式（28）可以簡化為：

在局部振蕩模式頻段，矩陣v1呈現“一元獨大”的結構，即只有1 個對角元素非常大，其余所有元素都非常小。此時式（29）的準確度更高。而理想相頻特性法中根據Hpvr的對角元相角整定PSS參數，即根據式（30）所示條件進行整定［17］。

再根據fij的定義，即：

由式（30）、（31）可得：

當KD1=0時，有：

綜上所述，理想相頻特性法與最小特征軌跡法所得的PSS 補償相角基本一致。另外，在超低頻段，Hpvr(jω)的對角元相角接近0°，由上面2 種方法推得PSS 需要補償的相角也接近0°，這又進一步驗證了傳統阻尼轉矩法的結論［18］。

5 算例分析

本節首先應用最小特征軌跡法計算原動機-調速器回路對低頻振蕩模式的影響，以及PSS 回路對超低頻振蕩模式的影響。然后采用最小特征軌跡法、理想相頻特性法以及留數法對PSS 輸出的補償相角進行計算，并對結果進行分析比較。最后在IEEE 6 機11 節點、IEEE 19 機118 節點、新西蘭10 機39 節點、波蘭2 383 節點系統中進行驗證。算例中，一半負荷采用恒定功率模型，另一半負荷采用恒定阻抗模型。

5.1 原動機-調速器回路對低頻振蕩模式的影響分析

在IEEE 6 機11 節點系統中設置0.505 Hz 低頻振蕩，基于最小特征軌跡法計算了系統中的6 臺原動機-調速器系統對系統穩定裕度的影響，結果如圖2 所示。圖中，圓盤刻度代表相角，向量代表式（20）中相加的各個表達式，向量數目與機組數目一致，向量的模值在本文中不做討論。由圖可知，水電機組原動機-調速器回路對系統穩定性產生了負面影響，即相應的向上的向量使得最小特征軌跡向著包絡點（-1，0）的方向移動，其原因在于水電機組固有的非最小相位特性（即水電機組相頻響應特性大幅滯后）。相反，火電機組的原動機-調速器回路對系統穩定性產生了正面影響，即其對應的向量使最小特征軌跡向遠離點（-1，0）的方向移動。

圖2 IEEE 6機11節點系統各機組原動機-調速器回路對穩定裕度的影響Fig.2 Influence of each unit prime motor and governor loop on stability margin of IEEE 6-machine 11-bus system

5.2 PSS回路對超低頻振蕩模式的影響分析

本節利用最小特征軌跡法，計算IEEE 19 機118節點系統中安裝PSS 后輸出的補償相角，并對安裝PSS 后對系統穩定性的影響進行分析，如圖3 所示。本文IEEE 19 機118 節點系統中未安裝PSS 的機組共14臺，因此圖中的向量個數為14。由式（26）可得Fuv各元素，即為圖3 所示14 個向量，再由式（29）得到各機組PSS的補償相角，其值約為-5°。

圖3 IEEE 19機118節點系統超低頻模式下的Fuv中向量Fig.3 Vectors of Fuv for ultra-low frequency oscillation mode of IEEE 19-machine 118-bus system

常規的雙輸入型電力系統穩定器PSS2B（dualinput Power System StaBilizer）在超低頻段只有隔直環節sTW（1+sTW）起實質性作用，取TW=5 s，此時PSS2B 的補償相角約為30°，仍然貢獻阻尼但并非最佳補償角度。而多頻段穩定器（以PSS4B 型多頻段PSS為例，下文簡稱PSS4B）的補償相角接近于0°，更接近本算例中需要補償的角度。分別給出未安裝PSS、安裝PSS2B 以及PSS4B 時系統在超低頻段的最小特征軌跡，如圖4 所示，圖中箭頭表示從0 掃頻到0.1 Hz時最小特征值的移動方向。

圖4 IEEE 19機118節點系統在PSS的3種安裝情況下超低頻段最小特征軌跡Fig.4 Minimum characteristic locus of IEEE 19-machine 118-bus system under 3 kinds of PSS installation situations

由圖4（a）可知，未安裝PSS 時最小特征軌跡包絡點（-1，0），意味著此時系統處于負阻尼狀態，且最小特征值為（-1，j0.798）。由圖4（b）可知，安裝PSS2B 后最小特征值為（-1，j0.441），特征軌跡向著不包絡點（-1，0）的方向移動。由圖4（c）可知，安裝PSS4B 后最小特征值為（-1，j0.389），特征軌跡進一步向不包絡點（-1，0）的方向移動。

5.3 不同系統下PSS的相角補償結果

以IEEE 6 機11 節點、新西蘭10 機39 節點以及波蘭2 383 節點系統為例，分別采用最小特征軌跡法、理想相頻特性法、留數法對各機組進行PSS 相角補償計算，計算結果分別見附錄A 圖A2—A4，圖中藍色向量與-90°之間的相角即為PSS需要補償的相角。由圖可知3 種方法計算的補償角度基本一致，進一步證明了最小特征軌跡法的準確性。

5.4 特征軌跡穩定裕度與特征值穩定裕度的對比

為了驗證最小特征軌跡法求取穩定裕度的準確性，在IEEE 6機11節點系統中設置受端有功負荷由1.55 MW 逐步增加為2 MW，分別利用常規特征值法和本文所提最小特征軌跡法計算系統的臨界特征值。將特征值法求得的臨界特征值實部作為系統的穩定裕度，將最小特征軌跡法求得的最小特征值虛部作為系統的穩定裕度，二者的對比結果見附錄A圖A5。由圖可知，2 種方法下系統穩定裕度的變化趨勢具有一致性，證明了最小特征軌跡法求取穩定裕度的準確性。

6 結論

最小特征軌跡法是SISO 系統的向量裕度法在MIMO 系統中的擴展。初步研究表明，結合本文提出的相似變換技巧，最小特征軌跡法具有SISO 系統向量裕度法的優點，采用該方法后系統的穩定裕度可通過向量線性疊加的解析關系進行簡單表示。計算結果表明，最小特征軌跡法能夠有效地分析各回路和各機組對系統穩定性的貢獻，并為控制器參數的整定提供方向。

附錄見本刊網絡版（http：//www.epae.cn）。